九年级数学上册第二十四章圆知识归纳（新人教版）

1 第二十四章 圆 24.1 圆 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。    （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转 360°，留下的轨迹叫圆。   圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心   （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。   （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。   （4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。   注：圆心一般用字母 O 表示   直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母 d 表示。   半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母 r 表示。   圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在 同圆或等圆中：直径是半径的 2 倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或 r=二分之 d。   圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。   圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母 C 表示。   圆的周长与直径的比值叫做圆周率。   圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数 （无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。   直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。   圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr2，用字母 S 表示。   一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。   在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。   在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对 的弦心距也相等。   在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对 的弦心距也相等。   周长计算公式   1.、已知直径：C=πd   2、已知半径：C=2πr   3、已知周长：D=c\π   4、圆周长的一半:1\2 周长(曲线)   5、半圆的长：1\2 周长+直径   面积计算公式：   1、已知半径：S=πr 平方   2、已知直径：S=π（d\2）平方 3、已知周长：S=π(c\2 π)平方 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 2 1. 点和圆的位置关系 ① 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3. 外接圆和外心 经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 4. 直线和圆的位置关系 相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切 点。 相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。 5. 直线和圆位置关系的性质和判定 如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 的距离为 d，那么 ① 直线 和⊙O 相交 ；② 直线 和⊙O 相切 ；③ 直线 和⊙O 相离 。 圆和圆 定义： 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个 圆的外切。 两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个 圆的内切。 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。 原理： 圆心距和半径的数量关系： 两圆外离＜＝＞ d＞R+r 两圆外切＜＝＞ d=R+r 两圆相交＜＝＞ R-rr) 两圆内含＜＝＞ dr) 24.3 正多边形和圆 1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。   2、正多边形与圆的关系： ⇔ ⇔ ⇔ l l ⇔ rd < l ⇔ rd = l ⇔ rd > 3   (1)将一个圆 n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个 圆的内接正多边形。   (2)这个圆是这个正多边形的外接圆。   3、正多边形的有关概念：   (1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。   (2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。   (3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。   (4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。   4、正多边形性质：   (1)任何正多边形都有一个外接圆。   (2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正 n 边形的对 称轴有 n 条。   (3)边数相同的正多边形相似。     重点：正多边形的有关计算。     知识讲解   1、正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。   例如：正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有 n 条边，那 么，这个多边形叫正 n 边形。   再如：矩形不是正多边形，因为它只具有各角相等，而各边不一定相等；菱形不是正多 边形，因为，它只具有各边相等，而各角不一定相等。   2、正多边形与圆的关系。   正多边形与圆有密切关系，把圆分成 n(n≥3)等份，依次连结分点所得的多边形是这个 圆的内接正 n 边形。   相邻分点间的弧相等，则所对的弦(正多边形的边)相等，相邻两弦所夹的角(多边形的 每个内角)都相等，从而得出，所连的多边形满足了所有边都相等，所有内角都相等，从而 这个多边形就是正多边形。   如：将圆 6 等分，即 ，则 AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。 4      观察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F 所对的弧可以发现都是相等的弧，所以，∠A＝∠ B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。   所以，将一个圆 6 等分，依次连结各分点所得到的是⊙O 的内接正六边形。   3、正多边形的有关计算。   (1)首先要明确与正多边形计算的有关概念：即正多边形的中心 O，正多边形的半径 Rn——就是其外接圆的半径，正多边形的边心距 rn，正多边形的中心角αn，正多边形的边 长 an。   (2)正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形，等腰三角形的顶角就 是正 n 边形的中心角都等于 ；如果再作出正 n 边形各边的边心距，这些边心距又把这 n 个等腰三角形分成了 2n 个全等的直角三角形。      如图：是一个正 n 边形 ABCD……根据以上讲解，我们来分析 RtΔAOM 的基本元素：   斜边 OA——正 n 边形的半径 Rn；   一条直角边 OM——正 n 边形的边心距 rn；   一条直角边 AM——正 n 边形的边长 an 的一半即 AM＝ an；   锐角∠AOM——正 n 边形的中心角αn 的一半即∠AOM＝ ；   锐角∠OAM——正 n 边形内角的一半即∠OAM＝ [(n－2)·180°]；   可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正 n 边形的各元素。   因此，就可以把正 n 边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。    4、正多边形的有关作图。   (1)使用量角器来等分圆。   由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心 的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形。 5   (2)用尺规来等分圆。   对于一些特殊的正 n 边形，还可以用圆规和直尺作出图形。   ①正四、八边形。      在⊙O 中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份，从而作出正四边形。再 逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB 的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等， 边数逐次倍增的正多边形。   ②正六、三、十二边形的作法。     通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O 中，任画一条直 径 AB，分别以 A、B 为圆心，以⊙O 的半径为半径画弧与⊙O 相交于 C、D 和 E、F，则 A、C、 E、B、F、D 是⊙O 的 6 等分点。   显然，A、E、F(或 C、B、D)是⊙O 的 3 等分点。   同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O12 等分……。    5、正多边形的对称性。   正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形 的中心，如果正多边形有偶数条边，那么，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。   如：正三角形、正方形。 24.4 弧长和扇形面积 知识点 1、弧长公式 因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C＝2 R，所以 1°的圆心角所对的弧长是 ，于是可得半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式： ， 说明：（1）在弧长公式中，n 表示 1°的圆心角的倍数，n 和 180 都不带单位“度”， 6 例如，圆的半径 R＝10，计算 20°的圆心角所对的弧长 l 时，不要错写成 。 （2）在弧长公式中，已知 l，n，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。 知识点 2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R，圆心角为 n°的扇形面积，显然扇形的面积 是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 360°的扇形面积等于圆面积 ，所以圆心角 为 1°的扇形面积是 ，由此得圆心角为 n°的扇形面积的计算公式是 。 又因为扇形的弧长 ，扇形面积 ，所以又得到扇形面积 的另一个计算公式： 。 知识点 3、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把 扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示， 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 7 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点 4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为 l，底面圆的半径为 r， 那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的全 面积 说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 （2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并 明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点 5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长， 若圆柱的底面半径为 r，高为 h，则圆柱的侧面积 ，圆柱的全面积 知识小结： 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 8 图形 图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得到 的，如 Rt△SOA 绕直线 SO 旋 转一周。 由一个矩形旋转得到的，如矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形 面积计算方法