2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）专题02 函数、导数（解析版）

1 / 17 2021 年高考数学尖子生培优题典（新高考专版） 专题 02 函数、导数 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、选择题 1．下列函数在定义域上是增函数的是（　　） A．y＝ B．y＝log x C．y＝（ ）x D．y＝x3 【答案】D 【解析】 在 单调递减，故舍去； 在定义域 单调递减，故舍去； 在定义域 上单调递减，故舍去； 在定义域 上单调递增. 2．下列求导结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于 A， ，故 A 错误； 对于 B， ，故 B 错误； 1 x 1 3 1 2 1y x = ( ) ( ),0 , 0,−∞ +∞ 1 3 logy x= ( )0,+∞ 1 2 x y  =    R 3y x= R ( )21 ' 1 2x x− = − ( )cos30 ' sin30° = − ° ( ) 1ln 2 ' 2x x =   ( )3 3' 2x x= 2(1 ) 2x x− ′ = − (cos30 ) 0° ′ = 2 / 17 对于 C， ，故 C 错误； 对于 D， ，故 D 正确． 3．已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， . 4．已知幂函数 的图象经过点 ，则 的增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设幂函数 ，经过点 ， 得 ，即 ，得 ， 所以幂函数为 ，单增区间为 . 5．函数 的图像大致是（ ） A． B． 1 1[ (2 )] (2 )2ln x xx x ′ = × ′ = 3 1 3 2 23 3( ) 2 2x x x x ′ ′= = = 20.3a = 2log 0.3b = 0.32c = , ,a b c a c b< < a b c< < b a c< < b c a< < 2 2 20 0.3 1, log 0.3 log 1 0a b< = < = < = 0.3 02 2 1,c b a c= > = ∴ < < ( )f x (4,2) ( )f x ( , )−∞ +∞ ( ,0]−∞ [0, )+∞ (1, )+∞ y xα= ( )4,2 4 2α = 22 2α = 1 2 α = 1 2y x= [ )0,+∞ 3( )2 xy x x= − 3 / 17 C． D． 【答案】B 【解析】由 ，得 ，则 为奇函数，故 其图象关于原点对称，排除 C；当 时， ， ，故 ，故排除 A、D， 6．设函数 是定义在 上的偶函数， ，当 时， 单调递增，则不等式 的解集为（ ） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【解析】当 时，函数 单调递增，且函数 是 上的偶函数， ， 由 ，得 ，故 ，得 或 . 7．把满足条件（1） ， ，（2） ， ，使得 的函数称 为“D 函数”，下列函数是“D 函数”的个数为（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【解析】满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）； ( )f x R (1) 1f = [0, )x∈ +∞ ( )f x ( )2 1f x− > { 1x x < }3x > { }1 3x x< < { }1 2x x< < { }0 2x x< < 0x ≥ ( )y f x= ( )y f x= R ( )1 1f = ( )2 1f x− > ( ) ( )2 1f x f− > 2 1x − > 1x < 3x > x R∀ ∈ ( ) ( )f x f x− = 1x R∀ ∈ 2x R∃ ∈ ( ) ( )1 2f x f x= − 2 | |y x x= + 3y x= x xy e e−= + cosy x= siny x x= 4 / 17 ③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）. 8．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大 幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未 配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05，志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货，为使第 二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（ ） A．