2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷
理 科 数 学（A）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，求 （ ）
A． B． C． D．
2．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，
南乡八千三百五十六，凡三乡，发役三百七十八人，欲以算数多少出之，何各几何?”意思是：北乡
有 人，西乡有 人，南乡有 人，现要按人数多少从三乡共征集 人，问从各乡征
集多少人?在上述问题中，需从西乡征集的人数是（ ）
A． B． C． D．
3．若复数 ， ，且 ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若 为坐标原点， 是直线 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七
名护士，每名护士从周一到周日轮流值一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，
乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为（ ）
A．甲 B．丙 C．戊 D．庚
7．等差数列 的前 项和为 ，若公差 ， ，则当 取得最大值时， 的值为
（ ）
A． B． C． D．
8．公元前 世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（ ）与它的直径（ ）的
立方成正比”，即 ，欧几里得未给出 的值． 世纪日本数学家们对求球的体积的方法还
不了解，他们将体积公式 中的常数 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱
（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式 求体积（在等边圆柱中， 表示底面圆的
直径；在正方体中， 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球、等边圆柱、正方体的“玉积率”
分别为 、 、 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
9．设变量 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 对定义域 内的任意 都有 ，且当 时，其导函数
满足 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆上一点，点 ，当 的周长最大
时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，
{ | 1 3}A x x= − < < { | ln 1}B x x= < A B = { | 1 }x x e− < < { | 0 1}x x< < { | 0 }x x e< < { | 3}x e x< < 8758 7236 8356 378 102 112 130 136 1 1 2iz = + 2 4iz m= + 1 2z z⋅ ∈R m 2− 4− 2 4 O P 2 0x y− + = | |OP 2 2 2 3 2 θ ∈R π0 3 θ< < 3sin cos2 1θ θ+ >
{ }na n nS 2d = − 3 21S = nS n
10 9 6 5
3 V a
3V ka= k 17
3V ka= k
3V ka= a
a
1k 2k 3k 1 2 3: :k k k =
2π :3π :6 3π : 2π :6 2π :3π :12 3π : 2π :12
x y 3 4
2
y x
x y
x
≥
+ ≤
≥ −
| 3 |z x y= −
4 6 8 10
( )f x R x ( ) (4 )f x f x= − 2x ≠ ( )f x′
( ) 2 ( )xf x f x′ ′> 2 4a< < 2(2 ) (3) (log )af f f a< < 2(3) (log ) (2 )af f a f< < 2(log ) (3) (2 )af a f f< < 2(log ) (2 ) (3)af a f f< < 2 2 19 5 x y+ = F P (0,2 3)A APF△ APF△ 11 4 11 3 4 21 4 21 3 4 2( ) ( 2 )sin( 1) 1f x x x x x= − − + + [ 1,3]− M m 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
则 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．在 的二项展开式中，常数项等于__________．
14．在平面直角坐标系 中，已知 ， ．若 ， ，
则实数 的值为________．
15．若将函数 的图象向左平移 个单位长度，
平移后的图象关于点 对称，则函数 在 上的最小值为
_______．
16．数列 满足 ， ，其中 ，若存在正整数 ，当 时总有 ，
则 的取值范围是__________．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，
．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的面积．
18．（12 分）唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，
在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔．唐三彩的生产至今已有
多年的历史，制作工艺十分复杂，它的制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后
方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立。某陶瓷厂准备仿制甲、乙、丙三件不同的唐三彩工
