六校 10 月联考
高三数学试题
命题学校：鄂南高中 命题教师：高三数学组 审题学校：新洲一中邾城校区
考试时间：2020 年 10 月 15 日 上午 8∶00-10∶00 试卷满分：150 分
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、单选题：本大题共 8 个小题，每小题 6 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设 ，集合 ， ，则 （ ）
A B． C． D．
2．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．若 ，使得不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． c． D．
5．“开车不喝酒，喝酒不开车．”公安部交通管理局下发《关于 2019 年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指
导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，
车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表，经过反复试验，一般情况下，某人喝一
瓶 啤 酒 后 酒 精 在 人 体 血 液 中 的 变 化 规 律 的 “ 散 点 图 ” 如 下 图 ， 且 该 图 表 示 的 函 数 模 型
，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数
据： ， ）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别 阈值（mg/100mL）
U R= 01
xA x x
= > −
{ }1 1B x x= − < < ( )U A B = ( ]0,1 [ )0,1 ( )0,1 [ ]0,1 ( ) ( ) 13 1 ln 2f x x x = − + − ( )1 ,1 1,3 +∞ 1 ,23 ( )1 ,1 1,23 ( )0,2 ABC△ 45A = ° 30B = ° 2c = a = 6 2+ 6 2− 3 1− 3 1+ [ ]1,2x∃ ∈ − 2 2 0x x a− + < a 3a < − 0a < 1a < 3a > −
( )
0.5
40sin 13,0 23
90 e 14, 2x
x xf x
x
π
−
+ ≤
[ ]0,π ω
8 11,3 3
8 11,3 3
10 13,3 3
10 13,3 3
1xy a b= + − 0a > 1a ≠
1a > 0 1a< < 0b > 0b ≤
( ) 2
2
4f x x x
= + ( ) 4cos 0cos 2f x x xx
π = + ≤
( )y f f x=
0k > 0k < 0k > 0k < { }na nS { }na n 6 8a = 9 54S = 1 3 5 2019 2020a a a a a+ + + + = 2 2 2 1 2 2019 2020 2019 a a a aa + + + = a b 60° 2a = 3b = 3 2a b+ = 0.618 2sin18m = ° 2 4m n+ = 21 2cos 153 m n − ° = { }na nS n 5 2015S = 2015 5S = 2020S = x y ( )( )ln ln 0x m y x y x+ − − = 2.71828e = m ( )sin sin sinB C A C− = − 3 tan tancos c A Ba B = + 2 cos cos cosa A b C c B= + b c+
问题：已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，________，求 的最大值
18．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）
数列 中， 为其前 项和，且 ．
（Ⅰ）求 ， ；
（Ⅱ）若 ，求数列 的其前 项和 ．
19．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， 为 的中点．
（Ⅰ）证明： 平面 ；
（Ⅱ）设 ， ，三棱锥 的体积为 ，求二面角 的余弦值．
20．（本小题满分 12 分（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数 是偶函数，函数 是奇函数．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 ，若 对任意 恒成立，求实数 的取值
范围．
21．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知直线 与圆 相切，动点 到 与 两点的距离之和等于 、 两点到直