10 名 B．18 名 C．24 名 D．32 名 【答案】B 【解析】由题意，第二天新增订单数为 ，设需要志愿者 x 名， ， ,故需要志愿者 名. 9．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】详解： ， 将 代入 得 ，故选 D． 10．已知方程 ，在 上有两个不同的解，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 500 1600 1200 900+ − = 50 0.95900 x ≥ 17.1x ≥ 18 e lnxy a x x= + ( )1,ae 2y x b= + , 1a e b= = − , 1a e b= = 1, 1a e b−= = 1, 1a e b−= = − ln 1,xy ae x′ = + + 1| 1 2xk y ae=′= = + = 1a e−∴ = (1,1) 2y x b= + 2 1, 1b b+ = = − 2 0x bx c+ + = ( )0,2 ( )2 2 2c b c+ + 20, 2       30, 4      ( )0,1 ( )0, 2 5 / 17 【解析】解：设方程 在 上的两个根为 ，且 ， 则设 ， 且 ， 所以 ， 上式等号不成立，所以 ， 所以 的取值范围为 ， 11．设函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则 m 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ∴ 当 时， ， 时， ， ， 时， ， ， 将函数大致图象绘制如下： 2 0x bx c+ + = ( )0,2 α β， α β≠ 2( ) ( )( )f x x bx c x xα β= + + = − − 0 2α< < 0< 2β < ( )2 2 2 (0) (2) (2 )(2 )c b c f f αβ α β+ + = ⋅ = − − 2 2(2 ) (2 )[ ] [ ] 12 2 α α β β+ − + −≤ ⋅ = α β≠ ( )2 2 2 1c b c+ + < ( )2 2 2c b c+ + ( )0,1 ( )f x ( ) ( )11 2f x f x+ = ( ]0,1x∈ ( ) ( )1f x x x= − [ ),x m∈ +∞ ( ) 8 9f x ≥ − 4 3 − 5 3 − 5 4 − 6 5 −  ( ) ( )11 2f x f x+ = ( ) ( )2 1f x f x= + ( ]0,1x∈ ( ) ( ) 11 ,04f x x x  = − ∈ −   ( ]1,0x∈ − ( ]1 0,1x + ∈ ( ) ( ) ( )2 ,02 1 21 1 xf x f x x  ∈ −  + = +  = ( ]2, 1x∈ − − ( ]1 1,0x + ∈ − ( ) ( ) ( )( ) [ ]2 1 4 2 1 1,0f x f x x x= + = + + ∈ − 6 / 17 时，令 ， 解得： ， ， 若对于任意 ，都有 ， 所以 ， 故选：A. 12．已知定义在 上的奇函数 满足：当 时， .若不等式 对任意实数 t 恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知， 时， ，则 ， 因为 是 上的奇函数，所以 ， ( ]2, 1x∈ − − ( )( ) 84 2 1 9x x+ + = − 1 5 3x = − 2 4 3x = − [ ),x m∈ +∞ ( ) 8 9f x ≥ − 4 3m ≥ − R ( )f x 0x ≥ ( ) 1e e x xf x = − ( ) ( )24 2f t f m mt− > + ( ), 2−∞ − ( )2,0− ( ) ( ),0 2,−∞ +∞ ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞ 0x < 0x− > ( ) 1e e x xf x − − − = − ( )f x R ( ) ( ) 1 1e ee e x x x xf x f x − −  = − − = − − = −   7 / 17 所以当 时， . 因为函数 为 上的减函数，所以 为 上的增函数，故 为 上的增函数， 由 ，可得 ，即 对任意 恒成立， 当 时，不等式可化为 ，显然不符合题意， 所以 ，可得 ，解得 . 13．（多选题）下列函数既是偶函数，又在 上单调递减的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于 A 选项， 为偶函数，且当 时， 为减函数，符合题意. 