四川省绵阳市南山中学2020-2021学年高二（理）数学10月月考试题（含答案）

1 四川省绵阳市南山中学 2020-2021 学年高二（理）数学 10 月月考试 题（含答案） 本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择 题）组成，共 4 页；答题卷共 6 页，满分 150 分。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并把对应的准考证号用 2B 铅笔涂黑。 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上。 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.如右图，直线 的倾斜角分别为 ，则有 ( ) A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点的坐标是( ) A. B. C. 　D. 3.已知 是椭圆的两个焦点，过 的直线 交椭圆于 两点，若 的周长为 8，则椭圆方程为( ) A. B. C. D. 4.圆 的圆心到直线 的距离为 ( ) A. B. C. D. 5.已知点 ， 关于直线 对称，则直线 的方程是（ ） A. B. C. D. 6.已知 分别为直线 上任意一点，则 的最小 1 2 3, ,l l l 1 2 3, ,α α α 1 2 3 α α α< < 1 3 2 α α α< < 3 2 1 α α α< < 2 1 3 α α α< < ( )4,1,2−P x ( )2, 1, 4− − − ( )2,1, 4− − ( )4,1,2 − ( )4,1,2 − ( ) ( )0,1,0,1 21 FF − 1F l NM , NMF2∆ 11516 22 =+ yx 11516 22 =+ xy 134 22 =+ xy 134 22 =+ yx :C 2 2 2 4 3 0x y x y+ − + + = :l 1x y− = 2 1 2 2 2 ( )1,2A ( )3,1B l l 4 2 5 0x y+ − = 4 2 5 0x y− − = 2 5 0x y+ − = 2 5 0x y− − = ,M N 058601243 =++=−+ yxyx 与 MN x y l1 l2l3 O2 值为( ) A. B. C. D. 7.已知圆 : ,圆 : ，则圆 和圆 的公切 线有( ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 8.过点 且与原点 的距离最大的直线 的方程为( ) A. B. C. D. 9.已知直线 与 平行，则 等于( ) A. B. 　 C. D. 10.已知圆 ，过原点作圆 的弦 ，则 的中点 的轨迹方程为 ( ) A. B. C. D. 11.方程 所表示的曲线图形是(　　) 12.从一块短轴长为 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是 ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 5 9 5 18 5 29 10 29 A 4)1()1( 22 =−+− yx B 9)2()2( 22 =−+− yx A B 4 3 2 1 ( )2,1P O l 042 =−+ yx 052 =−+ yx 073 =−+ yx 053 =−+ yx 1 : 2 1 0l x ay+ − = 2 :( 1) 1 0l a x ay− + + = a 2 3 02 3 或 0 02或− 9)3(: 22 =−+ yxC C OP OP Q )0(4 9)2 3( 22 ≠=+− yyx 4 9)2 3( 22 =+− yx )0(4 9)2 3( 22 ≠=−+ yyx 4 9)2 3( 22 =−+ yx 2 21ln( 1) 0x x y− + − = b2 2 23 ,4b b         1,2 3       2 3,3 5       3 5,0       2 3,03 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13.直线 恒过定点为______________. 14.已知 是椭圆 上的点，则点 到椭圆的一个焦点的最短距离为_______. 15.已知圆 和圆 交于 两点，则 的 垂直平分线的方程为___________________. 16.已知 是直线 上的动点， 是圆 的 两条切线( 为切点)，则四边形 面积的最小值为_______________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分 10 分） 已知直线 经过两条直线 和 的交点，求分别满足下列条件 的直线 的方程： (1) 垂直于直线 ； (2) 平行于直线 ． 18．（本小题满分 12 分） 求与 x 轴相切，圆心在直线 3x－y＝0 上，且被直线 x－y＝0 截得的弦长为 的圆的方 程． 19．（本小题满分 12 分） 已知 中顶点 , 边上的中线 所在的直线方程为 , 的平分线 所在的直线方程为 . (1) 求顶点 的坐标； (2)求直线 的方程. 20．（本小题满分 12 分） : 2 1 0( )l mx y m m R− − − = ∈ P 632 22 =+ yx P 2 2 1 : 4 6 0C x y x y+ − + = 2 2 2 : 6 0C x y x+ − = A B、 AB P 0843 =++ yx PBPA, 0122: 22 =+−−+ yxyxC A B、 PACB l 2 3 10 0x y− + = 3 4 2 0x y+ − = l 3 2 4 0x y− + = 4 3 7 0x y− − = 2 7 ABC∆ ( )1,3 −A AB CM 059106 =−+ yx B∠ BT 0104 =+− yx B BC4 已知圆 . (1) 若圆 的切线在 轴和 轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程； (2) 若从圆 外一点 向该圆引切线 ( 为切点)，求弦长 的大小． 21．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，短轴的一个端点到椭圆的一个焦点 的距离为 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 若直线 与椭圆 交于不同的 两点，求 ( 为坐标原点)的面积. 22.（本小题满分 12 分） 设 分别是椭圆 的左、右焦点． (1)若 是第一象限内该椭圆上的一点，且 ，求点 的坐标； (2)设过定点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，且 为锐角(其中 为 坐标原点)，求直线 的斜率 的取值范围． 2 2: 2 4 3 0C x y x y+ + − + = C x y C ( )2,1P PA PB和 A B、 AB 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 2 C 1y x= − C A B、 AOB∆ O 1 2F F、 2 2 14 x y+ = P 1 2 0PF PF⋅ =  P ( )0,2M l A B、 AOB∠ O l k5 参考答案 一、 选择题：1—5：BADCB 6—10：DCBAC 11．D 12．B 二、 填空题：13． 14． 15． 16． 三、 解答题： 17．