2021届高三数学期中备考名题好卷（新高考）01（解析版）

名题好卷-2021 届高三期中备考 数 学 试 卷（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡 上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上 的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一．选择题（共 8 小题） 1．已知集合 A＝{x|x 2﹣2x＜0}，B＝{x|x﹣1≥0}，则集合 A∩B＝（　　） A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x≥1} D．{x|1≤x＜2} 【答案】D 【解析】∵集合 A＝{x|x 2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}， ∴集合 A∩B＝{x|1≤x＜2}．故选：D． 2．若复数 z1 对应复平面内的点（2，﹣3），且 z 1•z 2＝1+i，则复数 z 2 的虚部为（　　） A． - 5 13 B． 5 13 C． - 1 13 D． 1 13 【答案】B 【解析】由题意，z 1＝2﹣3i，又 z 1•z 2＝1+i，∴ z2 = 1 + 푖 2 ― 3푖 = (1 + 푖)(2 + 3푖) (2 ― 3푖)(2 + 3푖) = ― 1 13 + 5 13푖， ∴复数 z2 的虚部为 5 13．故选：B． 3．在（2x+a） 5（其中 a≠0）的展开式中，x 2 的系数与 x3 的系数相同，则 a 的值为（　　） A． ± 1 2 B． 1 2 C．﹣2 D．2 【答案】D 【解析】在（2x+a） 5（其中 a≠0）的展开式中，通项 T k+1 = ∁푘5（2x） 5﹣ kak， ∵x 2 的系数与 x3 的系数相同，∴∁35•2 2•a 3 = ∁25•2 3a2， 又∵a≠0，∴a＝2，故选：D． 4．已知 → a与 → b均为单位向量，若 → b ⊥ (2 → 푎 + → 푏)，则 → a与 → b的夹角为（　　）A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】D 【解析】设 → a与 → b的夹角为 θ；因为 → a与 → b均为单位向量， ∵ → b ⊥ (2 → 푎 + → 푏)⇒ → b•（2 → a + → b）＝2 → a• → b + → b 2 = 0，∴2×1×1×cosθ+1 2＝0⇒cosθ = - 1 2； 因为 θ 为向量的夹角，所以 θ＝120°；故选 D． 5．已知tan(α + 휋 4) = ―3，则 sin2α＝（　　） A． 4 5 B． 2 5 C． - 4 5 D． - 4 5 5 【答案】A 【解析】∵tan(α + 휋 4) = ―3，∴푡푎푛훼 + 1 1 ― 푡푎푛훼 = ― 3，解得 tanα＝2， ∴sin2α = 2푠푖푛훼푐표푠훼 푠푖푛2훼 + 푐표푠2훼 = 2푡푎푛훼 푡푎푛2훼 + 1 = 2 × 2 22 + 1 = 4 5．故选：A． 6．函数f(x) = cosx ⋅ ln( 푥2 + 1 ― 푥)在[﹣1，1]的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】f( - x) = cos( - x) ⋅ ln( 푥2 + 1 + 푥) = ― 푐표푠푥 ⋅ 푙푛( 푥2 + 1 ― 푥) = ― 푓(푥)，故函数 f（x）为奇函 数，其图象关于原点对称，故排除 CD；又f(1) = cos1 ⋅ ln( 2 ― 1)＜0，故排除 A．故选：B． 7．若直线 푥 푎 + 푦 푏 = 1（a＞0，b＞0）过点（2，1），则 2a+b 的最小值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【解析】由题意可得， 2 푎 + 1 푏 = 1，则 2a+b＝（2a+b）（ 2 푎 + 1 푏）＝5 + 2푏 푎 + 2푎 푏 ≥ 5+4＝9， 当且仅当2푏 푎 = 2푎 푏 且 2 푎 + 1 푏 = 1，即 a＝b＝3 时取等号，此时取得最小值 9．