（山东、海南等新高考地区）2020-2021学年第一学期高三期中备考金卷 数学（B卷） 含答案

（新高考）2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 数 学（B） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知复数 ， 为 的共轭复数，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若双曲线 的离心率为 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之 五．已知三棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 底面 ， ，且 ， ，利用张衡的结论可得球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知 是定义在 上的奇函数，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 8．已知等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 名肥胖者，健身之前他们的体重（ ）情况 如图（1），经过四个月的健身后，他们的体重（ ）情况如图（2）． 对比健身前后，关于这 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A．他们健身后，体重在 内的肥胖者增加了 名 B．他们健身后，体重在 内的人数没有改变 C．因为体重在 内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 D．他们健身后，原来体重在 内的肥胖者体重都有减少 10．将函数 的图像向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，给 出下列关于函数 的结论：①它的图像关于直线 对称；②它的最小正周期为 ；③它的 图像关于点 对称；④它在 上单调递增．其中正确的结论的编号是（ ） 2{ | 6 0}A x x x= − − ≤ { | 1 0}B x x= − < A B = ( ,3]−∞ ( ,2)−∞ ( ,1)−∞ [ 2,1)− 1 iz = − z z 1 z z + = 3 i 2 + 1 i 2 + 1 3i 2 − 1 3i 2 + (0,2)=a (2 3, )x=b a b π 3 x = 2− 2 1 1− x ∈ R 2 4x > lg(| | 1) 0x − > 2 2 1( 0)mx ny m+ = > 5 m n = 1 4 1 4 − 4 4− A BCD− O AB ⊥ BCD BC CD⊥ 3AB CD= = 2BC = O 30 10 10 33 12 10 1( ) x x ef x e a −= + R 2( 3) (9 )f x f x− < − ( 2,6)− ( 6,2)− ( 4,3)− ( 3,4)− { }na { }nb n nS nT 5 2 1 n n S n T n += − 7 6 a b = 6 7 12 11 18 25 16 21 20 kg kg 20 [90,100) 2 [100,110) [100,110) [110,120) ( ) sin3 3 cos3 1f x x x= − + π 6 ( )g x ( )g x 5π 9x = 2π 3 11π( ,1)18 5π 19π[ , ]3 9 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 A．① B．② C．③ D．④ 11．若 ， ，则（ ） A． B． C． D． 12．已知四棱台 的上、下底面均为正方形，其中 ， ， ，则下列叙述正确的是（ ） A．该四棱台的高为 B． C．该四棱台的表面积为 D．该四棱台外接球的表面积为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．已知函数 ，则 ． 14．某工厂质检部要对即将出厂的 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 ， 且每个零件质检是否合格是相互独立的．设质检合格的零件数为 ，则随机变量 的方差 ． 15．已知 ， ，且 ，则 的最小值是 ． 16．在正方体 中， 为棱 上一点，且 ， 为棱 的中点， 平面 与 交于点 ，与 交于点 ，则 ， ． 四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．（10 分）在① ，② ，③ 这三个条件中 任选一个，补充在下面横线处，并加以解答． 已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ，且 ， ， 成等差数列， 则 是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由． 