解： , 解得 , 即两条直线的交点坐标为 -------2 分 (1) -----------------------------4 分 ----------------------------6 分 (2) ------------------------------8 分 ----------------------------10 分 18 ． 解 法 一 ： 圆的方程为： --------------------------3 分 圆心 到直线 的距离 ------------------6 分 ----------------------------10 分 故 ， 所 求 的 圆 的 方 程 是 (x － 1)2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 或 (x ＋ 1)2 ＋ (y ＋ 3)2 ＝ 9．-----------------------12 分6 解法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 圆 心 (a ， b) 到 直 线 x － y ＝ 0 的 距 离 为 --------------------------------------2 分 ，即 2r2＝(a－b)2＋14-------① ------------------------6 分 由于所求的圆与 x 轴相切，所以 r2＝b2-----------② 又因为所求圆心在直线 3x－y＝0 上，则 3a－b＝0---------③ ----------------------8 分 联 立 ① ② ③ ， 解 得 a ＝ 1 ， b ＝ 3 ， r2 ＝ 9 或 a ＝ － 1 ， b ＝ － 3 ， r2 ＝ 9 ------------------------10 分 故 所 求 的 圆 的 方 程 是 (x － 1)2 ＋ (y － 3)2 ＝ 9 或 (x ＋ 1)2 ＋ (y ＋ 3)2 ＝ 9．----------------------------12 分 解法三：设所求的圆的方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为 ， 半径为 1 2．令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0 由 圆 与 x 轴 相 切 ， 得 Δ ＝ 0 ， 即 D2 ＝ 4F-------------- ④ -------------------------------------3 分 又 圆 心 到 直 线 x － y ＝ 0 的 距 离 为 2 ------------------------------------5 分 由已知，得 ， 即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)------------⑤ ------------------------8 分7 又圆心 在直线 3x－y＝0 上，则 3D－E＝0------------⑥ -------------9 分 联立④⑤⑥，解得 D＝－2，E＝－6，F＝1 或 D＝2，E＝6，F＝1 -----------------10 分 故 所 求 圆 的 方 程 是 x2 ＋ y2 － 2x － 6y ＋ 1 ＝ 0 或 x2 ＋ y2 ＋ 2x ＋ 6y． -----------------------------12 分 19．解：(1)设 ，则 的中点 在直线 上. ----------- ① ----------------3 分 又点 在直线 上，则 -----------------------------② 由 ① ② 可 得 ， 即 点 的 坐 标 为 ． -------------------------------------6 分 (2)设点 关于直线 的对称点 的坐标为 ，则点 在直线 上 由 题 知 , 解 得 -----------------------------------9 分 --------------------------------------10 分 所 以 直 线 的 方 程 为 ．------------------------12 分 20．解：（1）由题知：切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零8 设切线方程为 -----------------------------1 分 ---------------------------------3 分 圆心 到切线的距离 ，解得： ---------5 分 故，所求切线的方程为： ．-----------------------6 分 (2)方法一：由题知： 四点是在以 为直径的圆 上 圆 的方程为： ---① -----② 由②-①可得：公共弦 所在的直线方程为： -----------------9 分 圆心 到直线 的距离 ---------------10 分 弦长 .--------------------------12 分 方法二: 由(1)知:圆心 ,半径 由题易知: 垂直平分 ,且 ,设 与 相交于点 -------10 分 弦长 . --------------12 分9 21．解:(1)由题可得 -------------------2 分 ---------------------------------------------3 分 故,椭圆 的方程为 . -------------------4 分 (2)由 ,消去 整理可得 设 --------------------------6 分 9 分 又 原点 到直线 的距离 --------------10 分 的面积 . ----------------------12 分 22．解：(1)方法一：由题知: 点 是 以 为 直 径 的 圆 与 椭 圆 在 第 一 象 限 的 交 点 -----------------------------------------2 分10 ， 解 得 ， 即 点 的 坐 标 为 ．---------------------5 分 方法二： 由椭圆的定义知： -----------------------------------------------2 分 设 -----------------① 即 -------------------------------- ② -------------------------4 分 由 ① ② 解 得 ： ， 即 点 的 坐 标 为 ．---------------------5 分 (2)显然 x＝0 不满足题设条件，设 的方程为 y＝kx＋2，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 联立 ,消去 可得 x2＋4(kx＋2)2＝4⇒(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝011 ∴x1x2＝ ，x1＋x2＝－ . 由 Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，即 16k2－3(1＋4k2)>0,4k2－3>0，得 k2> -------① -----7 分 又 ∠ AOB 为 锐 角 ⇔cos ∠ AOB>0⇔ · >0 ， 则 · ＝ x1x2 ＋ y1y2>0 ------------------------8 分 又 y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4， ∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)· ＋2k·(－ )＋4 ＝ － ＋ 4 ＝ >0 ， 解 得 －