2020-2021 学年第一学期高三年级统测试卷
数学
本试卷共 4 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将答题纸交回.
第一部分（选择题，共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 A={x||x|1}，则 A B=（ ）
A. B. C. D. {–2，2}
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得集合 ，由此求得 .
【详解】依题意 ， ，
所以 .
故选：A
【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查绝对值不等式的解法.
2. 已知向量 若 与 方向相同，则 等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题 // ，且 与 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.
【详解】因为 与 方向相同，则存在实数 使 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解之得 ，因为 ，所以 ，
所以 .
R (1,3) ( 3, 1) (1,3)− −
,A B A B
( )3,3A = − ( ) ( ), 1 1,B = −∞ − ∪ +∞
A B R=
( ) ( )1, , ,2 ,a k b k= = a b k
1 2± 2− 2
a b a b
a b λ ( 0)a bλ λ= >
( ) ( )1, , ,2a k b k= = ( ,2 )b kλ λ λ=
1
2
k
k
λ
λ
=
=
2 2k = 0λ > 0k >
2k =
故答案选：D
【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.
3. 圆 上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
求得圆 的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆心到原点的距离为 ，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.
4. 下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
对选项逐一分析函数 定义域和单调性，由此判断出正确选项.
【详解】对于 A 选项， 的定义域为 ，在定义域上没有单调性，不符合题意.
对于 B 选项， ，定义域为 ，在定义域上没有单调性，不符
合题意.
对于 C 选项， 的定义域为 ，在 上递增，不符合题意.
对于 D 选项， 的定义域为 ，在 上递减，符合题意.
故选：D
【点睛】本小题主要考查函数的定义域和单调性，属于基础题.
的
( ) ( )2 23 4 1x y− + − =
( ) ( )2 23 4 1x y− + − =
( ) ( )2 23 4 1x y− + − = ( )3,4 1
2 23 4 5+ =
5 1 6+ =
1y x
= − tan( )y x= − xy e−= − 2, 0
2, 0
x xy x x
− + ≤= − − >
1y x
= − { }| 0x x ≠
( )tan tany x x= − = − | ,2x x k k Z
ππ ≠ + ∈
1x
xy e e
−= − = − R R
2, 0
2, 0
x xy x x
− + ≤= − − > R R
5. 若 为第三象限角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用 为第三象限角，求 所在象限，再判断每个选项的正误.
【详解】因为 为第三象限角，所以 ，
可得 ，
所以 是第第一，二象限角，
所以 ， 不确定，
故选：C
【点睛】本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.
6. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上的一点，过 作 轴于 ，若 ，
则线段 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 求得 的横坐标，由此求得 的纵坐标，从而求得 的长.
【详解】抛物线的准线方程为 ，由于 ，
根据抛物线的定义可知 ，
将 代入抛物线方程得 ，
所以 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.
7. 已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
α
cos2 0α > cos2 0α < sin 2 0α > sin 2 0α < α 2α α 32 22k k ππ π α π+ < < + ( )k Z∈ 2 4 2 3 4k kπ π α π π+ < < + ( )k Z∈ 2α sin 2 0α > cos2α
2 4y x= F l P P PQ x⊥ Q 3PF =
PQ
2 2 2 2 3 2
3PF = P P PQ
1x = − 3PF =
2Px =
2Px = 2 8, 2 2Py y= = ±
2 2PQ =
( ) 21 logf x x x= − + + ( ) 0f x < ( )0,2 ( ) ( ),1 2,−∞ ∪ +∞ ( )1,2 ( ) ( )0,1 2,∪ +∞
【答案】D
【解析】
【分析】
由 ，可得出 ，作出函数 与函数 的图象，数形结合可求得不等式
的解集.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
由 可得 ，作出函数 与函数 的图象如下图所示：
由于 ，则函数 与函数 图象的两个交点坐标为 、 ，
由图象可知，不等式 的解集为 .
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数图象求解函数不等式，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
8. 已知直线 ， ，平面 ， ， ， ， ，那么“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.
【详解】若 ，则在平面 内必定存在一条直线 有 ，
因为 ，所以 ，若 ，则 ，
( ) 0f x < 2log 1x x< − 2logy x= 1y x= − ( ) 0f x < ( ) 21 logf x x x= − + + ( )0, ∞+ ( ) ( )1 2 0f f= = ( ) 0f x < 2log 1x x< − 2logy x= 1y x= − ( ) ( )1 2 0f f= = 2logy x= 1y x= − ( )1,0 ( )2,1 2log 1x x< − ( ) ( )0,1 2,∪ +∞ a b α β bα β = / /a α a b⊥ a β⊥ α β⊥ / /a α α a′ / /a a′ a b⊥ a b′ ⊥ a β⊥ a β′ ⊥
又 ，即可得 ，反之，若 ，
由 ， ， 可得 ，又 ，则有 .
所以“ ”是“ ”的充分必要条件.