18．（12 分）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ． 10 4a = 10 25b = 2a b+ = 1b a− = 28lg 2ab > lg6b a− > 1 1 1 1ABCD A B C D− 2 2AB = 1 1 2A B = 1 1 1 1 2AA BB CC DD= = = = 3 1 1AA CC⊥ 26 16π 2 1( ) 2 , 0( ) 3 4 log , 0 x x xf x x x  − ≤=  − + > ( (8))f f = 1000 0.95 X X ( )D X = 0a > 0b > 2a b+ = 5 1 5a b + 1 1 1 1ABCD A B C D− E CD 2CE DE= F 1AA BEF 1DD G 1AC H 1 DG DD = 1 AH HC = cos2 3sin 2 0B B− + = 2 cos 2b C a c= − cos 1 3sin b B a A += ABC△ A B C a b c a b c ABC△ { }n na b− 2 { }n na b+ 2 1 2a = 1 1b = { }na {2 2 }n na + n nS19．（12 分）如图（1），平面四边形 中， ， ， ， 为 的中点．将 沿对角线 折起，使 ，连接 ，得到如图（2）的三棱锥 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）已知直线 与平面 所成的角为 ，求二面角 的余弦值 ． 20．（12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验， 为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作 出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有 天的试营业时间，期间只评价不积分，正 式营业后，每个好评给商家计 分，中评计 分，差评计 分．某商家在试营业期间随机抽取 单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图（1）和图（2）： （1）通常收件时间不超过 天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息完成下 面 列联表，并判断能否有 的把握认为“获得好评”与物流速度有关； （2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为 ．该商家将试营业 天期间的成 交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数的概 率． ①求 的分布列和数学期望； ②平台规定，当积分超过 分时，商家会获得“诚信商家”称号．请估计该商家从正式营业开 始， 年内（ 天）能否获得“诚信商家”称号？ 附： ，其中 ． ABCD 2AB AC= = AB AC⊥ AC CD⊥ E BC ACD△ AC CD BC⊥ BD D ABC− ADE ⊥ BCD DE ABC π 4 A BD C− − 50 1 0 1− 100 4 2 2× 99% X 50 X 10000 1 365 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + +21．（12 分）已知 为坐标原点， ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率 之积为 ．记点 的轨迹为曲线 ． （1）若射线 与曲线 交于点 ，且 为曲线 的最高点，证明： ； （2）直线 与曲线 交于 ， 两点，直线 ， 与 轴分别交于 ， 两 点．试问在 轴上是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标； 若不存在，请说明理由． 22．（12 分）已知函数 ，其中 是自然对数的底数， ， ． （1）讨论函数 的单调性； O ( 2,0)A − (2,0)B AG BG G 3 4 − G C 2( 0)x y= ≥ C D E C OD AE∥ : ( 0)l y kx k= ≠ C M N AM AN y P Q x T PQ T T ( ) lnxf x ae x= 2.71828e =  2( ) lng x x x a= + 0a > ( )f x（2）设函数 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．( ) ( ) ( )h x g x f x= − ( ) 0h x > (0,1)x∈ a（新高考）2020-2021 学年上学期高三期中备考金卷 数 学（B）答 案 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】 ， ，所以 ． 