江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考理科数学试卷(含答案)(Word版含答案详解)
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江西省鹰潭市2021届高三第二次模拟考理科数学试卷(含答案)(Word版含答案详解)

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资料简介
1 dx)xsin1( i∫ + i- 江西省鹰潭市第二次模拟理科数学 一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给的四个选项中,只 有一项符合) 1.已知全集U = R,集合A = {x|log2(x−2) < 1},B = {x|x2−3x−4 < 0},则(CUA) ∩ B为 A. ( - 1, 3) B. ( - 1, 2] C.( - 4, 3) D. ( - 4, 2] 2. 已知 ( 2 + i)y = x + yi,x, y ∈ R ,则 A. B. C.2 D. 3.已知等比数列{an}的首项 a1>0,公比为 q,前 n 项和为 Sn,则“q>1”是“S3+S5>2S4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图,在▱OACB 中,E 是线段 AC 的中点,F 是线段 BC 上的一点,且 BC=3BF, 若 =m ,其中 m,n∈R,则 m+n 的值为 A.1 B. C. D . 5.函数 的图象大致是 A B C D 6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有人持五金出关,前关二而税一, 次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,…,”.源于问题所蕴 的数学思想,设计如图所示程序框图,运行此程序,输出的结果为 i, 则 等于 x iy + = 5 3 2 12 )4ln()( −−+= xexxf 第 4 题图 第 6 题图 2 A.6 B.14 C.8 D.12 7.如图,随机向大圆内投一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率为 A. B. C. D. 8.将函数 的图象向右平移 个单位,在向上平移一个单位,得到 g(x)的图象. 若 g(x1)g(x2)=4,且 x1,x2∈[﹣π,π],则 x1﹣2x2 的最大值为 A. B. C. D. 9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. C. D. 9.已知抛物线 C: 的焦点为 F,过点 F 的直线 L 与抛物线 C 交于 A、B 两点,且直线 L 与圆 交于 两点.若 ,则直线 L 的斜率为 A. B. C. D. 11.已知双曲线 E: ,点 F 为双曲线 E 的左焦点,点 P 为 E 上位于第一象限内的点, P 关于原点的对称点为 Q,且满足|PF|=3|FQ|,若|OP|=b,则 E 的离心率为 A. B. C.2 D. 第 7 题图 第 9 题图 3 12.在正整数数列中,由 1 开始依次按如下规则,将某些整数染成红色.先染 1;再染 3 个偶数 2,4,6 ;再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7,9,11,13,15;再染 15 后面最邻近的 7 个连续偶数 16, 18,20,22,24,26,28;再染此后最邻近的 9 个连续奇数 29,31,…,45;按此规则一直染下 去,得到一红色子数列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,……,则在这个红色子数列中, 由 1 开始的第 2019 个数是 A.3972 B.3974 C.3993 D.3991 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将答案填在题中的横线上) 13.若实数 x,y 满足约束条件 则 z=ln y-ln x 的最小值是________. 14.某地区高考改革,实行“3+2+1”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“1”指在物 理、历史两门科目中必选一门,“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物 理这五门学科中任意选择两门学科,则一名学生的不同选科组合有_______.