人教A版2020-2021学年上学期高三期中备考金卷 文科数学（B卷）含答案+解析

2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 文 科 数 学（B） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．若复数 满足 (其中 为虚数单位)，则复数 为（ ） A． B． C． D． 3．在数列 中， ， ，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．已知函数 （ 为自然对数的底数），若 ， ， ， 则（ ） A． B． C． D． 5．已知 ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数 的图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．若非零向量 、 满足 且 ，则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 8．已知 ， 均为正实数，且 ，则 的最小值为（ ） A．20 B．24 C．28 D．32 9．在正方体 中， 分别是 ， 的中点，则（ ） A． B． C． 平面 D． 平面 10．设数列 的前 项和为 ，当 时， ， ， 成等差数列，若 ， 且 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，圆 与双曲线的一个交点为 ，若 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 12．函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． { 1,0,1,2}A = − 2{ | 1}B x x= ≤ A B = { }1,0,1− { }0,1 { }1,1− { }0,1,2 z i 4 5iz = − i z 5 4i− 5 4i− + 5 4i+ 5 4i− − { }na 3 5a = 1 2 0( )n na a n+ +− − = ∈N 25nS = n = 3 4 5 6 ( ) x xf x e e−= − e 0.50.7a −= 0.5log 0.7b = 0.7log 5c = ( ) ( ) ( )f b f a f c< < ( ) ( ) ( )f c f b f a< < ( ) ( ) ( )f c f a f b< < ( ) ( ) ( )f a f b f c< < a ∈ R 2a > 2 2a a> 2 ln | | | | x xy x = a b | | | |=a b (2 )+ ⊥a b b a b π 6 π 3 2π 3 5π 6 x y 1 1 1 2 2 6x y + =+ + x y+ 1 1 1 1ABCD A B C D− ,M N 1BC 1CD 1 1MN C D∥ 1MN BC⊥ MN ⊥ 1ACD MN ⊥ 1ACC { }na n nS n ∗∈N na 1 2n + 1na + 2020nS = 2 3a < n 63 64 65 66 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 1F 2F 2 2 2 2: 0O x y a b+ − − = P 1 2| 2| ||PF PF= 6 3+ 6 3 2 + 6 1− 6 1 2 + ( ) 2f x ax= − ( ) xg x e= y x= a , 4 e −∞   , 2 e −∞   ( ],e−∞ ( 2,e −∞  此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．一工厂生产了某种产品 18000 件，它们来自甲，乙，丙 3 个车间，现采用分层抽样的方法对这 批产品进行抽样检查，已知从甲，乙，丙 3 个车间依次抽取产品的件数恰好组成一个等差数列，则 这批产品中乙车间生产的产品件数是________． 14．已知 ，则 __________． 15．已知函数 ，若函数 恰有 个不同的零点，则实数 的取 值范围是__________． 16．黄金分割比 被誉为“人间最巧的比例”．离心率 的椭圆被称为“优 美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆” （ ）的左右顶点分别为 A， B，“优美椭圆”C 上动点 P（异于椭圆的左右顶点），设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 __________． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12 分）在锐角 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，且 ． （1）确定角 的大小； （2）若 ，且 的面积为 ，求 的值． 18．