2．【答案】C 【解析】由题意，得 ，故选 C． 3．【答案】B 【解析】由题意，得 ， 所以 ，且 ，解得 ，故选 B． 4．【答案】A 【解析】由 ，得 ， 由 ，得 ，解得 或 ， 因为“ ”是“ ”或“ ”的充分不必要条件， 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件． 5．【答案】D 【解析】因为 可化为 ， 所以双曲线的离心率 ，所以 ，即 ，故选 D． 6．【答案】B 【解析】因为 ，所以 ， 又 底面 ，所以球 的球心为侧棱 的中点，从而球 的直径为 ， 利用张衡的结论可得 ，则 ， 所以球 的表面积为 ，故选 B． 7．【答案】C 【解析】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， 即 ，解得 ， 即 ，故 在 上为增函数， 又 ，所以 ，解得 ，故选 C． 8．【答案】A 【解析】因为等差数列 ， 的前 项和分别为 和 ，且 ， 所以可设 ， ， 所以 ， ，所以 ，故选 A． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9．【答案】ABD 【解析】体重在区间 内的肥胖者由健身前的 名增加到健身后的 名，增加了 名，A 正 确； 他们健身后，体重在区间 内的人数的百分比没有变，所以人数没有变，B 正确； 他们健身后，已经出现了体重在 内的人，健身之前是没有这部分的，C 错误； 因为题图（2）中没有体重在区间 内的部分，所以原来体重在区间 内的肥胖者 体重都有减少，D 正确， { | 2 3}A x x= − ≤ ≤ { | 1}B x x= < { | 3}A B x x= ≤ 1 2 i (2 i)(1 i) 1 3i 1 i (1 i)(1 i) 2 z z + − − − −= = =+ + − 2 π 2 1cos , cos 3 22 12 x x < >= = = +a b 0x > 22 12x x= + 2x = 2 4x > 2x > lg(| | 1) 0x − > | | 1 1x − > 2x < − 2x > 2x > 2x < − 2x > 2 4x > lg(| | 1) 0x − > 2 2 1( 0)mx ny m+ = > 2 2 1( 0)1 1 x y m m n − = > − 1 1 51 ne m − = + = 1 5m n − = 4m n = − BC CD⊥ 7BD = AB ⊥ BCD O AD O 10 2π 5 16 8 = π 10= O 2104π ( ) 10π 10 102 ⋅ = = 1( ) x x ef x e a −= + R (1) ( 1) 0f f+ − = 1 11 01 e e e a ae −− + =+ + 1a = 1 2( ) 11 1 x x x ef x e e −= = −+ + ( )f x R 2( 3) (9 )f x f x− < − 23 9x x− < − 4 3x− < < { }na { }nb n nS nT 5 2 1 n n S n T n += − ( 5)nS kn n= + (2 1)nT kn n= − 7 7 6 18a S S k= − = 6 6 5 21b T T k= − = 7 6 6 7 a b = [90,100) 6 8 2 [100,110) [80,90) [110,120) [110,120)故选 ABD． 10．【答案】BC 【解析】因为 ， 所以 ． 令 ，得 ， 所以直线 不是 图像的对称轴，①错误； 最小正周期 ，②正确； 令 ，得 ，取 ，得 ， 故函数 的图像关于点 对称，③正确； 令 ， ，得 ， ， 取 ，得 ；取 ，得 ，所以④错误， 故选 BC． 11．【答案】ACD 【解析】由 ， ，得 ， ， 则 ， ， ， 故选 ACD． 12．【答案】AD 【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥 ，并取 ， 分别为 ， 的中点， 连接 ， ， ， ， ， ， ， ， 记四棱台上、下底面中心分别为 ， ， 由条件知 ， ， ， 分别为四棱锥的侧棱 ， ， ， 的中点， 则 ， ，所以 ， 故该四棱台的高为 ，故 A 正确； 由 ， ，得 为正三角形，则 与 所成角为 ，故 B 不正确； 四棱台的斜高 ， 所以该四棱台的表面积为 ，故 C 不正确； 易知 ， ， 所以 为四棱台外接球的球心， 所以外接球的半径为 ，外接球表面积为 ，故 D 正确． 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13．【答案】 【解析】因为 ，所以 ． 14．【答案】 【解析】由题意可知， ， ． 15．【答案】 【解析】因为 ，所以 ． 