艺品，根据该厂全面治污后的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依
次为 ， ， ，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品合格的概率依次为 ， ， ．
（1）求第一次烧制后甲、乙、丙三件中恰有一件工艺品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，甲、乙、丙三件工艺品成为合格工艺品的件数为 ，求随机变量 的
数学期望．
19．（12 分）如图，在六面体 中，平面 平面 ， 平面 ，
， ，且 ， ．
M m+ =
4 2 1 0
62( )x x
−
xOy (3, 1)OA = − (0,2)OB = 0OC AB⋅ = AC OBλ=
λ
1 3( ) sin(2 ) cos(2 )(0 π)2 2f x x xϕ ϕ ϕ= + + + < < π 4 π( ,0)2 3( ) sin( ) 2g x x ϕ= + − π[ ],2 π 6 − { }na 1 1a = 1 1n n na an λ + −= + [1,5]λ ∈ m n m> 0na < λ ABC△ A B C a b c π 3A = 2 2 23 3b c abc a+ − = a 1b = ABC△ 1300 1 2 4 5 3 5 4 5 1 2 2 3 X X ABCDEFG ABC∥ DEFG AD ⊥ DEFG DE DG⊥ EF DG∥ 2AB AD DE DG= = = = 1AC EF= =
（1）求证： 平面 ；
（2）求锐二面角 的余弦值．
20．（12 分）如图，已知椭圆 ， 为其右焦点，直线 与椭圆
相交于 ， 两点，点 ， 在 上，且满足 ， ，
（点 ， ， ， 从上到下依次排序）．
（1）试用 表示 ；
（2）证明：原点 到直线 的距离为定值．
21．（12 分）已知函数 ．
BF∥ ACGD
D CG F− −
2
2: 14
xC y+ = F : ( 0)l y kx m km= + < 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y A B l | | | |PA PF= | | | |QB QF= | | | |OA OB= A P Q B 1x | |PF O l ( ) ln( 1) ( 1) 1( )f x x k x k= − − − + ∈R
（1）求函数 的单调区间；
（2）若在定义域内 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）证明： ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点，
以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 与直线 的普通方程；
（2）若点 在曲线 上， 在直线 上，求 的最小值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 ， ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 的解集包含集合 ，求实数 的取值范围．
( )f x
( ) 0f x ≤
2
*ln 2 ln3 ln 4 ln ( 2, )3 4 5 1 4
n n n n nn
−+ + + + < ≥ ∈+ N xOy C 3 2cos 1 2sin x y α α = − + = + α O x l 3 cos 4 sin 12 0ρ θ ρ θ− − = C l P C Q l | |PQ ( ) | | | 2 1|f x x a x= − + − a ∈ R 1a = ( ) 3f x ≤ x ( ) | 2 1|f x x≤ + 1[ ,1]2 a
2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷
理 科 数 学（A）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ ．
2．【答案】B
【解析】由题意得，三乡总人数为 人．
∵共征集 人，∴需从西乡征集的人数是 ，故选 B．
3．【答案】A
【解析】 ，故 ， ．
4．【答案】B
【解析】由题意，为使 取最小值，只需 与直线 垂直，
由点到直线距离公式可得 ．
5．【答案】A
【解析】∵ ，
当 时， ，
此时令 ，则 在 上，满足 ，
反之，当 时， ，不一定有 ，比如 ，
∴“ ”是“ ”的充分不必要条件．
6．【答案】D
【解析】已知己的夜班在周四，假设乙和丙的夜班分别在周三和周五，
则“甲的夜班比丙晚一天”与“乙的夜班比庚早三天”矛盾．
因为“甲的夜班比丙晚一天”，所以丙的夜班不可能在周日，
所以乙和丙的夜班分别在周二和周六．
由“甲的夜班比丙晚一天”，得甲的夜班在周日，
由“乙的夜班比庚早三天”，得庚的夜班在周五，故选 D．
7．【答案】D
【解析】由 ， ，得 ，
又因为 ， ，故当 时， 取最大值．
8．【答案】C
【解析】由题意得，球的体积为 ；
等边圆柱的体积为 ，
正方体的体积 ，所以 ．
9．【答案】C
【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影部分，
则对于目标函数 ，平移直线 可知，
当直线经过点 时， 取得最小值 ，
当直线经过点 时， 取得最大值 ，
所以 ，即 ．
10．【答案】C
【解析】由 ，得 ，
{ | ln 1}B x x= < { | 0 }B x x e= < < { | 1 3}A x x= − < < { | 0 }A B x x e= <
23sin 1 2sin 1θ θ+ − > 30 sin 2
θ< < π0 3 θ< < 5π 6 θ = π0 3 θ< < 3sin cos2 1θ θ+ >
2d = − 3 21S = 1 9a =
5 1a = 6 1a = − 5n = nS
3 3 3
1 1
4 4π π( )3 3 2 6
π
6
πaV R a k= = = ⇒ =
2 2 3
2 2π π 4
π( π)2 4
aV R a a a k= = = ⇒ =
33