线 的距离之和．
（I）求动点 的轨迹 的方程；
（I）过点 的直线 交轨迹 于不同两点 、 ，交 轴于点 ，已知 ， ，
ABC△ A B C a b c 2a = b c+
{ }na nS n 1 1na S n+ = +
nS na
2 nS
n nb a= ⋅ { }nb n nT
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD E PD
PB AEC
1PA = 60ABC∠ = ° E ACD− 3
6
D AE C− −
( ) ( )4log 4 1xf x mx= + − ( ) 4
2
x
x
ng x
+=
m n+
( ) ( ) 1
2h x f x x= + ( ) ( )4log 2 1g h x h a> + 4log 3x ≥ a
1l 2 2: 9O x y+ = M ( )2,0E − ( )2,0F E F
1l
M C
F 2l C A B y fN 1NA AFλ=
2NB BFλ=
试问 是否等于定值，并说明理由．
22．（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数
（Ⅰ）若 ，求函数 的最小值；
（Ⅱ）若函数 对任意的 恒成立，求正实数 的最值范围；
（Ⅲ）求证： ， ．（ 为自然对数的底数）
六校 10 月联考数学试题答案
第一部分：选择题（每题 5 分，共 60 分）9-12 多选题：全选对得 5 分，少选但没有错选得 3 分，有错选或
全不选得 0 分
1-5：BCBCB
6．A
解析：由题意，函数 ，则 ，
因为函数 的图像与 轴切于点 ．
则 ，且 ，
联立方程组 ，解得 ， ，即 ，
则 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以函数 的极大值为 极小值为 ，
故选 A．
1 2
λ λ+
( ) ( )ln 1f x ax x= − +
1a = ( )f x
( ) 0f x > ( )0,x∈ +∞ a
n N+∀ ∈ 1
!n
n e
n
+ < e ( ) 3 2f x x px qx= − − ( ) 23 2f x x px q′ = − − ( )f x x ( )1,0 ( )1 3 2 0f p q′ = − − = ( )1 1 0f p q= − − = 3 2 0 1 0 p q p q − − = − − = 2p = 1q = − ( ) 3 22f x x x x= − + ( ) ( )( )23 4 1 3 1 1f x x x x x′ = − + = − − 1, 3x ∈ −∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
1 ,13x ∈
( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x 1 4
3 27f =
( )1 0f =
7．C．
解析：作 于 点，由 知， ．
法一：建系如图所示， ， ， ，设 ，则
（其中 ）
所以当 时， 取得最小值 ．
法二：
只需考虑 在 上时即可， （当且仅当 为 中点
时取等号）
8．A
解析：
当 时，
∵ 在 有且仅有 3 个零点
∴
综上：∴
12．ACD
AO BC⊥ O 4BA BC⋅ = 1BO =
( )0,A h ( )1,0B − ( )3,0C ( ),0P x
( ) ( ) ( ), 3 ,0 3PA PC x h x x x⋅ = − ⋅ − = − 1 3x− ≤ ≤
3
2x = PA PC⋅ 9
4
−
( )PA PC PO OA PC PO PC⋅ = + ⋅ = ⋅
P OC
2
9
2 4
PO PC
PO PC PO PC
+ ⋅ = − ⋅ ≥ − = −
P OC
( ) sin cos6f x x x
πω ω = + +
sin cos cos sin cos6 6x x x
π πω ω ω= + +
3 3sin cos 3sin2 2 3x x x
πω ω ω = + = +
[ ]0,x π∈ ,3 3 3x
π π πω πω + ∈ +
( )f x [ ]0,π
3 43
ππ πω π≤ + < 8 11 3 3 ω≤ 1t ≠ ( ) ( )1 lng t t t= − ( ) ( ) 1 1ln 1 ln 1g t t t tt t
′ = − + − ⋅ = − + −
( ) 2 2
1 1 1 0tg t t t t
+′′ = − − = − < ( )g t′ 1t = ( )1 0g′ = ( )0,1t ∈ ( ) 0g t′ >
( )1,t ∈ +∞ ( ) 0g t′ < ( )g t 1t = ( )1 0g = 1 0m < 0m < ( ),0−∞ ( )sin sin sinB C A C− = − ( ) ( )sin sin sinA C C A C⇒ + − = − 2cos sin sinA C C⇒ = sin 0C > 1cos 2A =
