江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考理科数学试卷（含答案）（Word版含答案详解）

1 dx)xsin1( i∫ + i- 江西省鹰潭市第二次模拟理科数学 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给的四个选项中，只 有一项符合） 1.已知全集U = R，集合A = {x|log2(x−2) < 1},B = {x|x2−3x−4 < 0}，则(CUA) ∩ B为 A. ( - 1, 3) B. ( - 1, 2] C.( - 4, 3) D. ( - 4, 2] 2. 已知 （ 2 + i）y = x + yi，x, y ∈ R ，则 A. B. C.2 D. 3.已知等比数列{an}的首项 a1＞0，公比为 q，前 n 项和为 Sn，则“q＞1”是“S3+S5＞2S4”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4.如图，在▱OACB 中，E 是线段 AC 的中点，F 是线段 BC 上的一点，且 BC＝3BF， 若 ＝m ，其中 m，n∈R，则 m+n 的值为 A．1 B． C． D ． 5.函数 的图象大致是 A B C D 6． 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持五金出关，前关二而税一， 次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，…，”.源于问题所蕴 的数学思想，设计如图所示程序框图，运行此程序，输出的结果为 i， 则 等于 x iy + = 5 3 2 12 )4ln()( −−+= xexxf 第 4 题图 第 6 题图 2 A．6 B．14 C．8 D．12 7．如图，随机向大圆内投一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为 A． B． C． D． 8．将函数 的图象向右平移 个单位，在向上平移一个单位，得到 g（x）的图象． 若 g（x1）g（x2）＝4，且 x1，x2∈[﹣π，π]，则 x1﹣2x2 的最大值为 A． B． C． D． 9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 9．已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F 的直线 L 与抛物线 C 交于 A、B 两点，且直线 L 与圆 交于 两点.若 ，则直线 L 的斜率为 A. B. C. D. 11．已知双曲线 E： ，点 F 为双曲线 E 的左焦点，点 P 为 E 上位于第一象限内的点， P 关于原点的对称点为 Q，且满足|PF|＝3|FQ|，若|OP|＝b，则 E 的离心率为 A． B． C．2 D． 第 7 题图 第 9 题图 3 12．在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色．先染 1；再染 3 个偶数 2，4，6 ；再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7，9，11，13，15；再染 15 后面最邻近的 7 个连续偶数 16， 18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的 9 个连续奇数 29，31，…，45；按此规则一直染下 去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，……，则在这个红色子数列中， 由 1 开始的第 2019 个数是 A．3972 B．3974 C．3993 D．3991 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上） 13.若实数 x，y 满足约束条件 则 z＝ln y－ln x 的最小值是________． 14.某地区高考改革，实行“3+2+1”模式，即“3”指语文、数学、外语三门必考科目，“1”指在物 理、历史两门科目中必选一门，“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物 理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有_______.（用数字作答） 15 若对任意 x （﹣ ，1），都有 ＝a0+a1x+a2x2+…+anxn+....，（n 为正整数），则 a1+a3 的值等于_______． 16.设点 M 是棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AD 的中点，点 P 在面 BCC1B1 所在的平面内，若平面 D1PM 分别与平面 ABCD 和平面 BCC1B1 所成的锐二面角相等，则点 P 与点 C1 间的距离的最小值为_______． 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分） 在△ABC 中， ， ，点 D 在 BC 上， ． （1）求 AD 的长； （2）若△ABD 的面积为 ，求 AB 的长； 4 1 0 1 4 x y y x y − − ≥  ≥  + ≤ ∈ 4 18. （本小题满分 12 分） 如图所示，底面为菱形的直四棱柱A1B1C1D1−ABCD被过三点C、B1、D1的平面截去一个三棱 锥C1−CB1D1(图一)得几何体A1B1D1−ABCD(图二)，E 为B1D1的中点． (1)点 F 为棱AA1上的动点，试问平面FB1D1与平面CEA1是否垂直?请说明理由； (2)设AB = 2,∠BAD = 60∘,AA1 = 4，当点 F 为AA1中点时，求锐二面角F−B1D1−C的余弦值． 19（本小题满分 12 分） 近年来，双十一购物狂欢节（简称“双 11”）活动已成为中国电子商务行业年度盛事，某网络商家 为制定 2019 年“双 11”活动营销策略，调查了 2018 年“双 11”活动期间每位网购客户用于网购时间 T（单位：小时），发现 T 近似服从正态分布 N(2, 0.49). （1）求 P(T>1.3) 的估计值； （2）该商家随机抽取参与 2018 年“双 11”活动的 10000 名网购客户，这 10000 名客户在 2018 年“ 双 11”活动期间，用于网购时间 T 属于区间(2,3.4)的客户数为 X．