（12 分）如图，四棱锥 中，平面 底面 ABCD， 是等边三角形，底 面 ABCD 为梯形，且 ， ， ． （1）证明： ； （2）求 A 到平面 PBD 的距离． 19．（12 分）在疫情防控中，不聚集、戴口罩、保持社交距离是对每个人的基本要求同时，通过运 动健身增强体质，进而提升免疫力对个人防护也有着重要的意义，某机构为了解“性别与休闲方式为 π 1cos( )4 3 α + = sin 2α = 2( 1 , 1( ) 2 2 ) , 1 a x xf x x a x  − + > PA PB 1k 2k 1 2k k = ABC△ a b c A B C 3 2 sina c A= C 7c = ABC△ 3 3 2 a b+ P ABCD− PDC ⊥ PDC△ 60DAB∠ = ° AB CD∥ 2 2DC AD AB= = = BD PC⊥ 运动”是否有关，随机调查了 个人，其中男性占调查人数的 ．已知男性中有一半的人休闲方式是 运动，而女性只有 的人休闲方式是运动． （1）完成下列 列联表； （2）若在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查的 人数至少有多少？ 运动 非运动 总计 男性 女性 总计 参考公式： ，其中 ． 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828 20．（12 分）己知椭圆 的一个顶点坐标为 ，离心率为 ，直线 交椭圆于不同的两点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 ，当 的面积为 时，求实数 的值． 21．（12 分）已知 （ ）． （1）若 对 恒成立，求实数 a 范围； （2）求证：对 ，都有 ． n 2 5 1 3 2 2× n 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d − + + + += n a b c d= + + + ( )2 nP K k≥ 0k 2 2 2 2: 1( 0)x yM a ba b + = > > (2,0) 3 2 y x m= + ,A B M ( )1,1C ABC△ 1 m ( ) 1xf x e ax= − − a ∈ R ( ) 0f x ≥ x∈R n ∗∀ ∈N 1 1 1 11 2 3 11 1 1 1 n n n nn n n n n + + + +       + + + + x 2( ) 2f x a a≤ − R a 2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 文 科 数 学（B）答 案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】 ，所以 ，故选 A． 2．【答案】D 【解析】由 可得 ，故选 D． 3．【答案】C 【解析】因为 ，所以 是公差为 2 等差数列， 因为 ， ，所以 ，解得 ， 故选 C． 4．【答案】D 【解析】因为 ， ， ，∴ ， 又 在 上是单调递减函数，故 ，故选 D． 5．【答案】A 【解析】因为 或 ， 所以 是 的充分不必要条件，故选 A． 6．【答案】D 【解析】令 ，则 ， 所以函数 为偶函数，其图像关于 轴对称，故 B 不正确； 当 时， ， ， 由 ，得 ；由 ，得 ， 所以 在 上递减，在 上递增，结合图像分析，A、C 不正确， 故选 D． 7．【答案】C 【解析】设 与 的夹角为 ， 由已知得 ， ，则 ， ∵ ，∴ ， ，解得 ，故选 C． 8．【答案】A 【解析】 均为正实数，且 ，则 ， ， 当且仅当 时取等号． 的最小值为 20，故选 A． 9．【答案】D 【解析】对于选项 A，因为 分别是 ， 的中点， 所以点 平面 ，点 平面 ， 所以直线 MN 是平面 的交线， 又因为直线 在平面 内，故直线 MN 与直线 不可能平行， 故选项 A 错； 对于选项 B，正方体中易知 ， 因为点 是 的中点，所以直线 与直线 不垂直，故选项 B 不对； 对于选项 C，假设 平面 ，可得 ． 因为 是 的中点，所以 ，这与 矛盾，故假设不成立． 2{ | 1} { | 1 1}B x x x x= ≤ = − ≤ ≤ { 1,0,1}A B = − i 4 5iz = − 4 5i i(4 5i) 5i 4iz −= = − − = − − 1 2 0( )n na a n+ +− − = ∈N { }na 3 5a = 25nS = ( ) 1 1 2 2 5 1 2 252 a n nna + × = −+ × = 1 1 5 a n =  = 0.50.7 1a −= > 0 1b< < 0c < a b c> > ( )f x R ( ) ( ) ( )f a f b f c< < 2 2 0 ( 2) 0 2a a a a a− > ⇒ − > ⇒ > 0a < 2a > 2 2a a> 2 ln | |( ) | | x xf x x = 2( ) ln | |( ) ( )| | x xf x f xx − −− = =− ( )f x y 0x > 2 ln( ) lnx xf x x xx = = ( ) 1 lnf x x′ = + ( ) 0f x′ > 1x e > ( ) 0f x′ < 10 x e < < ( )f x 1(0, )e 1( , )e +∞ a b θ (2 )+ ⊥a b b (2 ) 0+ =a b b 22 0⋅ + =a b b | | | |=a b 2cos 1 0θ + = 1cos 2 θ = − 2π 3 θ = ,x y 1 1 1 2 2 6x y + =+ + 1 16 12 2x y  + = + +  ( 2) ( 2) 4x y x y∴ + = + + + − 1 16( )[( 2) ( 2)] 42 2 x yx y = + + + + −+ + 2 2 2 26(2 ) 4 6(2 2 ) 4 202 2 2 2 y x y x x y x y + + + += + + − ≥ + ⋅ − =+ + + + 10x y= = x y∴ + ,M N 1BC 1CD N ∈ 1 1CDD C M ∉ 1 1CDD C 1 1CDD C 1 1C D 1 1CDD C 1 1C D 1NB NC≠ M 1BC MN 1BC MN ⊥ 1ACD 1MN CD⊥ M 1BC 1MC MD= 1MC MD≠ 所以选项 C 不对； 对于选项 D，分别取 ， 的中点 P、Q，连接 PM、QN、PQ． 因为点 是 的中点，所以 且 ． 同理 且 ． 所以 且 ，所以四边形 为平行四边形， 所以 ． 在正方体中， ， ， 因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． 因为 ，所以 平面 ，故选项 D 正确， 故选 D． 10．【答案】A 【解析】由 ， ， 成等差数列，可得 ， ， 则 ， ， ， ， 可得数列 中，每隔两项求和是首项为 ，公差为 的等差数列． 则 ， ， 则 的最大值可能为 ． 由 ， ，可得 ， ， 因为 ， ， ，即 ，所以 ， 则 ，当且仅当 时， ，符合题意， 故 的最大值为 ，故选 A． 11．【答案】A 【解析】设 ，则 ，焦距 ， 圆 ，即 ， 所以圆 是以 为圆心，半径为 的圆， ， 可得 是直角三角形，且 是圆的直径，所以 ， 即 ，解得 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，故选 A． 12．【答案】C 【解析】由题可知，曲线 与 有公共点，即方程 有解， 即 有解， 令 ，则 ， 则当 时， ；当 时， ， 故 时， 取得极大值 ，也即为最大值， 当 趋近于 时， 趋近于 ，所以 满足条件．故选 C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 1 1B C 1 1C D M 1BC 1PM CC∥ 1 1| |= | |2PM CC 1QN CC∥ 1 1| | | |2QN CC= PM QN∥ | | | |PM QN= PQNM PQ MN∥ 1CC PQ⊥ PQ AC⊥ 1AC CC C= AC ⊂ 1ACC 1CC ⊂ 1ACC PQ ⊥ 1ACC PQ MN∥ MN ⊥ 1ACC na 1 2n + 1na + 1 2 1++ = +n na a n n ∗∈N 1 2 3a a+ = 3 4 7a a+ = 5 6 11a a+ =  { }na 3 4 62 31 303 31 4 1953 20202S ×= × + × = < 64 32 313 32 4 2080 20202S ×= × + × = > n 63 1 2 1++ = +n na a n n ∗∈N 1 2 2 3+ ++ = +n na a n ( ) ( ) ( )63 1 2 3 4 5 62 63S a a a a a a a= + + + + + + + 1 5 9 125a= + + + + 1 1 31 3031 5 4 20152a a ×= + × + × = + 1 2 3a a+ = 1 23a a= − 2 3a < 2 3a− > − 1 0a > 63 12015 2015S a= + > 1 5a = 63 2020S = n 63 2| |PF x= 1| | 2PF x= 1 2| | 2F F c= 2 2 2 2: 0O x y a b+ − − = 2 2 2x y c+ = O (0,0) c 1 2| || | | |OF OP F cO = = = 1 2PF F△ 1 2F F 2 2 2 1 2 1 2 || || | |PF PF F F+ = 2 2 2( 2 ) (2 )x x c+ = 3 2c x= 1 2| || | 2PF PF a− = 2 2x x a− = 2 1 2a x −= 3 2 6 3 2 1 2 xce a x = = = + − ( ) 2f x ax= − lny x= 2 lnax x− = 2 ln xa x += ( ) 2 ln xh x x += ( ) 2 1 ln xh x x − −′ = 10 x e < < ( ) 0h x′ > 1x e > ( ) 0h x′ < 1x e = ( )h x 1h ee   =   x 0 ( )h x −∞ a e≤ 13．