故选 B． 8．已知 A1，A2 分别是双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1的左，右顶点，F 为左焦点，以 A1A2 为直径的圆与双曲线 C 的两 条渐近线在 x 轴上方，从左至右依次交于 M，N 两点，若 FM∥ON，则该双曲线的离心率为（　　） A． 2 B．2 C． 2 3 3 D． 6 2 【答案】A【解析】A 1，A 2 分别是双曲线 C：푥2 푎2 ― 푦2 푏2 = 1的左，右顶点，F 为左焦点， 以 A1A2 为直径的圆与双曲线 C 的两条渐近线在 x 轴上方，从左至右依次交于 M，N 两点， 若 FM∥ON，可知三角形 FMO 为等腰三角形，腰长为 a，底边为 c，底角为 α，tanα = 푏 푎 = 푎2 ― 푐2 4 푐 2 ， 即4푎2 ― 푐2 푐2 = 푐2 ― 푎2 푎2 ，解得 e = 푐 푎 = 2．故选 A． 二．多选题（共 4 小题） 9．“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家 经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体．自 2013 年以来，“一带一路”建设 成果显著如图是 2013﹣2017 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（　　） A．这五年，2013 年出口额最少 B．这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D．这五年，2017 年进口增速最快 【答案】ABD 【解析】对于 A，2013 出口额最少，故 A 对；对于 B，这五年，出口总额比进口总额多，故 B 对； 对于 C，2013﹣2014 出口速率在增加，故 C 错； 对于 D，根据蓝色线斜率可知，2017 年进口速度最快，故 D 对．故选 ABD． 10．关于函数 f（x）＝3sin （2x - 휋 3）+1（x∈R），下列命题正确的是（　　） A．由 f（x 1）＝f（x 2）＝1 可得 x 1﹣x 2 是 π 的整数倍 B．y＝f （x） 的表达式可改写成 f（x）＝3cos（2x - 5휋 6 ）+1 C．y＝f（x）的图象关于点（ 3휋 4 ，1）对称 D．y＝f（x）的图象关于直线 x = - 휋 12对称 【答案】BD 【解析】A．由 f（x）＝3sin （2x - 휋 3）+1＝1 得 sin （2x - 휋 3）＝0， 则函数的周期 T＝π，则 x 1﹣x 2 是푇 2 = 휋 2的整数倍，故 A 错误， B．f（x）＝3sin （2x - 휋 3）+1＝3cos[ 휋 2 ― （2x - 휋 3）]＝3cos（ 5휋 6 ― 2x）+1＝3cos（2x - 5휋 6 ）+1，故 B 正确， C．当 x = 3휋 4 时，sin（2 × 3휋 4 ― 휋 3）＝sin（ 3휋 2 ― 휋 3）＝sin 7휋 6 = ― 1 2 ≠ 0，即函数关于（ 3휋 4 ，1）不对称，故 C 错 误， D．当 x = - 휋 12时，sin[2×（ - 휋 12） - 휋 3]＝sin（ - 휋 6 ― 휋 3）＝sin（ - 휋 2）＝﹣1，是最小值，则 y＝f（x）的 图象关于直线 x = - 휋 12对称，正确，故正确的是 BD， 11．设抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，准线为 l，A 为 C 上一点，以 F 为圆心，|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点．若∠ABD＝90°，且△ABF 的面积为 9 3，则（　　） A．|BF|＝3 B．△ABF 是等边三角形 C．点 F 到准线的距离为 3 D．