九年级数学上册第二十四章圆知识归纳(新人教版)
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九年级数学上册第二十四章圆知识归纳(新人教版)

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时间:2020-12-23

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资料简介
1 第二十四章 圆 24.1 圆 定义:(1)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。    (2)平面上一条线段,绕它的一端旋转 360°,留下的轨迹叫圆。   圆心:(1)如定义(1)中,该定点为圆心   (2)如定义(2)中,绕的那一端的端点为圆心。   (3)圆任意两条对称轴的交点为圆心。   (4) 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。   注:圆心一般用字母 O 表示   直径:通过圆心,并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母 d 表示。   半径:连接圆心和圆上任意一点的线段,叫做圆的半径。半径一般用字母 r 表示。   圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形,每条直径所在的直线是圆的对称轴。在 同圆或等圆中:直径是半径的 2 倍,半径是直径的二分之一.d=2r 或 r=二分之 d。   圆的半径或直径决定圆的大小,圆心决定圆的位置。   圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长,用字母 C 表示。   圆的周长与直径的比值叫做圆周率。   圆的周长除以直径的商是一个固定的数,把它叫做圆周率,它是一个无限不循环小数 (无理数),用字母π表示。计算时,通常取它的近似值,π≈3.14。   直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。   圆的面积公式:圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr2,用字母 S 表示。   一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。   在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦心距也相等。   在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弦相等,所对 的弦心距也相等。   在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角相等,所对的弧相等,所对 的弦心距也相等。   周长计算公式   1.、已知直径:C=πd   2、已知半径:C=2πr   3、已知周长:D=c\π   4、圆周长的一半:1\2 周长(曲线)   5、半圆的长:1\2 周长+直径   面积计算公式:   1、已知半径:S=πr 平方   2、已知直径:S=π(d\2)平方 3、已知周长:S=π(c\2 π)平方 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 2 1. 点和圆的位置关系 ① 点在圆内 点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上 点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外 点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3. 外接圆和外心 经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心。 4. 直线和圆的位置关系 相交:直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。 相切:直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切 点。 相离:直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。 5. 直线和圆位置关系的性质和判定 如果⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 的距离为 d,那么 ① 直线 和⊙O 相交 ;② 直线 和⊙O 相切 ;③ 直线 和⊙O 相离 。 圆和圆 定义: 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时,叫做这两个圆的外离。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的外部,叫做两个 圆的外切。 两个圆有两个交点,叫做两个圆的相交。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外,每个圆上的点都在另一个圆的内部,叫做两个 圆的内切。 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆的内含。 原理: 圆心距和半径的数量关系: 两圆外离<=> d>R+r 两圆外切<=> d=R+r 两圆相交<=> R-rr) 两圆内含<=> dr) 24.3 正多边形和圆 1、正多边形的概念:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。   2、正多边形与圆的关系: ⇔ ⇔ ⇔ l l ⇔ rd < l ⇔ rd = l ⇔ rd > 3   (1)将一个圆 n(n≥3)等分(可以借助量角器),依次连结各等分点所得的多边形是这个 圆的内接正多边形。   (2)这个圆是这个正多边形的外接圆。   3、正多边形的有关概念:   (1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。   (2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。   (3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。   (4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。   4、正多边形性质:   (1)任何正多边形都有一个外接圆。   (2)正多边形都是轴对称图形,当边数是偶数时,它又是中心对称图形,正 n 边形的对 称轴有 n 条。   (3)边数相同的正多边形相似。     重点:正多边形的有关计算。     知识讲解   1、正多边形定义:各边相等,各角也相等的多边形叫正多边形。   例如:正三角形、正四边形(正方形)、正六边形等等。如果一个正多边形有 n 条边,那 么,这个多边形叫正 n 边形。   再如:矩形不是正多边形,因为它只具有各角相等,而各边不一定相等;菱形不是正多 边形,因为,它只具有各边相等,而各角不一定相等。   2、正多边形与圆的关系。   正多边形与圆有密切关系,把圆分成 n(n≥3)等份,依次连结分点所得的多边形是这个 圆的内接正 n 边形。   