该商家计划在 2019 年“双 11” 活动前对这 X 名客户发送广告，所发广告的费用为每位客户 0.05 元． （i）求该商家所发广告总费用的平均估计值； （ii）求使 p(x=k)取最大值时的整数 的值． (附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ， ， ．) 5 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 离心率为 ，点 ， 分别为椭圆 的左、右顶点点 ， 分别为椭圆 的左、右焦点．过点 任作一条不与 轴垂直的直线与椭圆 交于 ， 两点， 的周长为 ． （1）求椭圆 的方程． （2）若直线 ， 交于点 ，试判断点 是否在某条定直线 上．若是，求出 的值；若 不是，请说明理由． 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）＝xex﹣2ax+a． （1）当 a＝4 时，求 f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）设 g（x）＝2ex﹣ax2 ，若 h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个零点，求 a 的取值范围． 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分） ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2 1A 2A C 1F 2F C 2F y C N N 1MNF△ 8 C 1A M 2A N D D x t= t 6 已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以直角坐标系的原点为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系. （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 的极坐标方程为 ，求曲线 C 上的点到直线 的最大距离. 23．[选修 4—5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 设函数 f（x）＝|2x﹣1|+1．g（x）＝|2x﹣1|+|1+x|+2． （1）求不等式 f（x）≤3x 的解集； （2）若存在 x 使不等式 2f（x）﹣g（x）＜a|x|成立，求实数 a 的取值范围． 第二次模拟理科数学参考答案 BAACA DCDAC B c 13. -ln3, 14.16, 15.4, 16. . (12)解.将由 1 开始的红色子数列分组为：（1），（2，4，6），（7，9，11，13，15），（16，18， 20，22，24，26，28），（29，31…45）…则有第 n 组有 2n﹣1 项，且第 n 组的最后一项为 n（2n﹣1） ， 设 1 开始的第 2019 个数在第 n 组，则由等差数列前 n 项和公式有： （n∈N* ），解得：n＝45，又前 44 组项数之和为 ＝1936，则第 45 组第 1 个数为：44×（2×44﹣ 1）+1＝3829，即第 2019 个数在第 45 组的第 2019﹣1936＝83 个，则第 2019 个数是：3829+（83﹣1）× 2＝3993，故选：D．16.设 P 在平面 ABCD 上的射影为 在平面 上的射影为 ，平面 与平面 和平面 成的锐二面角分别为 ，则 ， 3 2cos 1 2sin x y α α = +  = − α x l 1sin 2cosθ θ ρ− = l 7 ，设 到 距离为 ，则 ，即点 在与直线 平行且与直线距离为 的直线上， 到 的最短距离为 17..解：（1）∵ ，且 0＜∠ADC＜π，∴ ，…（2 分） 正弦定理有 ，得 ；…（5 分） （2）∵ ，…（6 分） ∵ ，∴ ，得 BD＝2，…（8 分） 又∵ ，…（9 分） 由余弦定理得 ，∴AB＝3．…（12 分） 18.解：（1）平面FB1D1 ⊥ 平面CEA1，证明如下： 连接 AC，BD 相交于点 O，因为底面 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD， 又因为直四棱柱上下底面全等，所以由 AC⊥BD 得A1E ⊥ B1D1，又因为 CB=CD，BB1 = DD1， 所以 CB1=CD1.因为 E 为 B1D1 的中点，所以CE ⊥ B1D1，又CE ∩ A1E = E，所以 B1D1⊥平面 CEA1，又因 为B1D1 ⊂ 平面FB1D1，所以平面FB1D1 ⊥ 平面 CEA1.............5 分. （2）连接 OE，易知 OE⊥平面 ABCD，所以 OB，OC，OE 两两互相垂直， 所以分别以OB,OC,OE所在直线为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则 O（0，0，0），C(0, 3,0),B1 = (1,0,4),D1 = ( -1,0,4),F(0, - 3,2). ………6 分. 设平面CB1D1的法向量为n1 = (x1,y1,z1)，则 { n1 ⋅ CB1 = 0, n1 ⋅ D1B1 = 0, ⇒{(x1,y1,z1) ⋅ (1, - 3,4) = 0, (x1,y1,z1) ⋅ (2,0,0) = 0, ⇒{ 3y1 = 4z1 x1 = 0 ， 令y1 = 4⇒z1 = 3,x1 = 0所以n1 = (0,4, 3).........8 分 同理设平面 FB1D1的法向量为n2 = (x2,y2,z2)，则 { n2 ⋅ FB1 = 0, n2 ⋅ D1B1 = 0, ⇒{(x2,y2,z2) ⋅ (1, 3,2) = 0, (x2,y2,z2) ⋅ (2,0,0) = 0, ⇒{ 3y2 = -2z2, x2 = 0, ， 令y2 = 2⇒z2 = - 3,x2 = 0.