湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考数学试题 含答案详解及评分标准

数学试卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是( ) A． B． C． D． 2. 从 年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语 门统一高考成绩和考生选考的 3 门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为 、 、 、 、 ，各等级人数所占比例依次为： 等级 ， 等级 ， 等级 ， 等级 ， 等级 ．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取 人作为样本，则该样本中获得 或 等级的学生人数为（ ） A．55 B．80 C．90 D．110 3．已知 A＝{x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(  ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛 减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A．此人第一天走的路程比后五天走的路程多 6 里 B．此人第六天只走了 5 里路 C．此人第二天走的路程比全程的 还多 1.5 里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的 8 倍 5. 已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 6. 函数 的图象与 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个 公差为 的等差数列，要得到函数 的图象，只需将 的图象（ ） 2020 3 A B C D E A 15% B 40% C 30% D 14% E 1% 200 A B 1 4 R | |( ) 2 1x mf x −= − m ( )32a f −= ( )3mb f= ( )0.5log 3c f= a b c< < a c b< < c a b< < c b a< < π( ) sin( )( 0)4f x A xω ω= + > x π 3 ( ) cosg x A xω= ( )f x A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单 位 7．现有某种细胞 1 千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由 1 个细胞分裂 成 2 个细胞，按这种规律，1 小时后，细胞总数约为 1 2×10000＋ 1 2×10000×2＝ 3 2×10000，2 小时后，细胞总数约为 1 2× 3 2×10000＋ 1 2× 3 2×10000×2＝ 9 4×10000，问当细胞总数超过 1010 个时，所需时间至少为(  ) (参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301) A．38 小时    B．39 小时 C．40 小时 D．41 小时 8. 若 ，设函数 的零点为 的零点为 ，则 的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9. 如图，点 P 在正方体 的面对角线 上运动，则下列四个结论： A．三棱锥 的体积不变 B． 与平面 所成的角大小不变 C. D． 其中正确的结论有    10.已知双曲线 的左右两个顶点分别是 A1，A2，左右两个焦点分别是 F1， F2，P 是双曲线上异于 A1，A2 的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A． B．直线 的斜率之积等于定值 C．使 为等腰三角形的点 有且仅有 4 个 D．焦点到渐近线的距离等于 b 11.在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ，下列判断： A．若 ，则角 有两解； B．若 ，则角 有两解； C． 为等边三角形时周长最大. D． 为等边三角形时面积最小 其中判断正确的是（ ） 12. 已知函数 ， ， 若函数 有唯一零点,则以下四个命题中正确的是______ A． 4 π π 12 4 π 3 4 π 1a > ( ) 4xf x a x= + − ( ), log 4am g x x x= + − n 1 1 m n + 7 ,2  +∞   9 ,2  +∞   ( )4,+∞ [ )1,+∞ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BC 1A D PC− 1A P 1ACD 1DP BC⊥ 1DB ⊥ 1PA ( ) 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2 2PF PF a− = 1 2,PA PA 2 2 b a 1 2PF F∆ P ABC , ,A B C , ,a b c 60B = ° 4b = 3c = C 9 2a = C ABC ABC ( ) lnf x x= 3 2( ) 2e ( )g x x x kx k R= − + ∈ ( ) ( )y f x g x= − 2 1e ek = + B．曲线 在点 处的切线与直线 平行 C．函数 在 上的最大值为 D．函数 在 上单调递增。 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 的展开式中 的系数为______________ 14.函数 为奇函数，则实数 15. 中，角 所对的边分别为 ，若函数 有极值点，则角 的范围是____________________ 16. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数 学中有着广泛的应用，其定义为： ，若函数 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 ，当 时， ，则 _________. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知函数 （k 为常数， 且 ）． （1）在下列条件中选择一个，使数列 是等比数列，说明理由； ① 数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列； ② 数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列； ③ 数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列． （2）在（1）的条件下，当 时，设 ，求数列 的前 n 项和 . 