抛物线 C 的方程为 y 2＝6x 【答案】BCD 【解析】因为|FA|为半径的圆交 l 于 B，D 两点，所以 FA＝FB，若∠ABD＝90°可得 FA＝AB，所以可得△ABF 为等边三角形，所以 B 正确； 过 F 作 FC⊥AB 交于 C，则 C 为 AB 的中点，C 的横坐标为 푝 2，B 的横坐标为 - 푝 2，所以 A 的横坐标为：3푝 2 ， 代入抛物线可得 y2＝3p 2，|y A| = 3푝， △ABF 的面积为 9 3，即1 2（x A﹣x B）|y A| = 1 2•（ 3푝 2 + 푝 2） ⋅ 3푝 = 9 3，解得：p＝3，所以抛物线的方程为：y 2＝6x，所以 D 正确 焦点坐标为：（3 2，0），所以焦点到准线的距离为： 3 2 × 2＝3，所以 C 正确； 此时 A 的坐标：9 2，所以 BF＝AF＝AB = 9 2 + 3 2 = 6，所以 A 不正确， 故选：BCD． 12．已知三棱锥 A﹣BCD 中，BC⊥CD，AB＝AD = 2，BC＝1，CD = 3，则（　　） A．三棱锥的外接球的体积为 4휋 3 B．三棱锥的外接球的体积为 8휋 3 C．三棱锥的体积的最大值为 3 6 D．三棱锥的体积的最大值为 3 【答案】AC 【解析】如图，∵BC⊥CD，BC＝1，CD = 3，∴BD＝2， ∵AB＝AD = 2，∴AB⊥AD，∴BD 的中点 O 为外接球球心，故半径为 1，体积为 4휋 3 ， 当面 ABD 与面 CBD 相互垂直时，点 A 到面 BCD 的距离最大， 故此时三棱锥的体积最大，此时高为 AO = 1 2BD＝1； 其最大值为：1 3 × 1 × 1 2 × BC×CD = 1 6 × 1 × 3 = 3 6 ．故选 AC． 三．填空题（共 4 小题） 13．设函数 f（x） = { ―푥，푥 ≤ 0 푥2，푥＞0 ，若 f（α）＝9，则 α＝　　． 【答案】﹣9 或 3 【解析】由题意可得{α ≤ 0 ―훼 = 9或{α＞0 훼2 = 9∴α＝﹣9 或 α＝314．成都市某次高三统考，成绩 X 经统计分析，近似服从正态分布 X～N（100，σ 2），且 P（86＜X≤100）＝ 0.15，若该市有 8000 人参考，则估计成都市该次统考中成绩 X 大于 114 分的人数为　2800　． 【答案】2800 【解析】根据正态分布 X～N（100，σ 2），且 P（86＜X≤100）＝0.15， 故 P（100＜X≤114）＝0.15， 所以 P（X＞114） = 1 2(1 ― 0.30) = 0.35． 故该市有 8000 人参考，则估计成都市该次统考中成绩 X 大于 114 分的人数为 8000×0.35＝2800． 15．已知直线 l：y＝kx 被圆 C：（x﹣1） 2+（y+2） 2＝4 截得的弦长为 2 3，则 k＝　　，圆 C 上到直线 l 的 的距离为 1 的点有　　个． 【答案】 - 3 4；3 【解析】由题得圆心 C（1，﹣2），则圆心到直线 l 的距离 d = |푘 + 2| 푘2 + 1 = 4 - ( 3)2，解得 k = - 3 4； 因为 d＝1，r＝2，则圆 C 上到直线 l 的距离为 1 的点应有 3 个， 16．对于数列{a n}，定义H푛 = 푎1 + 2푎2 + ⋯ + 2푛―1푎푛 푛 为{a n}的“优值”，现已知某数列的“优值”H푛 = 2푛，记数列{a n} 的前 n 项和为 Sn，则 푆2019 2019 = 　　． 【答案】 1011 【解析】依题意可得H푛 = 푎1 + 2푎2 + ⋯ + 2푛―1푎푛 푛 = 2n． ∴a1 +2푎2 +⋯2푛―1푎푛 = 푛 ⋅ 2푛． a1 +2푎2 +⋯2푛―1푎푛 + 2푛푎푛+1 = (푛 +1) ⋅ 2푛+1 ∴2 n•a n+1＝（n+1）•2 n+1﹣n•2 n ∴a n＝n+1， ∴ 2019 2 (2020 + 2) 2019 = 1011 四．解答题（共 6 小题） 17．已知△ABC 满足　①　，且 b = 6，A = 2휋 3 ，求 sinC 的值及△ABC 的面积．