3A
π=
3 tan tancos
c A Ba B
= +
3sin sin sin
sin cos cos cos
C A B
A B A B
⇒ = +
( )sin3sin sin
sin cos cos cos cos cos
A BC C
A B A B A B
+⇒ = =
sin 0C > 3 1 tan 3sin cos AA A
= ⇒ =
3A
π=
2 cos cos cosa A b C c B= +
2sin cos sin cos sin cosA A B C C B⇒ = +
∵ ，∴ ，∴
由余弦定理可知
当且仅当 时等号成立
综上
18．（12 分）解：（1）当 时， ，则 ，
则 ，当 时，
当 时， 适合上式，则 ，
（2）由（1）可知，
则
两式相减得 ，
∴
19．（12 分）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．
解：（Ⅰ）连接 交 于点 ，连接 ，则 为 中点， 为 的中点，所以 ，
( )2sin cos sin sinA A B C A⇒ = + =
sin 0A > 1cos 2A =
3A
π=
2 2 22 cosb c bc A a+ − =
( )22 2 4 3 4b c bc b c bc⇒ + − = ⇒ + − =
( ) 2
2 4 3 3 2
b cb c bc
+ ⇒ + − = ≤
( )2
4 44
b c b c
+⇒ ≤ ⇒ + ≤
b c=
( )max 4b c+ =
1n = 1 1 2a a+ = 1 1a =
2
nS n= 2n ≥ 1 2 1n n na S S n−= − = −
1n = 1 1a = 2 1na n= −
( )2 1 2n
nb n= −
( )21 2 3 2 2 1 2n
nT n= ⋅ + ⋅ + + −
( )2 3 12 1 2 3 2 2 1 2n
nT n += ⋅ + ⋅ + + −
( ) ( )2 12 2 2 2 2 1 2n n
nT n +− = + + + − −
( ) 12 3 2 6n
nT n += − +
1
4
BD AC O OE O BD E PD PB OE
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（Ⅱ）设菱形 的边长为 ，
，
，则 ．
取 中点 ，连接 ．
以点 为原点，以 方向为 轴，以 方向为 轴，
以 方向为 轴，建立如图所示坐标系．
， ， ，
， ，
OE ⊂ ACE PB ⊄ ACE
PB AEC
ABCD a
2 32 4 3P ABCD P ACD E ACDV V V− − −= = =
21 1 3 2 32 13 3 4 3P ABCD ABCDV S PA a−
= ⋅ = × × × = 2a =
BC M AM
A AM x AD y
AP z
( )0,2,0D ( )0,0,0A 10,1, 2E
( )3,1,0C
10,1, 2AE =
( )3,1,0AC =
设平面 的法向量为 ，
由 ， ，
得 ，令 ，则 ，
∴ ，
平面 的一个法向量为
，即二面角 的余弦值为 ．
20．（12 分）解：（1）由于 为奇函数，且定义域为 ，
∴ ，即 ，
经检验， 符合题意；
∵ ，
∴
∵ 是偶函数，
∴ ，得 恒成立，故
综上所述，可得
（2）∵ ，
∴
又∵ ，在区间 上是增函数且
∵ 在区间 上是增函数，
∴
ACE ( )1 , ,n x y z=
1n AE⊥
1n AC⊥
1 02
3 0
y z
x y
+ =
+ =
3x = 3y = − 6z =
( )1 3, 3,6n = −
ADE ( )2 1,0,0n =
1 21 2
1 2
3 1cos , 43 9 36
n nn n
n n
⋅< >= = =
+ +⋅
D AE C− − 1
4
( )g x R
( )0 0g = 0
0
4 0 12
n n
+ = ⇒ = −
1n = −
( ) ( )4log 4 1xf x mx= + −
( ) ( ) ( ) ( )4 4log 4 1 log 4 1 1x xf x mx m x−− = + + = + + −
( )f x
( ) ( )f x f x− = ( )1mx m x− = − 1
2m =
1
2m n+ = −
( ) ( ) ( )4
1 log 4 12
xh x f x x= + = +
( ) ( )4 4log 2 1 log 2 2h a a+ = +
( ) ( )4log 4 1xh x = + [ )4log 3,+∞ ( ) ( )4log 3 1h x h≥ =
( ) 4 1 2 22
x
x x
xg x −−= = − [ )1,+∞
( ) ( ) ( )4min