相邻分点间的弧相等,则所对的弦(正多边形的边)相等,相邻两弦所夹的角(多边形的 每个内角)都相等,从而得出,所连的多边形满足了所有边都相等,所有内角都相等,从而 这个多边形就是正多边形。   如:将圆 6 等分,即 ,则 AB=BC=CD=DE=EF=FA。 4      观察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F 所对的弧可以发现都是相等的弧,所以,∠A=∠ B=∠C=∠D=∠E=∠F。   所以,将一个圆 6 等分,依次连结各分点所得到的是⊙O 的内接正六边形。   3、正多边形的有关计算。   (1)首先要明确与正多边形计算的有关概念:即正多边形的中心 O,正多边形的半径 Rn——就是其外接圆的半径,正多边形的边心距 rn,正多边形的中心角αn,正多边形的边 长 an。   (2)正 n 边形的 n 条半径把正 n 边形分成 n 个全等的等腰三角形,等腰三角形的顶角就 是正 n 边形的中心角都等于 ;如果再作出正 n 边形各边的边心距,这些边心距又把这 n 个等腰三角形分成了 2n 个全等的直角三角形。      如图:是一个正 n 边形 ABCD……根据以上讲解,我们来分析 RtΔAOM 的基本元素:   斜边 OA——正 n 边形的半径 Rn;   一条直角边 OM——正 n 边形的边心距 rn;   一条直角边 AM——正 n 边形的边长 an 的一半即 AM= an;   锐角∠AOM——正 n 边形的中心角αn 的一半即∠AOM= ;   锐角∠OAM——正 n 边形内角的一半即∠OAM= [(n-2)·180°];   可以看到在这个直角三角形中的各元素恰好反映了正 n 边形的各元素。   因此,就可以把正 n 边形的有关计算归纳为解直角三角形的问题。    4、正多边形的有关作图。   (1)使用量角器来等分圆。   由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等,因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心 的周角)可以等分圆;根据同圆中相等弧所对的弦相等,依次连接各分点就可画出相应的正 n 边形。 5   (2)用尺规来等分圆。   对于一些特殊的正 n 边形,还可以用圆规和直尺作出图形。   ①正四、八边形。      在⊙O 中,用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成 4 等份,从而作出正四边形。再 逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB 的平分线交 于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等, 边数逐次倍增的正多边形。   ②正六、三、十二边形的作法。     通过简单计算可知,正六边形的边长与其半径相等,所以,在⊙O 中,任画一条直 径 AB,分别以 A、B 为圆心,以⊙O 的半径为半径画弧与⊙O 相交于 C、D 和 E、F,则 A、C、 E、B、F、D 是⊙O 的 6 等分点。   显然,A、E、F(或 C、B、D)是⊙O 的 3 等分点。   同样,在图(3)中平分每条边所对的弧,就可把⊙O12 等分……。    5、正多边形的对称性。   正多边形都是轴对称图形,一个正 n 边形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通过正 n 边形 的中心,如果正多边形有偶数条边,那么,它又是中心对称图形,它的中心就是对称中心。   如:正三角形、正方形。 24.4 弧长和扇形面积 知识点 1、弧长公式 因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C=2 R,所以 1°的圆心角所对的弧长是 ,于是可得半径为 R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式: , 说明:(1)在弧长公式中,n 表示 1°的圆心角的倍数,n 和 180 都不带单位“度”, 6 例如,圆的半径 R=10,计算 20°的圆心角所对的弧长 l 时,不要错写成 。 (2)在弧长公式中,已知 l,n,R 中的任意两个量,都可以求出第三个量。 知识点 2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为 R,圆心角为 n°的扇形面积,显然扇形的面积 是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是 360°的扇形面积等于圆面积 ,所以圆心角 为 1°的扇形面积是 ,由此得圆心角为 n°的扇形面积的计算公式是 。 又因为扇形的弧长 ,扇形面积 ,所以又得到扇形面积 的另一个计算公式: 。 知识点 3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长 (3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把 扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来,就可以得到弓形 AmB 的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时,如图 1 所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图 2 所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图 3 所示, 注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 7 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 (2)扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 知识点 4、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为 l,底面圆的半径为 r, 那么这个扇形的半径为 l,扇形的弧长为 2 ,圆锥的侧面积 ,圆锥的全 面积 说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并 明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点 5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形,如图所示,其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长, 若圆柱的底面半径为 r,高为 h,则圆柱的侧面积 ,圆柱的全面积 知识小结: 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 8 图形 图形的形成过程 由一个直角三角形旋转得到 的,如 Rt△SOA 绕直线 SO 旋 转一周。 由一个矩形旋转得到的,如矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形 面积计算方法

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