3 1aV k⇒ == 1 2 3
π π: : : :1 2π :3π :126 4k k k = =
| 3 |z x y= − 1
3y x=
( 2,2)A − 3z x y= − 8−
( 2, 2)B − − 3z x y= − 4
[ ]3 8,4x y− ∈ − | 3 | [0,8]x y− ∈
( ) 2 ( )xf x f x′ ′> ( 2) ( ) 0x f x′− >
则当 时， ，所以 在 上为增函数．
因为 ，所以 ， ．
又由 知函数图象的对称轴为 ，
所以 且 ，
所以 ，即 ，故选 C．
11．【答案】D
【解析】由椭圆方程 ，得 ， ， ，
设椭圆左焦点为 ，则 的周长为
，
当且仅当 ， ， 三点共线，且 在 的延长线上时取等号，
∵ ， ，
∴直线 的方程为 ，即 ，
由 ，得 ，
∴ 的纵坐标为 ，∴当 的周长最大时，
该三角形的面积为 ．
12．【答案】A
【解析】注意到 ，
可令 ， ，则 ， ，
显然 ， ．
又 为奇函数，则 ，所以 ，故选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．【答案】
【解析】根据所给二项式的构成，常数项只有一项，就是 ．
14．【答案】
【解析】∵ ， ，∴ ，
设 ，则 ①．
又 ， ，∴ 且 ②．
由①②可得 ， ， ．
15．【答案】
【解析】∵ ，
向左移 得 ，
∵图象关于点 对称，∴ ，
∵ ，∴ ，故 ，
∵ ，∴ ．
16．【答案】
【解析】记 ，（ ， ， ），
根据题意可知， ，这时总存在 ，满足：当 时， ；
当 时， ．
所以由 及 可知，
若 为偶数，则 ，从而当 时 ；
若 为奇数，则 ，从而当 时 ．
2x > ( ) 0f x′ > ( )f x (2, )+∞
2 4a< < 4 2 16a< < 21 log 2a< < ( ) (4 )f x f x= − 2x = 2 2(log ) (4 log )f a f a= − 22 4 log 3 2aa< − < < 2(4 log ) (3) (2 )af a f f− < < 2(log ) (3) (2 )af a f f< < 2 2 19 5 x y+ = 3a = 5b = 2 2 2c a b= − = F′ APF△ | | | | | | | | | | 2 | | 4 6 | | | | 10 | |AF AP PF AF AP a PF AP PF AF′ ′ ′+ + = + + − = + + − ≤ + A P F′ P AF′ (0,2 3)A ( 2,0)F′ − AF′ 12 2 3 x y+ =− 3 2 3 0x y− + = 2 2 3 2 3 0 19 5 x y x y − + = + = 232 20 3 75 0y y− − = P 5 3 8 − APF△ 1 5 3 21 3| | | | 2 | 2 3 |2 8 4A PFF y y′ ⋅ − = × + = 2( ) [( 1) 1]sin( 1) 1f x x x x= − − − + + 1t x= − 2( ) ( 1)sing t t t t= − + ( ) ( ) 2y f x g t= = + [ 2,2]t ∈ − max( ) 2M g t= + min( ) 2m g t= + ( )g t max min( ) ( ) 0g t g t+ = 4M m+ = 160− 3 3 3 4 6 2C ( ) 160T x x = − = − 2 (3, 1)OA = − (0,2)OB = ( 3,3)AB OB OA= − = − ( , )OC m n= 3 3 0OC AB m n⋅ = − + = ( 3, 1)AC OC OA m n= − = − + AC OBλ= 3 0m − = 1 2n λ+ = 3m = 3n = 2λ = 3− 1 3( ) sin(2 ) cos(2 ) sin(2 )2 2 π 3f x x x xϕ ϕ ϕ= + + + = + + π 4 sin(2 ) cos(2 )2 3 3 π π πy x xϕ ϕ= + + + = + + π( ,0)2 cos(2 ) cos(π )π π π cos( ) 02 3 3 π 3 ϕ ϕ ϕ× + + = + + = − + = 0 πϕ< < π 6 ϕ = 3( ) sin( )6 π 2g x x= + − π π 3 3 π 6x− ≤ + ≤ 3 ( ) 0g x− ≤ ≤ (1,2) (3,4) 1n n nb λ−= + 1n = 2 nλ ≠ ( *)n∈N 0 *n ∈N 0n n≥ 0nb >
0 1n n≤ − 0nb < 1n n na b a+ = 1 1 0a = >
0n 0
0na < 0n n> 0na < 0n 0 0na > 0n n> 0na >
因此“存在 ，当 时，总有 ”的充分必要条件是： 为偶数，记 （ ，
， ），则 满足 ，
故 的取值范围是 ，
又 ，∴ ．
三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意，得 ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ．
（2）∵ ，由正弦定理 ，可得 ．
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
18．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】分别记甲乙丙第一次烧制后合格为事件 ， ， ，
（1）设事件 表示第一次烧制后恰好有一件合格，
则 ．
（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为 ，
所以随机变量 ，
所以 ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）设 的中点为 ，连接 ， ，
易证：四边形 是平行四边形，
∴ ，且 ，
∵平面 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ ，且 ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ．
