2020-2021学年高二数学10月月考试题（含答案）

1 2020-2021 学年高二数学 10 月月考试题（含答案） 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的． 1．已知圆 的标准方程为 ，则它的圆心坐标是（ ） A． B． C． D． 2．已知点 ， ，若直线 与线段 恒有公共点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．若椭圆 的右焦点为 F，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆 于 P，Q 两点，则 的周长为（ ） A． B． C．6 D．8 4．若直线 与直线 平行，则 （ ） A． B． C． 或 2 D． 或 5．直线 与圆 的位置关系是（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定 6．抛物线 的焦点为 F，准线为 l，点 P 为抛物线上一点， ，垂足为 A，若直线 AF 的斜率 为 ，则 等于（ ） A．4 B． C．8 D． 7．已知过双曲线 的右焦点 F，且与双曲线的渐近线平行的直线 l 交双曲线于点 A，交双曲线的另一条渐近线于点 B（A，B 在同一象限内），满足 ，则该双曲线的离心率为 （ ） A． B． C． D．2 8．已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与过 的直线 交于点 ，线 段 的中点为 ，线段 的垂直平分线 与 的交点 （第一象限）在椭圆上，且 交 轴于 C ( ) 12 22 =++ yx ( )0,2− ( )2,0 − ( )2,0 ( )0,2 ( 4,0)A − (3, 1)B − 2y kx= + AB k 11, 2  −   1 ,12  −   1, [1, )2  −∞ − ∪ +∞   1( , 1] ,2  −∞ − ∪ +∞  2 2 : 18 4 x yC + = 'F 60 C PQF△ 6 2 8 2 02 =− yx ( )2 1 0a a x y a− − + + = a = 1a = − 2a = 1a = − 1a = 2− 0ax by− = 2 2 2 2 0x y ax by+ − + = 2 4y x= PA l⊥ 3− PF 4 3 2 3 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2FB FA= 4 3 3 2 1F 2F 2 2 : 164 32 x yC + = 1F 1l 2F 2l N 1F N M 1F N MP 2l P MP x2 点 ，则 的取值范围为（ ）. A． B．( ] C． D． 二、多项选择题: 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要 求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9．已知 分别是双曲线 的左右焦点，点 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 ，则下列结论正确的是（ ） A．双曲线 的渐近线方程为 B．以 为直径的圆的方程为 C． 到双曲线的一条渐近线的距离为 1 D． 的面积为 1 10．点 P 是直线 上的动点，由点 P 向圆 O： 作切线，则切线长可能为（ ） A． B． C． D． 11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的 轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点 ， 直线 l： ，若某直线上存在点 P，使得点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，则称该直线为“最 远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A．点 P 的轨迹曲线是一条线段 B．点 P 的轨迹与直线 ： 是没有交会的轨迹 即两个轨迹没有交点 C． 不是“最远距离直线” D． 是“最远距离直线” 12．已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，过 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，C，D 分别为 A，B 在 l 上的射影，且 ，M 为 AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A． B． 为等腰直角三角形 C．直线 AB 的斜率为 D． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．抛物线 的准线方程为__________________. G MG GP ( )12,0 + 12,0 +       + 7 12,0       + 7 12,0 1 2,F F 2 2: 1C x y− = P 1 2 0PF PF⋅ =  C y x= ± 1 2F F 2 2 1x y+ = 1F 1 2PF F∆ 03 =−+ yx 422 =+ yx 2 2 1 2 3 1 3 2 ( )1 0M ， 2x = − 'l 1x = − ( ) 2 6y x= + 1 12y x= + 2: 4E y x= | | 3| |AF BF= 90CFD °∠ = CMD△ 3± 3 16的长为线段AB 24y x=3 14．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，若其右顶点到这条渐近线的距离 为 ，则双曲线方程为__________________． 15．已知抛物线方程为 ，直线 的方程为 ，在抛物线上有一动点 ．点 到 轴的距离为 ，到直线 的距离为 ．则 的最小值为______________. 16．