因为 ， ，所以 （当且仅当 ， 时，等号成立）， π( ) sin3 3 cos3 1 2sin(3 ) 13f x x x x= − + = − + π π π( ) 2sin[3( ) ] 1 2sin(3 ) 16 3 6g x x x= + − + = + + π π3 π ( )6 2x k k+ = + ∈Z π π ( )3 9 kx k= + ∈Z 5π 9x = ( )g x 2π 2π 3T ω= = π3 π( )6x k k+ = ∈Z π π ( )3 18 kx k= − ∈Z 2k = 11π 18x = ( )g x 11π( ,1)18 π π π2 π 3 2 π2 6 2k x k− ≤ + ≤ + k ∈Z 2 π 2π 2 π π 3 9 3 9 k kx− ≤ ≤ + k ∈Z 2k = 10π 13π 9 9x≤ ≤ 3k = 16π 19π 9 9x≤ ≤ 10 4a = 10 25b = lg 4a = lg 25b = lg100 2a b+ = = 25lg lg64b a− = > 24lg 2 lg5 4lg 2 lg 4 8lg 2ab = ⋅ > ⋅ = P ABCD− E 1E BC 1 1B C AC BD 1 1AC 1 1B D 1AO OE OP PE 1O O 1A 1B 1C 1D PA PB PC PD 12 4PA AA= = 2OA = 2 2 1 1 1 32 2OO PO PA OA= = − = 3 4PA PC= = 4AC = PAC△ 1AA 1CC 60° 2 2 2 21 1 1 14(2 3) ( 2)2 2 2 2h PE PO OE′ = = + = × + = 2 2 2 2 2 14(2 2) ( 2) 4 10 6 72 2 ++ + × × = + 1 1 1 1 0OA OB OC OD= = = = 2 2 1 1 2A O O OA OB OC OD+ = = = = = O 2 24π 2 16π× = 5 2(8) 4 log 8 4 3 1f = − + = − + = − 11( (8)) ( 1) ( ) 2 53f f f −= − = + = 47.5 ~ (1000,0.95)X B ( ) 1000 0.95 (1 0.95) 47.5D X = × × − = 18 5 2a b+ = 5 1 1 5 1 1 5 26( )( ) ( )5 2 5 2 5 5 b aa ba b a b a b + = + + = + + 0a > 0b > 5 25 b a a b + ≥ 5 3a = 1 3b =所以 ． 16．【答案】 ， 【解析】如图， 为平面 与 的交点，连接 ， ． 易证 平面 ，则 ，则 ， 则 ，即 ， 又 ，所以 ． 连接 ，连接 交 于点 ，过点 作 ， 与 交于点 ， 连接 ，则 为 与 的交点， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，故 ． 四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤． 17．【答案】见解析． 【解析】选①．∵ ，∴ ， 即 ，解得 （舍去）或 ， ∵ ，∴ 或 ． 又∵ ， ， 成等差数列，∴ ，∴ 不是三角形中最大的边，∴ ， ∵ ，∴ ，即 ， 故 是等边三角形． 选②．由正弦定理，得 ， 即 ，整理，得 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ， ， 成等差数列，∴ ，故 是等边三角形． 选③．由正弦定理，得 ． ∵ ，∴ ，即 ， ∵ ，∴ ，∴ ，得 ． 由余弦定理 ，得 ，即 ， 故 是等边三角形． 18．【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）∵ ， ，∴ ， ． 依题意，得 ， ， 故 ． （2）由（1）可知 ， 故 ． 19．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）在三棱锥 中， 因为 ， ， ，所以 平面 ， 5 1 1 26 18(2 )3 2 5 5a b + ≥ × + = 1 6 3 8 G BEF 1DD GE EF BF∥ 1 1CDD C BF GE∥ AFB DGE△ △∽ AF DG AB DE = 1 2 DG DE = 2CE DE= 1 1 6 DG DD = 1AC AC BE M M 1MN CC∥ MN 1AC N FM H FM 1AC AB CE∥ 3 2 AM AB MC CE = = 1 3 2 AN AM NC MC = = 1 3 5 MN CC = 6 5 MN HN FA AH = = 1 3 8 AH HC = 2cos2 1 2sinB B= − 22sin 3sin 3 0B B+ − = (2sin 3)(sin 3) 0B B− + = sin 3B = − 3sin 2B = 0 πB< < π 3B = 2π 