18. 已知函数 的图象过点（0， ），最小正 周期为 ，且最小值为－1. （1）求函数 的解析式. （2）若 在区间 上的取值范围是 ，求 m 的取值范围. 19. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 和 均是等腰直角 ( )y g x= (e, (e))g e 1 0x y− + = 2( ) 2ey g x x= + [0,e] 22e 1+ 2( ) ee xy g x x= − − [0,1] ( )( )42x y x y+ + 3 2x y ( ) 2ln 1 xf x ax  = + +  ___________a = ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) ( )3 2 2 21 3f x x bx a c ac x= + + + − 1+ B ( ) [ ] 1 , ( , , 0, 0,1 0,1 q qx p qp p pR x x  ==   = 当 都是正整数 是既约真分数) 当 或 上的无理数 ( )f x R x ( ) ( )2 0f x f x− + = [ ]0,1x∈ ( ) ( )f x R x= 10 8lg 3 5f f   − =       ( ) logkf x x= 0k > 1k ≠ { }na ( ){ }nf a ( ){ }nf a ( ){ }nf a 2k = 1 2 2 4 1 + = − n n na b n { }nb nT π( ) cos( )( 0, 0,0 )2f x A x Aω ϕ ω ϕ= + > > < < 1 2 2π 3 ( )f x ( )f x π[ , ]6 m 3[ 1, ]2 − − V ABC− VAC ⊥ ABC ABC∆ VAC∆ 三角形， ， ， ， 分别为 ， 的中点. （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20. 在平面直角坐标系中，椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)过点( 5 2 ， 3 2 )，离心率为2 5 5 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过点 K(2,0)作与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，过 A，B 点作直线 l：x＝a2 c 的垂 线，其中 c 为椭圆 C 的半焦距，垂足分别为 A1，B1，试问直线 AB1 与 A1B 的交点是否为定点， 若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 21. 某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程， 要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参 加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这 四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格 相互独立， 课 程 初等代数 初等几何 初等数论 微积分初步 合格的概率 （1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率； （2）记 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求 的分布列（只需列式 无需计算）及期望 ． 22. 已知函数 ，其中 . （1）当 时，求曲线 在点 的切线方程； （2）求证：若 有极值，则极大值必大于 0. AB BC= 2AC CV= = M N VA VB AB VC⊥ VB CMN 3 4 2 3 2 3 1 2 ξ ξ Eξ ( ) ( )2 x x ax a f x e + − = a R∈ 0a = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x 答案 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C B A B C D ABD BD BC AB 填空题： 13. 14 14. 15. 16. 解答题 17. （10 分） 【解析】（1）①③不能使 成等比数列.②可以： 由题意 ， ………1 分 即 ，得 ，且 ， . ………3 分 常数 且 ， 为非零常数， 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列． ………4 分 （2）由（1）知 ，所以当 时， . ………5 分 因为 ， 所以 ，所以 ， ………7 分 . ………10 分 18. （12 分） 【解析】（1）由函数的最小值为－1，可得 A=1， ………2 分 因为最小正周期为 ，所以 =3. ………4 分 可得 ， 又因为函数的图象过点（0， ），所以 ，而 ，所以 ， 故 . ………6 分 1− ( , )3 π π 1 5 { }na ( ) 4 ( 1) 2 2 2nf a n n= + − × = + log 2 2k na n= + 2 2n na k += 4 1 0a k= ≠ 2( 1) 2 21 2 2 n n n n a k ka k + + + +∴ = =  0k > 1k ≠ 2k∴ ∴ { }na 4k 2k 2n2 n ka += 2k = 12n na += 1 2 2 4 1 + = − n n na b n 2 1 4 1nb n = − 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1nb n n n n  = = − − + − +  1 2 1 1 1 1 1 1... 1 ...2 3 3 5 2 1 2 1n nT b b b n n  = + + + = − + − + + − − +  1 112 2 1 2 1 n n n  = − = + +  2 3 π ω ( ) cos(3 )f x x ϕ= + 1 2 1cos 2 ϕ = 0 2 πϕ< < 3 πϕ = ( ) cos(3 )3f x x π= + （2）由 ，可知 ， 因为 ，且 cos =－1， ， 由余弦曲线的性质的， ，得 ， 即 . ………12 分 19. （12 分） 【解析】 （Ⅰ）在等腰直角三角形 中， ，所以 . ………2 分 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . ………4 分 又因为 平面 ，所以 ； ………5 分 （Ⅱ）在平面 内过点 作 垂直于 ， 由（Ⅱ）知， 平面 ， 因为 平面 ，所以 . ………6 分 如图，以 为原点建立空间直角坐标系 . 