在平面直角坐标系 中， 分别为椭圆 的左、右焦点，B，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线 与椭圆的另一个交点为 D，若 的面积为 ，则直线 CD 的斜率 为 ． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17． (10 分)已知直线 方程为 ， . （1）求证：直线 恒过定点 ，并求出定点 的坐标； （2）若直线 在 轴， 轴上的截距相等，求直线 的方程. 18． (12 分)已知动点 与平面上两定点 、 连线的斜率的积为定值 . （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）若 ，过 的直线 交轨迹 C 于 M、N 两点，且直线 倾斜角为 ，求 的 面积； 19． (12 分)圆 C 过点 ， ，且圆心在直线 上. （1）求圆 C 的方程； （2）P 为圆 C 上的任意一点，定点 ，求线段 中点 M 的轨迹方程. 20．(12 分)光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经 抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线 ，一平行于 轴的 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 3y x= 3 2 4y x= − l 2 4 0x y+ − = A A y m l n m n+ xOy 1 2,F F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2BF 21BFF∆ 2 12 5 b l ( )2 3 8 0m x my m+ − − − = m R∈ l P P l x y l P ( )2,0A − ( )2,0B 1 2 − P C ( ) ( )0,10,1 21 FF ，− 1F l l 45 NMF2∆ ( )6 0A ， ( )1,5B : 2 7 8 0l x y− + = ( )8,0Q PQ )0(2: 2 >= ppyxC y4 光线从上方射向抛物线上的点 ，经抛物线 2 次反射后，又沿平行于 轴方向射出，若两平行光线间的 最小距离为 8. （1）求抛物线 的方程； （2）若直线 与抛物线 交于 两点，以点 为顶点作 ，使 的外接圆圆心 的坐标为 ，求弦 的长度. 21． (12 分)已知点 ，直线 ， 为直角坐标平面上的动点，过动点 作 的垂线，垂 足为点 ，且满足 ，记 的轨迹为 . (1)求 的方程； (2)若过 的直线与曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点，试判断 以 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 22． (12 分)已知椭圆 ： 的长轴长为 6， 上一点 M 关于原点 O 的对称点为 N， 若 ，设 . (1)求椭圆 的标准方程； (2)经过圆 ： 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ， ，求 面积的 取值范围. P y C mxyl +=: C ,A B A ABN∆ ABN∆ T ）（ 8 49,3 AB (1,0)F : 1l x = − M M l Q 0)( =+⋅ MFMQQF M C C F C P Q OP OQ 1x = A B AB C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > C NFMF ⊥ 4 3)4sin(, =+=∠ παα 且MNF C O 1022 =+ yx P C A B AOB∆5 参考答案 一 1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A 二 9．ACD 10．AD 11．BCD 12．ACD 三 13． 14． 15． 16． 四 17．(1) 由 化简得 , 令 ,故直线 恒过定点 (2)由题得 中 . 令 有 ,故 在 轴上的截距为 . 令 有 .故 在 轴上的截距为 . 故 ,故 或 . 当 时, 化简得 ,当 时,化简得 故直线的方程为 或 （另解：分过原点或斜率为-1，也对） 18．（1）设点 ，则依题意有 ，整理得 ， 由于 ，所以所求动点 的轨迹 的方程为： ； （2）直线 的斜率 ， 故直线 的方程为： ， 与椭圆方程联立，消去 得： ， . 的面积为 19．（1）直线 的斜率 ，所以 的垂直平分线 m 的斜率为 1. 的中点的横坐标和纵坐标分别为 ， . 因此，直线 m 的方程为 .即 . 16 1−=y 1124 22 =− yx 6 5 15 − 169 60 ( )2 3 8 0m x my m+ − − − = ( 3) 2 8 0m x y x− − + − = 3 0 4 2 8 0 1 x y x x y − − = = ⇒ − = =  l ( )4,1P ( )2 3 8 0m x my m+ − − − = 2 0, 0m m+ ≠ ≠ 0x = 3 83 8 0 mmy m y m − −− − − = ⇒ = l y 3 8m m − − 0y = ( ) 3 82 3 8 0 2 mm x m x m ++ − − = ⇒ = + l x 3 8 2 m m + + ( )( )3 8 3 8 3 8 2 2 02 m m m mm m − − += ⇒ + + =+ 1m = − 8 3m = − 1m = − 5 0x y+ − = 8 3m = − 4 0x y− = 5 0x y+ − = 4 0x y− = ( ),P x y 1 22 2 y y x x ⋅ = − + − 2 2 12 x y+ = 2x ≠ ± P C ( )2 2 1 22 x y x+ = ≠ ± l 145tan == k l 1+= xy x ，0123 2 =−− yy 3 11 −==∴ yy 或 NMF2∆∴ 3 4 2 1 2121 =−⋅ yyFF AB 5 0 11 6k −= = −− AB AB 6 1 7 2 2x += = 9 5 5 2 2y += = 5 712 2y x − = −   1 0x y− − =6 联立 ，解得 所以圆心坐标为 ，又半径 ， 则所求圆的方程是 . （2）设线段 的中点 ， ，M 为线段 的中点，则 ，解得 ， 代入圆 C 中得 ， 即线段 中点 M 的轨迹方程为 . (另解：用几何法也对，更快） 20．