(用数字作答) 15 若对任意 x (﹣ ,1),都有 =a0+a1x+a2x2+…+anxn+....,(n 为正整数),则 a1+a3 的值等于_______. 16.设点 M 是棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AD 的中点,点 P 在面 BCC1B1 所在的平面内,若平面 D1PM 分别与平面 ABCD 和平面 BCC1B1 所成的锐二面角相等,则点 P 与点 C1 间的距离的最小值为_______. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, , ,点 D 在 BC 上, . (1)求 AD 的长; (2)若△ABD 的面积为 ,求 AB 的长; 4 1 0 1 4 x y y x y − − ≥  ≥  + ≤ ∈ 4 18. (本小题满分 12 分) 如图所示,底面为菱形的直四棱柱A1B1C1D1−ABCD被过三点C、B1、D1的平面截去一个三棱 锥C1−CB1D1(图一)得几何体A1B1D1−ABCD(图二),E 为B1D1的中点. (1)点 F 为棱AA1上的动点,试问平面FB1D1与平面CEA1是否垂直?请说明理由; (2)设AB = 2,∠BAD = 60∘,AA1 = 4,当点 F 为AA1中点时,求锐二面角F−B1D1−C的余弦值. 19(本小题满分 12 分) 近年来,双十一购物狂欢节(简称“双 11”)活动已成为中国电子商务行业年度盛事,某网络商家 为制定 2019 年“双 11”活动营销策略,调查了 2018 年“双 11”活动期间每位网购客户用于网购时间 T(单位:小时),发现 T 近似服从正态分布 N(2, 0.49). (1)求 P(T>1.3) 的估计值; (2)该商家随机抽取参与 2018 年“双 11”活动的 10000 名网购客户,这 10000 名客户在 2018 年“ 双 11”活动期间,用于网购时间 T 属于区间(2,3.4)的客户数为 X.该商家计划在 2019 年“双 11” 活动前对这 X 名客户发送广告,所发广告的费用为每位客户 0.05 元. (i)求该商家所发广告总费用的平均估计值; (ii)求使 p(x=k)取最大值时的整数 的值. (附:若随机变量 服从正态分布 ,则 , , .) 5 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 离心率为 ,点 , 分别为椭圆 的左、右顶点点 , 分别为椭圆 的左、右焦点.过点 任作一条不与 轴垂直的直线与椭圆 交于 , 两点, 的周长为 . (1)求椭圆 的方程. (2)若直线 , 交于点 ,试判断点 是否在某条定直线 上.若是,求出 的值;若 不是,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=xex﹣2ax+a. (1)当 a=4 时,求 f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)设 g(x)=2ex﹣ax2 ,若 h(x)=f(x)﹣g(x)有两个零点,求 a 的取值范围. 选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 1 2 1A 2A C 1F 2F C 2F y C N N 1MNF△ 8 C 1A M 2A N D D x t= t 6 已知曲线 C 的参数方程为 ( 为参数),以直角坐标系的原点为极点, 轴正半轴为 极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)若直线 的极坐标方程为 ,求曲线 C 上的点到直线 的最大距离. 23.[选修 4—5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设函数 f(x)=|2x﹣1|+1.g(x)=|2x﹣1|+|1+x|+2. (1)求不等式 f(x)≤3x 的解集; (2)若存在 x 使不等式 2f(x)﹣g(x)<a|x|成立,求实数 a 的取值范围. 第二次模拟理科数学参考答案 BAACA DCDAC B c 13. -ln3, 14.16, 15.4, 16. . (12)解.