对于 B 选项， 为偶函数，根据幂函数单调性可知 在 上递增，不符合题意. 对于 C 选项， 为奇函数，不符合题意. 对于 D 选项， 为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知， 在区间 上单调递减，符合题意. 14．（多选题）如图是函数 导函数 的图象，下列选项中正确的是（ ） x∈R ( ) 1e e x xf x = − 1 xy e = R 1 exy = − R ( ) 1e e x xf x = − R ( ) ( )24 2f t f m mt− > + 24 2t m mt− > + 2 4 2 0mt t m+ + < t ∈R 0m = 4 0t < 0m ≠ 2 0 16 8 0 m m  = = −   = −  =  ( ) 2 4f x x> + ( )1,− +∞ ( ) ( ) 0f xf x x ′ + > ( )0f e= ( )xf x ( ) ( ) 0f x f x′ + > ( )0 1f = ( ) 1xe f x < ( )0, ∞+ ( ) ( ) 0f x f x′ − > ( ) ( )2020 2019>f fe ( ) ( ) 2 4g x f x x= − − ( 1) 2f − = ( ) 2f x′ > ( ) ( ) 2 0g x f x′ ′= − > ( )g x R ( ) ( )1 1 2 4 0g f− = − + − = 1x > − ( ) ( ) 2 4 0g x f x x= − − > 11 / 17 即 的解集为 ，故 A 正确. 对选项 B，设 ， 因为 所以当 时， ， 为减函数， 当 时， ， 为增函数， 故当 ， 取得极小值，极小值为 ，故 B 正确. 对选项 C，设 ， . 因为 ， ，所以 ， 在 上增函数. 又因为 ，所以 . 所以当 时， ，故 C 错误. 对选项 D，设 ， 因为 ，所以 ， 在 上增函数. 所以 ， ，即 . 故 D 正确. ( ) 2 4f x x> + ( )1,− +∞ ( ) ( )g x xf x= ( ) ( ) ( )g x f x xf x′ ′= + ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ′ +′ + = >f x xf x f xf x x x ( ),0x∈ −∞ ( ) ( ) ( ) 0g x f x xf x= + ′ ( )g x 0x = ( ) ( )g x xf x= ( )0 0g = ( ) ( )xg x e f x= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xg x e f x e f x e f x f x′ ′ ′ = + = +  ( ) ( ) 0f x f x′ + > 0xe > ( ) 0g x′ > ( )g x R ( )0 1f = ( ) ( )00 0 1= =g e f ( )0,x∈ +∞ ( ) ( ) 1= >xg x e f x ( ) ( ) x f xg x e = ( ) ( ) ( ) x f x f xg x e ′ −′ = ( ) ( ) 0f x f x′ − > ( ) ( ) ( ) 0x f x f xg x e ′ −′ = > ( )g x R ( ) ( )2020 2019g g> ( ) ( ) 2020 2019 2020 2019f f e e > ( ) ( )2020 2019>f fe 12 / 17 18．（多选题）已知函数 y=f(x)在 R 上可导且 f(0)=1，其导函数 满足 ，对于函数 ，下列结论正确的是（ ） A．函数 g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数 B．x=1 是函数 g(x)的极小值点 C．函数 g(x)至多有两个零点 D．当 x≤0 时，不等式 恒成立 【答案】ABC 【解析】函数 ，则 ， 当 时， ，故 在 单调递增，A 正确； 当 时， ，故 在 单调递减，故 x=1 是函数 g(x)的极小值点，B 正确； 若 ，则 有两个零点， 若 ，则 有一个零点， 若 ，则 没有零点，故 C 正确； 在 单调递减，则 在 单调递减， ，可知 时， ，故 ，即 ，D 错误； 二、解答题 19．