（1）设 ， ，设直线 方程为： 由 ，得 ， 则两平行光线距离 ， ，故抛物线方程为 . （2）设 中点 由 ，得 ， ， ，即 ，解得 ， 21．（1）设 ， 点 ，直线 ， ． ， 的方程为 ． (另解：由 ，用定义法也对，更快) (2)设直线 的方程为 , , , 联立 整理得： , , , , 1 0 2 7 8 0 x y x y − − =  − + = 3 2 x y =  = ( )3,2C 13r CA= = 2 2( 3) ( 2) 13x y− + − = PQ ( ),M x y ( )0 0,P x y PQ 0 0 8 2 0 2 x x y y + = + = 0 0 2 8 2 x x y y = −  = ( )2 8,2P x y− 2 2(2 8 3) (2 2) 13x y− − + − = PQ 2 211 13( 1)2 4x y − + − =   1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y )2,0( pF PQ Rkpkxy ∈+= ,2    += = 2 22 pkxy pyx 02 22 =−− ppkxx 2 1121 ,2 pxxpkxx −==+∴ ppkpxxd 244 222 21 ≥+=−= 82 =∴ p yx 82 = ( ) ( )1 1 2 2, , , , ,A x y B x y A B ( )0 0,M x y    += = mxy yx 82 0882 =−− mxx myxxxm oo +==+=∴−>⇒>∆ 442,20 21 ， MT AB⊥ 1MT ABk k∴ ⋅ = − 1134 8 494 −=⋅− −+m 8 9=m 9,1098 21 2 =−=⇒=−−∴ xxxx 21011 21 2 =−+=∴ xxAB ),( yxM  ( )1,0F : 1l x = − ( )1,Q y∴ −  0)( =+⋅ MFMQQF ( ) ( ) 22, 2 , 4 0y x y x y∴ − ⋅ − − = − + = ∴ C 2 4y x= MFMQ = PQ 1x my= + ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 4 1 y x x my  =  = + 2 4 4 0y my− − = 216 16 0m∆ = + > 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = −7 直线 的方程为 ,同理：直线 的方程为 , 令 得, , ,设 中点 的坐标为 ,则 , ,所以 . .圆的半径为 . 所以以 为直径的圆的方程为 .展开可得 , 令 ,可得 ,解得 或 .从而以 为直径的圆经过定点 和 . 22．（1）∵ 又 ∴椭圆 的标准方程为 . （2）设点 ， . 则直线 的方程为 .（由 求得，或直接写出，均给分）， 直线 的方程为 . ∵ 在直线 ， 上，∴ ， .∴直线 的方程为 . 由 ，消 ，结合 ，同时消 ，得： OP 1 1 1 4yy x xx y = = OQ 2 4y xy = 1x = 1 41,A y       2 41,B y       AB T ( ),T Tx y 1Tx = ( )1 21 2 1 2 4 4 2 22T y yy yy my y + += = = − ( )1, 2T m− 1 2 2 1 1 2 44 4A y y yy y yB −= =− ( )2 1 2 1 2 24 4 16 164 y y y y m + −= = + 216 16 2 mr += AB ( ) ( )2 2 21 2 4 4x y m m− + + = + ( )2 21 4 4x y my− + + = 0y = ( )21 4x − = 3x = 1x = − AB ( )1,0− ( )3,0 .3,62 =∴= aa .3 22 )4sin(2 1 sin2cos2 2 2 2 = + =+== πααα cc c a ce 122 222 =−==∴ cabc ， C 19 2 2 =+ yx ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y PA 19 1 1 =+ yyxx 0∆ = PB 19 2 2 =+ yyxx ( )0 0,P x y PA PB 19 1 1 =+ o o yyxx 19 2 2 =+ o o yyxx AB 19 =+ yyxx o o      =+ =+ 19 19 2 2 yx yyxx o o y 2222 10,10 oooo yxyx −==+ 利用： ox 0818118108 222 =−+−+ ooo yxxxy ）（ )818 242 oo yy +=∆∴ （ 108 )8(18 81 1080 108 )8(18 81 81 81 1 2 242 2 2 2 242 2 22 212 2 + +⋅⋅+= + +⋅⋅+=−⋅+=∴ o oo o o o oo o oo o o y yy y y y yy y xyxx y xAB 108 18102 2 2 + +⋅= o o y y8 又点 到直线 的距离 . . O AB 222 0 8010 9 81 9 oo yyx d + = + = 18 918 9 108 189 1810 9 108 181022 1 2 1 2 22 2 22 2 + ++ = + += +⋅ ⋅ + +⋅⋅=⋅= o oo o oo o y yy y yy ydABS ]9,1[18,100 22 ∈+=∴≤≤ oo yty 记又 ]2 3,10 9[]10,6[9 ∈⇒∈+∴ Stt ，