从①B = 휋 4，②a = 3，③ a＝3 2sinB 这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解析】选①，由 A+B+C＝π 可知， sinC = sin[π - (A + B)] = sin(A + B) = sin(2휋 3 + 휋 4) = sin2휋 3 푐표푠휋 4 +푐표푠2휋 3 푠푖푛휋 4 = 3 2 × 2 2 ― 1 2 × 2 2 = 6 ― 2 4 ； 由正弦定理有 푎 푠푖푛퐴 = 푏 푠푖푛퐵，即 푎 푠푖푛2휋 3 = 6 푠푖푛휋 4 ，解得 a＝3， ∴S△퐴퐵퐶 = 1 2푎푏푠푖푛퐶 = 1 2 × 3 × 6 × 6 ― 2 4 = 9 ― 3 3 4 ． 18．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a 4＝26，且 a 1，a 2，a 7 成等比数列． （1）求数列{a n}的通项公式； （2）设 b푛 = ( ― 1)푛+1푎푛，数列{b n}的前 n 项和为 Tn，求 T511． 【解析】（1）设{a n}的公差为 d，d≠0． 因为 a1，a 2，a 7 成等比数列， 所以 a22＝a 1a7， 即（a 1+d） 2＝a 1（a 1+6d），整理得 d 2﹣4da 1＝0． 又 d≠0，所以 d＝4a 1，① 又 a4＝a 1+3d＝26，② 联立①②，得{d = 4푎1 푎1 + 3푑 = 26，解得{a1 = 2 푑 = 8 ． 所以 an＝2+8（n﹣1）＝8n﹣6． （2）因为 b n＝（﹣1） n+1an＝（﹣1） n+1 （8n﹣6）， T511＝b 1+b2+…+b 511 ＝2﹣10+18﹣26+…+4066﹣4074+4082 ＝（2﹣10）+（18﹣26）+…+（4066﹣4074）+4082 ＝（﹣8）×255+4082 ＝2042． 19．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，O 是边长为 4 的正方形 ABCD 的中心，PO⊥平面 ABCD，E 为 BC 的中 点． （Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 PE＝3，求二面角 D﹣PE﹣B 的余弦值．【解析】（I）证明：由正方形 ABCD 可得：AC⊥BD． 由 PO⊥平面 ABCD，∴PO⊥AC． 又 PO∩BD＝O，∴AC⊥平面 PBD， AC⊂平面 PAC，∴平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）解：取 AB 的中点 O，连接 OM，OE．建立如图所示的空间直角坐标系．OP = 푃퐸2 ― 푂퐸2 = 5． O（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，0），D（﹣2，﹣2，0），P（0，0， 5）， → DE = （2，4，0）， → DP = （2，2， 5）， 设平面 DPE 的法向量为 → n = （x，y，z ），则 → n• → DE = → n• → DP = 0， ∴2x+4y＝0，2x+2y + 5z＝0， 取 → n = （﹣2 5， 5，2）． 同理可得平面 PEB 的法向量 → m = （0， 5，2）． cos＜ → 푚， → n＞ = → 푚 ⋅ → 푛 | → 푚| ⋅ | → 푛| = 9 29 ⋅ 9 = 3 29 29 ． 由图可知：二面角 D﹣PE﹣B 的平面角为钝角． ∴二面角 D﹣PE﹣B 的余弦值为 - 3 29 29 ． 20．已知椭圆 E：푥2 푎2 + 푦2 푏2 = 1(푎＞푏＞0)的离心率为 3 2 ，点 M（a，0），N（0，b），O（0，0），△OMN 的面积为 4． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）设 A，B 是 x 轴上不同的两点，点 A 在椭圆 E 内（异于原点），点 B 在椭圆 E 外．若过点 B 作斜率存在 且不为 0 的直线与 E 相交于不同的两点 P，Q，且满足∠PAB+∠QAB＝180°．求证：点 A，B 的横坐标之积 为定值． 