将由 1 开始的红色子数列分组为:(1),(2,4,6),(7,9,11,13,15),(16,18, 20,22,24,26,28),(29,31…45)…则有第 n 组有 2n﹣1 项,且第 n 组的最后一项为 n(2n﹣1) , 设 1 开始的第 2019 个数在第 n 组,则由等差数列前 n 项和公式有: (n∈N* ),解得:n=45,又前 44 组项数之和为 =1936,则第 45 组第 1 个数为:44×(2×44﹣ 1)+1=3829,即第 2019 个数在第 45 组的第 2019﹣1936=83 个,则第 2019 个数是:3829+(83﹣1)× 2=3993,故选:D.16.设 P 在平面 ABCD 上的射影为 在平面 上的射影为 ,平面 与平面 和平面 成的锐二面角分别为 ,则 , 3 2cos 1 2sin x y α α = +  = − α x l 1sin 2cosθ θ ρ− = l 7 ,设 到 距离为 ,则 ,即点 在与直线 平行且与直线距离为 的直线上, 到 的最短距离为 17..解:(1)∵ ,且 0<∠ADC<π,∴ ,…(2 分) 正弦定理有 ,得 ;…(5 分) (2)∵ ,…(6 分) ∵ ,∴ ,得 BD=2,…(8 分) 又∵ ,…(9 分) 由余弦定理得 ,∴AB=3.…(12 分) 18.解:(1)平面FB1D1 ⊥ 平面CEA1,证明如下: 连接 AC,BD 相交于点 O,因为底面 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD, 又因为直四棱柱上下底面全等,所以由 AC⊥BD 得A1E ⊥ B1D1,又因为 CB=CD,BB1 = DD1, 所以 CB1=CD1.因为 E 为 B1D1 的中点,所以CE ⊥ B1D1,又CE ∩ A1E = E,所以 B1D1⊥平面 CEA1,又因 为B1D1 ⊂ 平面FB1D1,所以平面FB1D1 ⊥ 平面 CEA1.............5 分. (2)连接 OE,易知 OE⊥平面 ABCD,所以 OB,OC,OE 两两互相垂直, 所以分别以OB,OC,OE所在直线为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示, 则 O(0,0,0),C(0, 3,0),B1 = (1,0,4),D1 = ( -1,0,4),F(0, - 3,2). ………6 分. 设平面CB1D1的法向量为n1 = (x1,y1,z1),则 { n1 ⋅ CB1 = 0, n1 ⋅ D1B1 = 0, ⇒{(x1,y1,z1) ⋅ (1, - 3,4) = 0, (x1,y1,z1) ⋅ (2,0,0) = 0, ⇒{ 3y1 = 4z1 x1 = 0 , 令y1 = 4⇒z1 = 3,x1 = 0所以n1 = (0,4, 3).........8 分 同理设平面 FB1D1的法向量为n2 = (x2,y2,z2),则 { n2 ⋅ FB1 = 0, n2 ⋅ D1B1 = 0, ⇒{(x2,y2,z2) ⋅ (1, 3,2) = 0, (x2,y2,z2) ⋅ (2,0,0) = 0, ⇒{ 3y2 = -2z2, x2 = 0, , 令y2 = 2⇒z2 = - 3,x2 = 0.所以n2 = (0,2, - 3), ………9 分 8 所以|cos⟨n1,n2⟩| = |n1 ⋅ n2| |n1||n2| = |(0,4, 3) ⋅ (0,2, - 3)| 16 + 3 × 4 + 3 = 5 133 133 ………10 分 所以所求的锐二面角F - B1D1 -C的余弦值为5 133 133 . ………(12 分). 19.解:(1)因为 , , ,所以 .………2 分 (2)(i) .………4 分 依题意 ,所以 . 故商家广告总费用的估计值为 (元).…6 分 (ii) .………7 分 设 最大,则 ,………8 分 即 ,解得 .………10 分 因为 ,所以使 取最大值时的整数 .………12 分. 20.(1)由 的周长为 得: ,即 .由离心率 知 , 故 .所以椭圆的方程为 . ………4 分 (2)设 ,与椭圆 联立得: , …5 分 由韦达定理得: , , ………6 分 直线 与 联立得: , ………7 分 将 , 代入整理得: ………8 分 即 ,即直线 与 的交点 的横坐标为 , ………10 分 故点 在直线 上,所以 . ………12 分 22. 