所以n2 = (0,2, - 3)， ………9 分 8 所以|cos⟨n1,n2⟩| = |n1 ⋅ n2| |n1||n2| = |(0,4, 3) ⋅ (0,2, - 3)| 16 + 3 × 4 + 3 = 5 133 133 ………10 分 所以所求的锐二面角F - B1D1 -C的余弦值为5 133 133 . ………（12 分）. 19．解：（1）因为 ， ， ，所以 ．………2 分 （2）（i） ．………4 分 依题意 ，所以 ． 故商家广告总费用的估计值为 （元）．…6 分 （ii） ．………7 分 设 最大，则 ，………8 分 即 ，解得 ．………10 分 因为 ，所以使 取最大值时的整数 ．………12 分. 20.(1)由 的周长为 得： ，即 ．由离心率 知 ， 故 ．所以椭圆的方程为 ． ………4 分 (2)设 ，与椭圆 联立得： ， …5 分 由韦达定理得： ， ， ………6 分 直线 与 联立得： ， ………7 分 将 ， 代入整理得： ………8 分 即 ，即直线 与 的交点 的横坐标为 ， ………10 分 故点 在直线 上，所以 ． ………12 分 22. 解：（1）当 a＝4 时，f（x）＝xex﹣8x+4，f（1）＝e﹣4，f′（x）＝xex+ex﹣8， f′（1）＝2e﹣8，∴切线方程为 y-(e-4)=(2e-8)(x-1)即 y＝（2e﹣8）x﹣e+4；……3 分 1MNF△ 8 4 8a = 2a = 1 2 ce a = = 2 2 3 4 b a = 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = ( ): 1MN x yλ λ= + ∈R 2 2 : 14 3 x yC + = ( )2 23 4 6 9 0y yλ λ+ + − = 1 2 2 6 3 4y y λ λ+ = − + 1 2 2 9 3 4y y λ⋅ = − + ( )1 1 1 : 22 yA M y xx = ++ ( )2 2 2 : 22 yA N y xx = −− ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 yx y x y yx y x yx y y + + −  = − + + 1 1 1x yλ= + 2 2 1x yλ= + ( ) ( )1 2 1 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 4 2 84 6 2 3 2 y y y y yy y y yx y y y y y λλ − + ++ −= =+ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 9 2 6 8 3 4 4 6 2 3 4 y x y λ λ λ λ λ − − − + + = = − + + 1A M 2A N D 4 D 4x = 4t = 9 （2）∵h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，∴h′（x）＝（x﹣1）（ex+2a）．…4 分 ①当 a＞0 时，h（x）在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减． ∵h（1）＝﹣e＜0，h（2）＝a＞0．∴h（x）在（1，+∞）上有且只有一个零点．……5 分 下面考虑 h（x）在（﹣∞，1）上零点的情况（考虑到 h（x）中含有 ex，为了化简 h（x），所以想 到 ln ）．取 b，使 b＜0，且 b＜ln ，则 h（b）＞ ． 即 h（x）有两个不同的零点．……6 分 ②当 a＝0 时，h（x）＝（x﹣2）ex，此时 h（x）只有一个零点．……7 分 ③当 a＜0 时，令 h′（x）＝0，得 x＝1 或 x＝ln（﹣2a）． 当 a＝﹣ 时，h′（x）＝（x﹣1）（ex﹣e），h′（x）≥0 恒成立，∴h（x）在 R 上单调递增． 当 a＞﹣ 时，即 ln（﹣2a）＜1．若 x＜ln（﹣2a）或 x＞1，则 h′（x）＞0； 若 ln（﹣2a）＜x＜1，则 h′（x）＜0． ∴h（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））和（1，+∞）上单调递增，在（ln（﹣2a），1）上单调递减． 当 a＜ 时，即 ln（﹣2a）＞1．若 x∈（﹣∞，1）∪（ln（﹣2a），+∞）， 则 h′（x）＞0，若 x∈（1，ln（﹣2a）），则 h′（x）＜0． ∴h（x）在（﹣∞，1）和（ln（﹣2a），+∞）上单调递增，在（1，ln（﹣2a））上单调递减…8 分 当 a＜0 时，∵h（1）＝﹣e＜0，h（ln（﹣2a））＝（﹣2a）[ln（﹣2a）﹣2]+a[ln（﹣2a）﹣1]2＝a[ （ln（﹣2a）﹣2）2+1]＜0．∴h（x）无零点，不合题意．……10 分 综上，h(x)=f(x)-g(x）有两个零点 a 的取值范围是（0，+∞）。…12 分 22. 解：(1)由 ，消去 ，得 将 代入得 ， 化简得 ………5 分 (2) 由 ，得 ，即 圆心 到直线 的距离 3 2cos 1 2sin x y α α = +  = − α ( ) ( )2 23 1 4x y− + − = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ( ) ( )2 2cos 3 sin 1 4ρ θ ρ θ− + − = 2 6 cos 2 sin 6ρ ρ θ ρ θ− − + 1sin 2cosθ θ ρ− = sin 2 cos 1ρ θ ρ θ− = 2 1 0x y− + = ( )3,1C 2 1 0x y− + = 2 3 1 1 6 555 d × − += = 10 所以 C 上点到直线的最大距离为 ………10 分 23.解：(1）由 f（x）≤x 得：|2x﹣1|+1≤x，…………………………………（1 分） ∴ 或 ， 解得： 或 ．………（4 分） ∴不等式 f（x）≤3x 的解集是 ． ……………………………………（5 分） （2）2f（x）﹣g（x）＝|2x﹣1|﹣|1+x|， 当 x＝0 时显然不成立，所以 2f（x）﹣g（x）＜a|x|成立， 即 令 ………………（6 分） 即 …………（9 分） 所以实数 a 的取值范围是（﹣3，+∞）…………（10 分） 6 5 25d r+ = +