【解析】（1）由题得 e = 푐 푎 = 3 2 ，即 c2 = 3 4a2，b 2 = 1 4a2，S = 1 2ab＝4，解得 a 2＝16，b 2＝4， 所以椭圆 E 的标准方程为： 푥2 16 + 푦2 4 = 1； （2）证明：设 A（n，0），B（m，0）， 由题意可得直线 PQ 的斜率不为 0，设直线 PQ 的方程为：x＝ty+m，P（x 1，y 1），Q（x 2，y 2）， 联立直线与椭圆的方程：{x = ty + m 푥2 + 4푦2 ― 16 = 0，整理可得：（4+t 2）y 2+2tmy+m 2﹣16＝0，△＝4t 2m2﹣4（4+t 2） （m 2﹣16）＞0，m 2＜4t 2+16， y1+y2 = ―2푡푚 4 + 푡2 ，y 1y2 = 푚2 ― 16 4 + 푡2 ，x 1x2＝t 2y1y2+tm（y 1+y2）+m 2 = 푡2(푚2 ― 16) ― 2푡2푚2 + 4푚2 + 푡2푚2 4 + 푡2 = 4푚2 ― 16푡2 4 + 푡2 ； 因为∠PAB+∠QAB＝180°，所以 k PA＝﹣k QA，即 kPA+kQA＝0， 而 kPA+kQA = 푦1 푥1 ― 푛 + 푦2 푥2 ― 푛 = 푦1 푡푦1 + 푚 ― 푛 + 푦2 푡푦2 + 푚 ― 푛 = 2푡푦1푦2 + (푚 ― 푛)(푦1 + 푦2) (푡푦1 + 푚 ― 푛)(푡푦2 + 푚 ― 푛) = 0， 所以 2t（m 2﹣16）+（m﹣n）（﹣2tm）＝0，因为 t≠0， 所以 m2﹣16﹣m 2+mn＝0， 所以可得 mn＝16， 即证点 A，B 的横坐标之积为定值 16． 21．已知函数 f（x）＝x 2+2x﹣mln（x+1），其中 m∈R． （Ⅰ）当 m＞0 时，求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）设g(x) = f(x) + 1 푒푥，若g(x)＞ 1 푥 + 1，在（0，+∞）上恒成立，求实数 m 的最大值． 【解析】（I）当 m＞0 时， f′(푥) = 2푥 +2 ― 푚 푥 + 1 = 2(푥 + 1)2 ― 푚 푥 + 1 ，x＞﹣1，令 f′（x）＝0 可得 x = - 2푚 2 ― 1（舍），或 x = 2푚 2 ― 1， 当 x ∈ ( - 1， 2푚 2 ― 1)时，f′（x）＜0，函数单调递减，当 x∈（ 2푚 2 ― 1， +∞）时，f′（x）＞0，函数 单调递增， （II）由题意可得， x2 +2푥 ― 푚푙푛(푥 +1)＞ 1 푥 + 1 ― 1 푒푥在（0，+∞）上恒成立， （i）若 m≤0，因为 ln（x+1）＞0，则﹣mln（x+1）≥0， 所以x2 +2푥 ― 푚푙푛(푥 +1) ― 1 1 + 푥 + 1 푒푥 ≥ 푥2 +2푥 ― 1 1 + 푥 + 1 푒푥， 令 G（x） = 푥2 +2푥 ― 1 1 + 푥 + 1 푒푥，x＞0， 则 G′（x） = 2x +2 + 1 (1 + 푥)2 ― 1 푒푥， 因为 x＞0，所以 0＜ 1 푒푥＜1， - 1＜ - 1 푒푥＜0， 又因为2x +2 + 1 (1 + 푥)2＞2x+2＞2， ∴G′（x）＞0 在 x＞0 时恒成立，故 G（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以 G（x）＞G（0）＝0， 故当 m≤0 时， x2 +2푥 ― 푚푙푛(푥 +1) ― 1 1 + 푥 + 1 푒푥 ≥ 푥2 +2푥 ― 1 1 + 푥 + 1 푒푥在（0，+∞）上恒成立， （ii）若 m＞0，令 H（x）＝e x﹣x﹣1，x＞0， 则 H′（x）＝e x﹣1＞0，故 H（x）（0，+∞）上单调递增，H（x）＞H（0）＝0， 所以 ex＞x+1＞0， 所以 1 1 + 푥 ― 1 푒푥＞0， 由题意知，f（x） ＞ 1 1 + 푥 ― 1 푒푥（0，+∞）上恒成立， 所以 f（x）＞0（0，+∞）上恒成立， 由（I）知 f（x） min＝f（ 2푚 2 ― 1）且 f（0）＝0， 当 2푚 2 ― 1＞0即 m＞2 时，f（x）在（0， 2푚 2 ― 1）上单调递减，f（ 2푚 2 ― 1）＜f（0）＝0，不合题意， 所以 2푚 2 ― 1 ≤ 0 即 0＜m≤2， 此时 g（x） - 