已知函数 . （1）若∀x∈R，f（x）≥0，求实数 a 的取值范围； ( )f x′ ( ) ( ) 01 f x f x x − ′ − > ( )( ) x f xg x e = ( ) xf x e≤ ( )( ) x f xg x e = ( ) ( ) ( ) x f x f xg x e ′ −′ = 1x > ( ) ( ) 0f x f x′ − > ( )g x ( )1,+∞ 1x < ( ) ( ) 0f x f x′ − < ( )g x ( ),1−∞ ( )1 0g < ( )y g x= ( )1 0g = ( )y g x= ( )1 0g > ( )y g x= ( )g x ( ),1−∞ ( )g x ( ),0−∞ ( ) ( ) 0 00 1fg e = = 0x ≤ ( ) ( )0g x g≥ ( ) 1x f x e ≥ ( ) xf x e≥ 2 1( ) , ( ) ln4f x x ax g x x= + + = − 13 / 17 （2）用 min{m，n}表示 m，n 中的较小者.设 h（x）＝min{f（x），g（x）}（x＞0），若 h（x）有三个零点， 求实数 a 的取值范围. 【解析】（1）根据题意知 对任意实数 恒成立， 所以 ，解得 . （2）当 时， ，所以 ， 所以 在 上无零点； 所以 在 上有三个零点， ， ， 当 时， ，得 ，所以 ，所以 是 的一个零点； 当 时， ，所以 ，所以 不是 的一个零点； 当 时， ， 由题意可知， 是 的一个零点，且 在 上有两个零点， 所以 ，且 ，解得 ， 综上所述，若 有三个零点，则 的取值范围是 . 20．新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业 A 公司扩大生产提供 2 1 04x ax+ + ≥ x 2 14 04a∆ = − × ≤ 1 1a− ≤ ≤ (1, )x∈ +∞ ( ) ln 0g x x= − < ( ) min{ ( ), ( )} ( ) 0h x f x g x g x= ≤ < ( )h x (1, )+∞ ( )h x (0,1] 5(1) 4f a= + (1) 0g = (1) (1)f g≥ 5 04 a+ ≥ 5 4a ≥ − (1) (1) 0h g= = 1 ( )h x (1) (1)f g< 5 4a < − (1) (1) 0h f= < 1 ( )h 1 (0,1)x∈ ( ) lng x x= − 0> 1 ( )h x 2 1( ) 4f x x ax= + + (0,1) 5 4a ≥ − 2 14 1 04 0 12 1(0) 04 5(1) 04 a a f f a ∆ = − × × >   < −    = + > 5 14 a− < < − ( )h x a 5 14 a− < < − ( [0,10])∈x x 14 / 17 (万元)的专项补贴，并以每套 80 元的价格收购其生产的全部防护服.A 公司在收到政府 (万元)补贴后，防护 服产量将增加到 (万件)，其中 为工厂工人的复工率（ ）.A 公司生产 万件防 护服还需投入成本 (万元). （1）将 A 公司生产防护服的利润 (万元)表示为补贴 (万元)的函数(政府补贴 x 万元计入公司收入)； （2）在复工率为 k 时，政府补贴多少万元才能使 A 公司的防护服利润达到最大？ （3）对任意的 (万元)，当复工率 达到多少时，A 公司才能不产生亏损？（精确到 0.01）. 【解析】（1）由题意， ， 即 ， ， . （2） ， 因为 ，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以 ， 故政府补贴为 万元才能使 A 公司的防护服利润达到最大，最大为 万元. （3）对任意的 (万元)，A 公司都不产生亏损，则 在 上恒成 立， x 126 4t k x  = ⋅ − +  k [0.5,1]k ∈ t (20 9 50 )x t+ + y x [0,10]x∈ k 80 (20 9 50 )y x t x t= + − + + 30 8 20t x= − − 1230 6 8 204k xx  = ⋅ − − − +  360180 8 204 kk xx = − − −+ 360180 8 204 ky k xx = − − −+ [0,10]x∈ [0.5,1]k ∈ ( )360 45180 8 20 180 12 8 44 4 k ky k x k xx x  = − − − = + − + + + +  [0,10]x∈ 4 4 14x≤ + ≤ ( ) ( )45 454 2 4 6 54 4 k kx x kx x + + ≥ + × =+ + 454 4 kx x + = + 3 5 4x k= − ( ) 45180 12 8 4 180 12 48 54 ky k x k kx  = + − + + ≤ + − +  3 5 4k − 180 12 48 5k k+ − [0,10]x∈ 360180 8 20 04 kk xx − − − ≥+ [0,10]x∈ 15 / 17 不等式整理得， ， 令 ，则 ，则 ， 由函数 在 上单调递增，可得 ， 所以 ，即 . 所以当复工率 达到 时，对任意的 (万元)，A 公司都不产生亏损. 