【答案】6000 【解析】设甲，乙，丙 3 个车间的产品件数分别为 ， ， ， 所以 ，解得 ， 所以这批产品中乙车间生产的产品件数是 6000，故答案为 6000． 14．【答案】 【解析】∵ ，∴ ， 又 ，∴ ，本题正确结果 ． 15．【答案】 【解析】当 时，令 ，得 ，即 ，该方程至多两个根； 当 时，令 ，得 ，该方程至多两个根， 由于函数 恰有 个不同的零点，则函数 在区间 和 上均有两 个零点． 由题意知，直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点，如下图所示： 由图象可知， ，解得 ； 函数 在区间 上也有两个零点， 令 ，解得 ， ， 由题意可得 ，解得 ， 综上所述，实数 的取值范围是 ，故答案为 ． 16．【答案】 【解析】设 ， ， ， ， 则 ． 故答案为 ． 三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由 及正弦定理得 ， ∵ ，∴ ， ∵ 是锐角三角形，∴ ． （2）∵ ， 面积为 ，∴ ，即 ．① ∵ ，∴由余弦定理得 ，即 ．② 由②变形得 ， ③将①代入③得 ，故 ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）由余弦定理得 ， ∴ ，∴ ， ， ，∴ ． 又平面 底面 ，平面 底面 ， 底面 ， a d− a a d+ ( ) ( ) 18000a d a a d− + + + = 6000a = 7 9 π 1cos( )4 3 α + = 2 2 7cos 2 2cos 1 14 9 π π 2 9 α α   + = + − = − = −       π 2cos(2 ) sin 2α α+ = − 7sin 2 9 α = 7 9 [3,6) 1x < ( ) 1 0f x − = | 1| 1 02 a x− + − = | 1| 12 ax + = − 1x ≥ ( ) 1 0f x − = 2(2 ) 1 0x a− − = ( ) 1y f x= − 4 ( ) 1y f x= − ( ),1−∞ [1, )+∞ 12 ay = − | 1|y x= + ( ,1)−∞ 0 1 22 a< − < 2 6a< < ( ) 1y f x= − [1, )+∞ 2(2 ) 1 0x a− − = 1 1 2 ax −= 2 1 2 ax += 1 12 a − ≥ 3a ≥ a [3,6) [3,6) 1 5 2 − ( )cos , sinP a bθ θ π ,2 k kθ ≠ ∈Z ( ),0A a− ( ),0B a ( ) 2 2 2 2 1 2 22 2 sin sin sin 1 51cos cos 2cos 1 b b b bk k ea a a a aa θ θ θ θ θ θ −= ⋅ = = − = − =+ − − 1 5 2 − π 3C = 5 3 2csina A= 3sin 2sin sinA C A= sin 0A ≠ 3sin 2C = ABC π 3C = π 3C = ABC△ 3 3 2 1 3 3sin2 π 3 2ab = 6ab = 7c = 2 2 π2 cos 73a b ab+ − = 2 2 7a b ab+ − = 2( ) 3 7a b ab+ = + 2( ) 25a b+ = 5a b+ = 3 2h = 2 21 2 2 1 2cos60 3BD = + − × × ° = 2 2 2BD AB AD+ = 90ABD∠ = ° BD AB⊥ AB DC ∥ BD DC⊥ PDC ⊥ ABCD PDC  ABCD DC= BD ⊂ ABCD ∴ 平面 ， 又 平面 ，∴ ． （2）设 到平面 的距离为 ，取 中点 ，连结 ， ∵ 是等边三角形，∴ ． 又平面 底面 ，平面 底面 ， 平面 ， ∴ 底面 ，且 ， 由（1）知 平面 ，又 平面 ，∴ ． ∴ ，即 ，解得 ． 19．【答案】（1）列联表见解析；（2）140 人． 【解析】（1）由题意，被调查的男性人数为 ，其中有 人的休闲方式是运动； 被调查的女性人数应为 ，其中有 人的休闲方式是运动，则 列联表如下： 运动 非运动 总计 男性 女性 总计 （2）由表中数据，得 ， 要使在犯错误的概率不超过 0．05 的前提下，认为“性别与休闲方式有关”， 则 ， 所以 ，解得 ， 又 且 ，所以 ， 即本次被调查的人数至少有 140 人． 20．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题意知 ， ，则 ，∴ ， ∴椭圆 的方程为 ． （2）设 ， ， 联立 ，得 ， ∴ ，解得 ， ， ， ∴ ， 又点 到直线 的距离为 ， ∵ ，解得 ， ∴ ． 21．