1 1 + 푥 = x2 +2푥 ― 푚푙푛(푥 +1) ― 1 1 + 푥 + 1 푒푥 ≥ x2 +2푥 ― 2푙푛(푥 +1) + 1 푒푥 ― 1 1 + 푥， 令 P（x） = 푥2 +2푥 ― 2푙푛(푥 +1) + 1 푒푥 ― 1 1 + 푥，x＞0，则 P′（x）＝2x+2 - 2 푥 + 1 - 1 푒푥 + 1 (1 + 푥)2＞2x +2 - 3 푥 + 1 + 1 (1 + 푥)2 = 2(푥 + 1)3 ― 3(푥 + 1) + 1 (푥 + 1)2 ＞2(푥 + 1)2 ― 3(푥 + 1) + 1 (푥 + 1)2 = 푥(2푥 + 1) (푥 + 1)2 ＞0， ∴P（x）在（0，+∞）上单调递增，P（x）＞P（0）＝0 恒成立， 综上可得，m 的最大值为 2． 22．3 月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器 械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同生产线 A 和 B 生产同一种产品各 10 万件，为 保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取 20 件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示： 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到[90，100）的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到[80，90）的 产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到[60，80）的产品，质量等级为合格．将这组数据的频率视为整批产 品的概率． （1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记 X 为来自 B 机器生产的产品数量，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望； （2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过 0.05 的情况下，认为产品等级 是否达到良好以上与生产产品的生产线有关． A 生产线的产品 B 生产线的产品 合计 良好以上 合格 合计 附：K 2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) P（K 2）≥k 0） 0.10 0.05 0.01 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 【解析】（1）从图中可知样本中优秀的产品有 2 件来自 A 生产线，3 件来自 B 生产线， ∴X 的可能取值为 0，1，2， P（X＝0） = 퐶22 퐶25 = 0.1，P（X＝1） = 퐶12퐶13 퐶25 = 0.6， P（X＝2） = 퐶23 퐶25 = 0.3， ∴X 的分布列为： X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3 ∴E（X）＝0×0.1+1×0.6+2×0.3＝1.2． （2）由已知得 2×2 列联表为： A 生产线的产品 B 生产线的产品 合计 良好以上 6 12 18 合格 14 8 22 合计 20 20 40 ∴K 2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2 (푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑) = 40 × (12 × 14 ― 6 × 8)2 20 × 20 × 18 × 22 = 40 11 ≈ 3.636＜3.841， ∴不能在误差不超过 0.05 的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关．