21．函数 . （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）函数 在区间 上是单调递减函数，求 的取值范围. 【解析】（1） ， ， ， 因此，曲线 在点 处的切线方程 ，即 ； （2） ， ， 令 ，得 或 ， 由于函数 在区间 上是单调递减函数，则 ，解得 . 因此，实数 的取值范围是 . ( )( )20 8 4180 2 x xk x + +≥ + 2m x= + [ ]2,12m∈ ( )( ) ( )( )20 8 4 8 4 2 88 202 x x m m mx m m + + + += = + ++ ( ) 88 20h m m m = + + [ ]2,12 ( ) ( )max 8 212 8 12 20 11612 3h m h= = × + + = + 2180 116 3k ≥ + 2116 3 0.65180k + ≥ ≈ k 0.65 [0,10]x∈ ( ) 3 23 6 12f x x x x= + − + ( )y f x= ( )0,1 ( ) ( ) ( )21 2g x f x ax ax a R= + − ∈ ( )1,1− a ( ) 3 23 6 12f x x x x= + − + ( ) 23 3 6f x x x′∴ = + − ( )0 6f ′∴ = − ( )y f x= ( )0,1 1 6y x− = − 6 1 0x y+ − = ( ) ( ) ( )3 22 3 6 12 1 2 axg x f x xa x xa ax= ++ − ++ − = + ( ) ( ) ( ) ( )( )23 3 6 3 6 1g x x a x a x a x′ = + + − + = + + − ( ) 0g x′ = 6 3 ax += − 1x = ( )y g x= ( )1,1− 61 13 a +− ≤ − < 9 3a− < ≤ − a ( ]9, 3− − 16 / 17 22．已知函数 （I）讨论 的单调性； （II）设 有两个极值点 若过两点 的直线 与 轴的交点在曲线 上， 求 的值． 【解析】（I） ， 当 时， ，当且仅当 时， ， 所以 是 上增函数； 当 时， 的两个根为 ， ， ， ， 综上所述，当 时， 单调递增区间是 ； 当 时， 单调递增区间是 ， 单调递减区间是 ； （II）由题设知， 是方程 的两个根， 故有 ， ， 因此 ， 3 21( ) 3f x x x ax= + + ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 1 2 2( , ( )),( , ( ))x f x x f x l x ( )y f x= a 2 2( ) 2 ( 1) 1f x x x a x a′ = + + = + + − 1a ≥ ( ) 0f x′ ≥ 1, 1a x= = − ( ) 0f x′ = ( )f x R 1a < ( ) 0f x′ = 1 1 1x a= − − − 2 1 1x a= − + − 1 2( ) 0, ( , ) ( , )f x x x x′ > ∈ −∞ +∞ 1 2( ) 0, ( , )f x x x x′ < ∈ 1a ≥ ( )f x ( , )−∞ +∞ 1a < ( )f x ( , 1 1 ),( 1 1 , )a a−∞ − − − − + − +∞ ( 1 1 , 1 1 )a a− − − − + − 1 2,x x ( ) 0f x′ = 1a < 2 2 1 1 2 22 , 2x x a x x a= − − = − − 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( 2 )3 3f x x x ax x x a x ax= + + = − − + + ( )2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 22 ( 1)3 3 3 3 3 3 ax ax x a ax a x= + = − − + = − − 17 / 17 同理 ， 因此直线 的方程为 ， 设直线 与 轴的交点为 ，得 ， ， 由题设知，点 在曲线 上，故 ， 解得 或 或 所以 的值为 . 22 2( ) ( 1)3 3 af x a x= − − l 2 ( 1)3 3 ay a x= − − l x 0( ,0)x 0 2( 1) ax a = − ( ) 3 2 2 0 1 3 2( 1) 2( 1) 2( 1) a a af x a a a    = + +   − − −    ( )2 2 2 12 17 624( 1) a a aa = − +− 0( ,0)x ( )y f x= 0( ) 0f x = 0a = 2 3a = 3 4a = a 2 30, ,3 4