【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【解析】（1） ， BD ⊥ PDC PC ⊂ PDC BD PC⊥ A PBD h DC Q PQ PDC△ PQ DC⊥ PDC ⊥ ABCD PDC  ABCD DC= PQ ⊂ PDC PQ ⊥ ABCD 3PQ = BD ⊥ PDC PD ⊂ PDC BD PD⊥ A PBD P ABDV V− −= 1 1 1 13 2 1 3 33 2 3 2h× × × × = × × × × 3 2h = 2 5 n 5 n 3 5 n 5 n 2 2× 5 n 5 n 2 5 n 5 n 2 5 n 3 5 n 2 5 n 3 5 n n 2 2 2 5 5 5 5 2 3 2 3 36 5 5 5 5 n n n nn nk n n n n  ⋅ − ⋅  = = ⋅ ⋅ ⋅ 2 3.841k ≥ 3.84136 n ≥ 138.276n ≥ *n∈N * 5 n ∈N 140n ≥ 2 2 14 x y+ = 10 2m = ± 2a = 3 2 c a = 3c = 2 2 2 1b a c= − = M 2 2 14 x y+ = 1 1)( ,A x y 2 2 )( ,B x y 2 2 14 y x m x y = + + = 2 25 8 4 4 0x mx m+ + − = 2 264 20(4 4) 0Δ m m= − − > 5 5m− < < 1 2 8 5 mx x∴ + = − 2 1 2 4 4 5 mx x −= 2 2 1 2 1 2 4 2| | 2 ( ) 4 55AB x x x x m= ⋅ + − = ⋅ − C AB | | 2 md = 21 1 4 2 | || | 5 12 2 5 2ABC mS AB d m= ⋅ = × ⋅ − ⋅ =△ 10 ( 5, 5)2m = ± ∈ − 10 2m = ± { }1a a = ( ) xf x e a′ = − 当 时， 对 恒成立，则 在 上单调递增， 由 ，与题设矛盾； 当 时，由 ，得 ；由 ，得 ， 在 单调递减，在 单调递增． 对 成立， 令 （ ）， （ ）， 由 ，得 ；由 ，得 ． 在 单调递增，在 单调递减， ， 只有 适合题意， 综上，a 的取值范围是 ． （2）由（1）可知， 时， ，则 ， ， 令 ，则 ， ， 由 ，知 ，则 ， ． 22．【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】（1）曲线 的直角坐标方程为 ， 曲线 的直角坐标方程为 ． 联立 ，解得 或 ， 所以 与 交点的直角坐标为 和 ． （2）曲线 的极坐标方程为 ，其中 ， 因此 得到极坐标为 ， 的极坐标为 ． 所以 ， 当 时， 取得最大值，最大值为 ． 23．【答案】（1） 或 ；（2） 或 ． 【解析】（1）不等式 可化为 ． 当 时， ，解得 ，即 ； 当 时， ，解得 ，即 ； 当 时， ，解得 ，即 ， 综上所述：不等式 的解集为 或 ． （2）由不等式 可得 ， ∵ ，∴ ， 即 ，解得 或 ， 故实数 的取值范围是 或 ． 0a ≤ ( ) 0f x′ > x∈R ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) 11 1 0f ae − = + − < 0a > ( ) 0f x′ < lnx a< ( ) 0f x′ > lnx a> ( )f x∴ ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ ( ) ( ) ln min ln ln 1 ln 1 0af x f a e a a a a a∴ = = − − = − − ≥ 0a > ( ) ln 1g a a a a= − − 0a > ( ) ( )1 ln 1 lng a a a′∴ = − + = − 0a > ( ) 0g a′ > 0 1a< < ( ) 0g a′ < 1a > ( )g a∴ ( )0,1 ( )1,+∞ ( ) ( )max 1 0g a g∴ = = ∴ 1a = { }1a a = 1a = ( ) 1 0xx ef x= − − ≥ 1 xx e+ ≤ ( ) ( )1 11 n n xx e+ +∴ + ≤ 1 1 kx n + = + ( )1,2,3, ,k n=  1 11 n k n k e n e + +   11 1n ee − < − 11 11 ne e − | 2 | | 1|x x x− + > − 1x < − ( 2) ( 1)x x x− − + > − + 3x > − 3 1x− < < − 1 2x− ≤ ≤ ( 2) 1x x x− − + > + 1x < 1 1x− ≤ < 2x > 2 1x x x− + > + 3x > 3x > ( ) 0f x x+ > { | 3 1x x− < < 3}x > 2( ) 2f x a a≤ − 2| 2 | | 1| 2x x a a− − − ≤ − | 2 | | 1|x x− − − ≤ | 2 1| 3x − − = 2 2 3a a− ≥ 2 2 3 0a a− − ≥ 3a ≥ 1a ≤ − a 3a ≥ 1a ≤ −