3B = a b c 2b a c= + b π 3B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 0a c ac+ − = a c= ABC△ 2sin cos 2sin sinB C A C= − 2sin cos 2sin( ) sinB C B C C= + − 2cos sin sin 0B C C− = 0 πC< < sin 0C > 1cos 2B = 0 πB< < π 3B = a b c 2b a c= + ABC△ sin cos 1 sin 3sin B B A A += sin 0A ≠ 3sin cos 1B B− = π 1sin( )6 2B − = 0 πB< < π π 5π 6 6 6B− < − < π π 6 6B − = π 3B = 2 2 2 2 cosb a c ac B= + − 2 2 2 0a c ac+ − = a c= ABC△ 12 1 3 2 2 n n na −− + ×= 25 2 5n nS n= × + − 1 2a = 1 1b = 1 1 1a b− = 1 1 3a b+ = 1 2( 1) 2 1n na b n n− = + − = − 13 2n n na b −+ = × 12 1 3 2 2 n n na −− + ×= 12 2 2 1 5 2n n na n −+ = − + × 1 (1 2 1)(1 3 2 1) 5 (1 2 2 ) 5 (2 1)2 n n n n nS n − + −= + + + − + × + + + = + × −  25 2 5n n= × + − 6 6 D ABC− CD BC⊥ CD AC⊥ AC BC C= CD ⊥ ABC又 平面 ，所以 ， 因为 ， 为 的中点，所以 ， 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 ． （2）由（1）可知 为直线 与平面 所成的角， 所以 ，所以 ． 过点 作 交 于点 ，由（1）知 ， ， 两两垂直， 以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系， 如图（1）， 则 ， ， ， ， 则 ， ，易知平面 的一个法向量为 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，得 ， 由图可知，该二面角为锐角，所以 ， 所以二面角 的余弦值为 ． 20．【答案】（1）列联表见解析，有 的把握认为；（2）①分布列见解析， ；②不能获得． 【解析】（1）由题意可得 ， 所以有 的把握认为“获得好评”与物流速度有关． （2）①由题意可知， 的所有可能取值为 ， ， ，每位买家给商家作出好评、中评、差评的 概率分别为 ， ， ， 所以 的分布列为 所以数学期望 ． ②方法一：设商家每天的成交量为 ，则 的可能取值为 ， ， ， 所以 的分布列为 所以 ． 所以商家每天能获得的平均积分为 ， 商家一年能获得的积分为 ， 所以该商家在 年内不能获得“诚信商家”称号． 方法二：商家每天的平均成交量为 ， 所以商家每天能获得的平均积分为 ， 商家一年能获得的积分为 ． 所以该商家在 年内不能获得“诚信商家”称号． 21．【答案】（1）证明见解析；（2）存在， ． 【解析】（1）证明：设 ，则 ， 整理，得 ， 将 代入 ，得点 的坐标为 ， AE ⊂ ABC AE CD⊥ AB AC= E BC AE BC⊥ BC CD C= AE ⊥ BCD AE ⊂ ADE ADE ⊥ BCD DEC∠ DE ABC π 4DEC∠ = 1CD CE= = E EF CD∥ BD F EA EB EF E EA EB EF x y z (0,0,0)E (1,0,0)A (0,1,0)B (0, 1,1)D − ( 1,1,0)AB = − ( 1, 1,1)AD = − − BCD 1 (1,0,0)=n ABD 2 ( , , )x y z=n 2 2 0 0 AB x y AD x y z  ⋅ = − + = ⋅ = − − + =   n n 1x = 2 (1,1,2)=n 1 2 1 2 1 2 6cos , 6 ⋅< >= =n nn n n n A BD C− − 6 6 99% 0.7 2 2 (50 15 30 5) 100 100 6.63580 20 55 45 11K × − × ×= = >× × × 99% X 1 0 1− 0.8 0.1 0.1 X ( ) 1 0.8 0 0.1 ( 1) 0.1 0.7E X = × + × + − × = Y Y 27 30 36 Y ( ) 27 0.4 30 0.4 36 0.2 30E Y = × + × + × = 30 0.7 21× = 21 365 7665 10000× = < 1 36 10 30 20 27 20 3050 × + × + × = 30 0.7 21× = 21 365 7665 10000× = < 1 ( 3,0)T ± ( , )G x y 2 2 3 2 2 4 4AG BG y y yk k x x x ⋅ = ⋅ = = −+ − − 2 2 1( 0)4 3 x y y+ = ≠ 2( 0)x y= ≥ 2 2 14 3 x y+ = D 6( 2, )2又由题意易得 ，∴ ， ， ∴ ，∴ ． （2）方法一：设 ， ， 由 ，消去 并整理，得 ， ∴ ， ． ∵ 的坐标为 ，∴直线 的方程为 ，∴ ， 同理可得 ． ∴以 为直径的圆的方程为 ， 令 ，得 ， ∵ ， ∴ ，∴ ， 故以 为直径的圆恒过定点 ． 