则 ， ， ， ， . ， ， . ………7 分 设平面 的法向量为 ， 则 ，即 . 令 则 ， ，所以 . ………10 分 直线 与平面 所成角大小为 ， . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . ………12 分 [ , ]6x m π∈ 5 3 36 3 3x m π π π≤ + ≤ + 5 3( ) cos6 6 2f π π= = − π 7 3cos 6 2 π = − 73 3 6m π ππ ≤ + ≤ 2 5 9 18m π π≤ ≤ 2 5[ , ]9 18m π π∈ VAC∆ AC CV= VC AC⊥ VAC ⊥ ABC VAC  ABC AC= VC ⊂ VAC VC ⊥ ABC AB Ì ABC AB VC⊥ ABC C CH AC VC ⊥ ABC CH ⊂ ABC VC CH⊥ C C xyz− ( )0,0,0C ( )0,0,2V ( )1,1,0B ( )1,0,1M 1 1, ,12 2N      ( )1,1, 2VB = − ( )1,0,1CM = 1 1, ,12 2CN  =     CMN ( ), ,n x y z= 0 0 n CM n CN  ⋅ =  ⋅ =   0 1 1 02 2 x z x y z + = + + = 1x = 1y = 1z = − ( )1,1, 1n = - VB CMN θ 2 2sin cos , 3 n VB n VB n VB θ ⋅ = = = ⋅       VB CMN 2 2 3 20. （12 分） 【解析】 (1)由题意得Error!⇒Error! 所 以 椭 圆 C 的 标 准 方 程 为 x2 5＋ y2 ＝ 1. ………4 分 (2)①当直线 AB 的斜率不存在时，直线 l：x＝5 2， AB1 与 A1B 的交点是(9 4，0 ). ………5 分 ②当直线 AB 的斜率存在时，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线 AB 为 y＝k(x－2)， 由Error!⇒(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0， 所以 x1＋x2＝ 20k2 1＋5k2，x1x2＝20k2－5 1＋5k2 ， ………6 分 A1(5 2，y1 )，B1(5 2，y2 )， 所以 lAB1：y＝y2－y1 5 2－x1 (x－5 2 )＋y2， lA1B：y＝y2－y1 x2－5 2 (x－5 2 )＋y1， ………7 分 联立解得 x＝ x1x2－25 4 x1＋x2－5＝ 20k2－5 1＋5k2 －25 4 20k2 1＋5k2－5 ＝Error!＝9 4， ………9 分 代入上式可得 y＝k（x2－x1） －10＋4x1 ＋y2＝ －9k（x1＋x2）＋4kx1x2＋20k 4x1－10 ＝ －9k· 20k2 1＋5k2＋4k· 20k2－5 1＋5k2 ＋20k 4x1－10 ＝0. ………11 分 综上，直线 AB1 与 A1B 过定点(9 4，0 ). ………12 分 21. （12 分） 【解析】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件 ,则“甲能修得该课程学分” 的概率为 ,事件 相互独立， ………2 分 . ……5 分 (2) ， ， , 因此， 的分布列如下： , , ,A B C D ( ) ( ) ( )P ABCD P ABCD P ABCD+ + , , ,A B C D 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 1 1 5( ) ( ) ( ) 4 3 3 2 4 3 3 2 4 3 3 2 12P ABCD P ABCD P ABCD+ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 0 3 3 7( 0) ( )12P Cξ = = 1 2 3 5 7( 1) ( )( )12 12P Cξ = = 2 2 3 5 7( 2) ( ) ( )12 12P Cξ = = 3 3 3 5( 3) ( )12P Cξ = = ξ ξ 0 1 2 3 P 0 3 3 7( )12C 1 2 3 5 7( )( )12 12C 2 2 3 5 7( ) ( )12 12C 3 3 3 5( )12C ………9 分 因为 ～ ………10 分 所以 ………12 分 22. （12 分） 【解析】（1） ， ………2 分 当 时， ， ， ………3 分 则 在 的切线方程为 ； ………4 分 （2）证明：令 ，解得 或 ， ………5 分 ①当 时， 恒成立，此时函数 在 上单调递减， ∴函数 无极值； ………6 分 ②当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 或 ， ∴函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， ∴ ； ………9 分 ③当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 或 ， ∴函数 在 上单调递增，在 ， 上单调递减， ∴ ， 综上，函数 的极大值恒大于 0. ………12 分 ξ 53,12B     5 53 .12 4Eξ = × = ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2' x x x a x a x a xf x e e − − − + − + −= = 0a = ( ) 1' 1f e = ( ) 11f e = ( )f x ( )( )1, 1f 1y xe = ( )' 0f x = 2x = x a= − 2a = − ( )' 0f x ≤ ( )f x R ( )f x 2a > − ( )' 0f x > 2a x− < < ( )' 0f x < x a< − 2x > ( )f x ( ),2a− ( ), a−∞ − ( )2,+∞ ( ) ( ) 2 42 0af x f e += = > 极大值 2a < − ( )' 0f x > 2 x a< < − ( )' 0f x < 2x < x a> − ( )f x ( )2, a− ( ),2−∞ ( ),a− +∞ ( ) ( ) 0a af x f a e −= − = > 极大值 ( )f x