（2）由题意可得 ， ， 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ；
又平面 的法向量为 ，
∴ ，
由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角 的余弦值为 ．
20．【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【解析】（1）椭圆 ，故 ，
．
*m∈N n m> 0na < 0n 0 2n k= 1k = 2 λ 2 2 1 2 02 1 2 1 02 k k kb k kb k λ λ − − = > + − − = π
6B = ππ 2C A B= − − =
1 3sin2 2ABCS ab C= =△
13
50
( ) 1.2E X =
1A 2A 3A
E
1 1 2 1 4 2 1 1 3 13( ) 2 5 5 2 5 5 2 5 5 50P E = × × + × × + × × =
2
5p =
~ (3,0.4)X B
( ) 3 0.4 1.2E X np= = × =
6
6
DG M AM FM
DEFM
MF DE∥ MF DE=
ABC∥ DEFG AB DE∥
AB DE= MF AB∥ MF AB=
ABFM BF AM∥
BF ⊂ ACGD AM ⊂ ACGD BF∥ ACGD
AD DE DG
(0,2,0) (2,1,0) ( 2,1,0)FG = − = − (0,1, 2)CG = −
BCGF 1 ( , , )x y z=n
1
1
2 0
2 0
FG x y
CG z y
⋅ = − + =
⋅
= − +
=
n
n
2y = 1 (1,2,1)=n
ADGC 2 (1,0,0)=n
2
1 2
1 2
1 2
2 2 2 2 2
1 1 6cos , | | 61 2 1 1 0 0
⋅ ×< >= = =
+ + × + +‖
n nn n n n
D CG F− − 6
6
1
32| 2| xPF = −
2
2: 14
xC y+ = ( 3,0)F
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 3 3| | ( 3) ( 3) 1 22 3 44 4 2PF x y x x x x x= − + = −= − + − = − +
（2）设 ， ，
则将 代入 ，得到 ，
故 ， ， ，
，故 ，得到 ，
，故 ，同理 ，
由已知得 或 ，
故 ，
即 ，化简得到 ，
故原点 到直线 的距离为 为定值．
21．【答案】（1）见解析；（2） ；（3）证明见解析．
【解析】（1）定义域为 ， ，
若 ， ， 在 上单调递增；
若 ， ，
所以，当 时， ，当 时， ．
综上：若 ， 在 上单调递增；
若 ， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）知， 时， 不可能成立；
若 ， 恒成立， ，得 ，
综上， ．
（3）由（2）知，当 时，有 在 上恒成立，即 ，
令 ，得 ，即 ，
，得证．
22．【答案】（1） ， ；（2）3．
【解析】（1）由 ，消去 ，得 ，
因为 ，
由直角坐标与极坐标的转化公式可得 ，
所以曲线 的普通方程为 ，直线 的普通方程为 ．
（2）由（1）知： ，得圆心为 ，半径为 ，
，
的最小值即圆心 到直线 的距离减去圆的半径，
因为 到直线 的距离 ，
所以 的最小值为 ．
23．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
所以不等式 ，即为 ，
等价于 或 或 ，
即 或 或 ，
解得 或 或 ，∴ ，
∴原不等式的解集为 ．
（2）∵不等式 的解集包含集合 ，
3 3( , )A x y 4 4( , )B x y
y kx m= +
2
2 14
x y+ = 2 2 2(4 1) 8 4 4 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
8
4 1
kmx x k
−+ = +
2
1 2 2
4 4
4 1
mx x k
−= +
2
1
2
2 2
4 4 1| | 4 1
k mx x k
+ −− = +
| | | |OA OB= 3 4 3 4
3 4 3 4
( ) 2 1y y k x x m
x x x x k
+ + += = −+ + 3 4 2
2
1
kmx x k
−+ = +
| | | |PA PF= 2
1 3 1
31 | | 2 2k x x x+ − = − 2
4 2 2
31 | | 2 2k x x x+ − = −
3 1 2 4x x x x< < < 3 1 2 4x x x x> > >
2
1 2 3 4 2 1
31 | ( ) ( ) | | |2k x x x x x x+ + − + = −
2 2
2
2 2 2
8 2 4 11 | | 2 34 1 1 4 1
km km k mk k k k
− + −+ ⋅ + = ⋅+ + +
2 2 1m k= +
O l 2
| | 1
1
md
k
= =
+
1k ≥
(1, )+∞ 1 1( ) 1 1
k kxf x kx x
+ −′ = − =− −
0k ≤ 1( ) 01f x kx
′ = − ≥− ( )f x (1, )+∞
0k >
1( )
( ) 1
kk x kf x x
+− −
′ = −
( ) 0f x′ > 11 1x k
< < + ( ) 0f x′ < 1 1x k > +
0k ≤ ( )f x (1, )+∞
0k > ( )f x 1(1, 1)k
+ 1( 1, )k
+ +∞
0k ≤ (2) 1 0f k= − >
0k > ( ) 0f x ≤ 1( 1) ln 0f kk
+ = − ≤ 1k ≥
1k ≥
1k = ( ) 0f x ≤ (1, )+∞ ln( 1) 2x x− < − 21 ( , 1)x n n N n∗− = ∈ > 2 2ln 1n n< − ln 1 1 2 n n n −
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