方法二：设 ，则 ， 则直线 的方程为 ，则 ， 同理可得 ． 假设存在 符合题设，则 ，∴ ， ∵点 在曲线 上，∴ ，∴ ． ∴ ，∴ ， 故存在定点 符合题设． 22．【答案】（1） 在定义域 上单调递增；（2） ． 【解析】（1）因为 ，所以 ， ． 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增， 所以 ． 又因为 ， ，所以 ，则 在定义域 上单调递增． （2）由 ，得 ，即 ， 所以 ，即 对任意 恒成立． 设 ，则 ． 当 时， ，函数 单调递增， 且当 时， ；当 时， ， 若 ，则 ， 若 ，因为 ，且 在 上单调递增，所以 ． 综上可知， 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立． 设 ， ， 则 ，所以 在 上单调递增， 所以 ， 即实数 的取值范围为 ． (0, 3)E 6 32 22ODk = = 3 2AEk = OD AEk k= OD AE∥ 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y 2 2 14 3 y kx x y = + = y 2 2(3 4 ) 12 0k x+ − = 1 2 0x x+ = 1 2 2 12 3 4x x k −= + A ( 2,0)− AM 1 1 ( 2)2 yy xx = ++ 1 1 2(0, )2 yP x + 2 2 2(0, )2 yQ x + PQ 2 2 2( ) ( )2 2 P Q P Qy y y yx y + −+ − = 0y = 2 1 2 1 2 4 ( 2)( 2)P Q y yx y y x x −= − = + + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 4 4 34 3 4( 2)( 2) 2( ) 4 4 1 1 3 y y k x x k x x k k kx x x x x x x x x x − − − − −= = = = =++ + + + + + + − 2 3x = 3x = ± PQ ( 3,0)T ± 1 1( , )M x y 1 1( , )N x y− − AM 1 1 ( 2)2 yy xx = ++ 1 1 2(0, )2 yP x + 1 1 2(0, )2 yQ x − 0( ,0)T x 0PT QT⋅ =  2 2 1 0 1 4 04 yx x 2+ =− 1 1( , )M x y C 2 2 1 1 14 3 x y+ = 2 1 2 1 4 34 y x = −− 2 0 3 0x − = 0 3x = ± ( 3,0)T ± ( )f x (0, )+∞ 1[ , )e +∞ ( ) lnxf x ae x= 1( ) (ln )xf x ae x x ′ = + (0, )x∈ +∞ 1( ) lnk x x x = + 2 1( ) xk x x −′ = (0,1)x∈ ( ) 0k x′ < ( )k x (1, )x∈ +∞ ( ) 0k x′ > ( )k x ( ) (1) 1 0k x k≥ = > 0a > 0xe > ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞ ( ) 0h x > ( ) ( ) 0g x f x− > 2ln lnxae x x x a< + ln ln ln( )x x x x x x a ae x ae ae ae < + = ln( ) lnx x ae x ae x > (0,1)x∈ ln( ) xH x x = 2 1 ln( ) xH x x −′ = (0,1)x∈ ( ) 0H x′ > ( )H x (1, )x∈ +∞ ( ) 0H x > (0,1)x∈ ( ) 0H x < 1xae x≥ > ( ) 0 ( )xH ae H x≥ > 0 1xae< < ( ) ( )xH ae H x> ( )H x (0,1) xae x> xae x> (0,1)x∈ x xa e > (0,1)x∈ ( ) x xG x e = (0,1)x∈ 1( ) x xG x e −′ = ( )G x (0,1) 1( ) (1)G x G ae < = ≤ a 1[ , )e +∞