解:(1)当 a=4 时,f(x)=xex﹣8x+4,f(1)=e﹣4,f′(x)=xex+ex﹣8, f′(1)=2e﹣8,∴切线方程为 y-(e-4)=(2e-8)(x-1)即 y=(2e﹣8)x﹣e+4;……3 分 1MNF△ 8 4 8a = 2a = 1 2 ce a = = 2 2 3 4 b a = 2 3b = 2 2 14 3 x y+ = ( ): 1MN x yλ λ= + ∈R 2 2 : 14 3 x yC + = ( )2 23 4 6 9 0y yλ λ+ + − = 1 2 2 6 3 4y y λ λ+ = − + 1 2 2 9 3 4y y λ⋅ = − + ( )1 1 1 : 22 yA M y xx = ++ ( )2 2 2 : 22 yA N y xx = −− ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 yx y x y yx y x yx y y + + −  = − + + 1 1 1x yλ= + 2 2 1x yλ= + ( ) ( )1 2 1 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2 4 2 84 6 2 3 2 y y y y yy y y yx y y y y y λλ − + ++ −= =+ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 9 2 6 8 3 4 4 6 2 3 4 y x y λ λ λ λ λ − − − + + = = − + + 1A M 2A N D 4 D 4x = 4t = 9 (2)∵h(x)=f(x)﹣g(x)=(x﹣2)ex+a(x﹣1)2,∴h′(x)=(x﹣1)(ex+2a).…4 分 ①当 a>0 时,h(x)在(1,+∞)上单调递增,在(﹣∞,1)上单调递减. ∵h(1)=﹣e<0,h(2)=a>0.∴h(x)在(1,+∞)上有且只有一个零点.……5 分 下面考虑 h(x)在(﹣∞,1)上零点的情况(考虑到 h(x)中含有 ex,为了化简 h(x),所以想 到 ln ).取 b,使 b<0,且 b<ln ,则 h(b)> . 即 h(x)有两个不同的零点.……6 分 ②当 a=0 时,h(x)=(x﹣2)ex,此时 h(x)只有一个零点.……7 分 ③当 a<0 时,令 h′(x)=0,得 x=1 或 x=ln(﹣2a). 当 a=﹣ 时,h′(x)=(x﹣1)(ex﹣e),h′(x)≥0 恒成立,∴h(x)在 R 上单调递增. 当 a>﹣ 时,即 ln(﹣2a)<1.若 x<ln(﹣2a)或 x>1,则 h′(x)>0; 若 ln(﹣2a)<x<1,则 h′(x)<0. ∴h(x)在(﹣∞,ln(﹣2a))和(1,+∞)上单调递增,在(ln(﹣2a),1)上单调递减. 当 a< 时,即 ln(﹣2a)>1.若 x∈(﹣∞,1)∪(ln(﹣2a),+∞), 则 h′(x)>0,若 x∈(1,ln(﹣2a)),则 h′(x)<0. ∴h(x)在(﹣∞,1)和(ln(﹣2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(﹣2a))上单调递减…8 分 当 a<0 时,∵h(1)=﹣e<0,h(ln(﹣2a))=(﹣2a)[ln(﹣2a)﹣2]+a[ln(﹣2a)﹣1]2=a[ (ln(﹣2a)﹣2)2+1]<0.∴h(x)无零点,不合题意.……10 分 综上,h(x)=f(x)-g(x)有两个零点 a 的取值范围是(0,+∞)。…12 分 22. 解:(1)由 ,消去 ,得 将 代入得 , 化简得 ………5 分 (2) 由 ,得 ,即 圆心 到直线 的距离 3 2cos 1 2sin x y α α = +  = − α ( ) ( )2 23 1 4x y− + − = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = ( ) ( )2 2cos 3 sin 1 4ρ θ ρ θ− + − = 2 6 cos 2 sin 6ρ ρ θ ρ θ− − + 1sin 2cosθ θ ρ− = sin 2 cos 1ρ θ ρ θ− = 2 1 0x y− + = ( )3,1C 2 1 0x y− + = 2 3 1 1 6 555 d × − += = 10 所以 C 上点到直线的最大距离为 ………10 分 23.解:(1)由 f(x)≤x 得:|2x﹣1|+1≤x,…………………………………(1 分) ∴ 或 , 解得: 或 .………(4 分) ∴不等式 f(x)≤3x 的解集是 . ……………………………………(5 分) (2)2f(x)﹣g(x)=|2x﹣1|﹣|1+x|, 当 x=0 时显然不成立,所以 2f(x)﹣g(x)<a|x|成立, 即 令 ………………(6 分) 即 …………(9 分) 所以实数 a 的取值范围是(﹣3,+∞)…………(10 分) 6 5 25d r+ = +

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