3g log 3 1 2g h x h g= = =
由题意，得
因此实数 的取值范围是： ．
21．（12 分）解：（1）设 、 、 三点到直线 的距离分别为 、 、 ， 为 的中点，则
∵直线 与圆 相切，∴
∴
∴动点 的轨迹是以 、 为焦点，长轴长为 6 的椭圆
∴ ， ， ，
所以动点 的轨迹
（2）方法一：①当 斜率为 0 时， ， ，不妨取 ， ，
∴ ， ，则 ，
， ，则 ，∴ ．
②当 斜率不为 0 时，
设 ， 、 ，则 ．
则
由 ，同理可得
由 ，得 ，
∴ ， ，
3
22 2 4
12 2 0 32
2 1 0
a
a a
a
+ ⇒ − <
a 1 ,32
−
E O F 1l 1d d 2d O EF
1l 2 2: 9O x y+ = 3d =
1 2 2 6 4ME MF d d d+ = + = = >
M E F
2a b= 3a = 2c = 2 2 2 5b a c= − =
M
2 2
: 19 5
x yC + =
2l ( )0,0N ( )2,0F ( )3,0A − ( )3,0B
( )3,0NA = − ( )5,0AF =
1
3
5
λ = −
( )3,0NB = ( )1,0BF = −
2 3λ = − 1 2
18
5
λ λ+ = −
2l
( )2 : 2 0l ty x t= − ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 20,N t
−
( )1 1 1 1 1 1 1
1
2 2, 2 , 1NA AF x y x yt ty
λ λ λ = ⇒ + = − − ⇒ = − −
2NB BFλ=
2
2
21 ty
λ = − −
2 2
2
19 5
x ty
x y
= + + =
( )2 25 9 20 25 0t y ty+ + − =
1 2 2
20
5 9
ty y t
+ = − + 1 2 2
25
5 9y y t
= − +
∴
综上， 为定值．
方法二：设 ， ， ，
由于点 在轨迹 上，∴
整理，得
由 同理可得
∴ ， 方程关于 的方程 的两根
故 为定值．
22．（12 分）解：（Ⅰ）当 时，由题意
0
0
极小值
所以当 时，
（Ⅱ）由
当 时 ， ， ∴ 恒 成 立 ， 即 在 上 单 调 递 增 ， 所 以
恒成立，符合
1 2
1 2
1 2 1 2
2 2 2 2 20 182 2 2 25 5
y y t
ty ty t y y t
λ λ ++ = − − + = − − ⋅ = − − ⋅ = −
1 2
18
5
λ λ+ = −
( )0,N n ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
( ) ( )
1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
2
1, 2 ,
1
x
NA AF x y n x y ny
λ
λλ λ
λ
= += ⇒ − = − − ⇒
= +
A C ( ) ( )
2 2
1
2 2
1 1
4 1
9 1 5 1
nλ
λ λ
+ =
+ +
2
2
1 1
5 2 1 09 5
nλ λ+ + − =
2NB BFλ= 2
2
2 2
5 2 1 09 5
nλ λ+ + − =
1
λ 2
λ λ
2
25 2 1 09 5
nλ λ+ + − =
1 2
18
5
λ λ+ = −
1a = ( )1,x∈ − +∞
( ) 11 0 01 1
xf x xx x
′ = − = = ⇒ =+ +
x ( )1,0− ( )0,+∞
( )f x′ − +
( )f x
0x = ( ) ( )min 0 0f x f= =
( ) 1
1f x a x
′ = − +
1a ≥ ( )1 0,11 x
∈+ ( ) 1 01f x a x
′ = − >+
( )f x ( )0,+∞
( ) ( )0 0f x f> =
当 时 ， ， 当 ， ， 即 在
上单调递减，此时 ，不符合
综上：
说明：此间分离变量结合洛必达法则，酌情给分．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 时， ，
取 ， ，则 ， ， ，…，
即 ， ， ，…，
上式 个式子相乘得：
即 所以
0 1a< < ( ) ( )1 1 1 1 ax a a af x xx x a − − − ′ = = − + + 10, ax a − ∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 10, ax a − ∈ ( ) ( )0 0f x f< = 1a ≥ 1a = ( )ln 1x x> + ( )0,x∈ +∞
1x k
= k N+∈ 1 1ln 1 k k
+
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