故选：C
【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属于中档题.
9. 在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ，设直线 与 轴正半轴所成
的最小正角为 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求得 点的坐标，然后根据三角函数的定义求得 .
【详解】将点 绕原点 逆时针旋转 到点 ，
根据三角函数的定义可知 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，属于基础题.
10. 某企业生产 两种型号的产品，每年的产量分别为 万支和 万支，为了扩大再生产，决定对两
种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的 两种产品的年产量的增长率分别为 和 ，那么
至少经过多少年后， 产品的年产量会超过 产品的年产量（取 ）（ ）
a α′ ⊂ α β⊥ α β⊥
bα β = a b′ ⊥ a α′ ⊂ a β′ ⊥ / /a a′ a β⊥
a β⊥ α β⊥
xOy (2,1)A O 90° B OB x
α sinα
2 5
5
− 5
5
− 5
5
2 5
5
B sinα
(2,1)A O 90° ( )1,2B −
( )2 2
2 2 2 5sin 551 2
α = = =
− +
,A B 10 20
,A B 50% 20%
A B lg 2 0.3010=
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
【答案】C
【解析】
【分析】
直接计算出若干年后 产品的产量，由此确定正确选项.
【详解】 年后， 产品产量为 万支； 产品产量为 万支.
年后， 产品产量为 万支； 产品产量为 万支.
年后， 产品产量为 万支； 产品产量为 万支.
年后， 产品产量为 万支； 产品产量为 万支.
所以经过 年后 产品的年产量会超过 产品的年产量.
故选：C
【点睛】本小题主要考查指数增长模型，属于基础题.
第二部分（非选择题，共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 已知复数 是负实数，则实数 的值为___________．
【答案】1
【解析】
【分析】
将复数写成标准式，再根据复数为负实数得到方程，解得即可；
【详解】解：因为 为负实数，所以 解得
故答案为：
【点睛】本题考查复数的类型求参数的值，属于基础题.
12. 已知正方形 的边长为 2，点 P 满足 ，则 ____．
【答案】3
【解析】
【分析】
由题得点 是 中点，求出 ，再利用 求解.
2 3 4 5
,A B
1 A ( )10 1 50% 15× + = B ( )20 1 20% 24× + =
2 A ( )15 1 50% 22.5× + = B ( )24 1 20% 28.8× + =
3 A ( )22.5 1 50% 33.75× + = B ( )28.8 1 20% 34.56× + =
4 A ( )33.75 1 50% 50.625× + = B ( )34.56 1 20% 41.472× + =
4 A B
2 2z a i a i= − − a
( )2 22 2 1z a i a i a a i= − − = − + −
2 1 0
2 0
a
a
− =
− > ,D E
ODE 4 C
4 2
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > by xa
= ± x a= D E
ED ODE 4 ab 2 22 2c a b= +
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
∴ by xa
= ±
x a= 2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > D E
D E
x a
by xa
= =
x a
y b
=
= ( , )D a b
x a
by xa
= = −
x a
y b
=
= − ( , )E a b−
∴ 2ED b=
∴ ODE
1 2 42ODES a b ab= × = =
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > >
∴ 2 22 2 2 2 2 8 4 2c a b ab= + ≥ = =
2a b= =
∴ C 4 2
4 2
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. A，B，C 三个班共有 180 名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时
长，数据如下表（单位：小时）：
A 班 12 13 13 18 20 21
B 班 11 11.5 12 13 15.5 17.5 20
C 班 11 13.5 15 16 16.5 19 21
（Ⅰ）试估计 B 班的学生人数；
（Ⅱ）从这 180 名学生中任选 1 名学生，估计这名学生一周上网时长超过 15 小时的概率;
（Ⅲ）从 A 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 C 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，求这 3 人中恰有 2
人一周上网时长超过 15 小时的概率.
【答案】（Ⅰ）63；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据分层抽样的知识估计 班的学生人数.
（Ⅱ）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
（Ⅲ）先计算出选法总数，然后根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】（Ⅰ）由题意知，抽出的 20 名学生中，来自 班的学生有 名．根据分层抽样
方法 班的学生人数估计为 人.
（Ⅱ）设从选出的 20 名学生中任选 1 人，共有 20 种选法，
设此人一周上网时长超过 15 小时为事件 D，
其中 D 包含的选法有 3+3+4=10 种，
.由此估计从 180 名学生中任选 1 名，该生一周上网时长超过 15 小时的
概率为 .
（Ⅲ）从 A 班的 6 人中随机选 2 人，有 种选法，从 C 班的 7 人中随机选 1 人，有 种选法，
故选法总数为： 种
设事件“此 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时”为 ，
则 中包含以下情况：
1
2
3
7
B
B 7
B 7180 6320
× =
10 1( ) 20 2P D∴ = =
1
2
2
6C 1
7C
2 1
6 7 15 7 105C C⋅ = × =
E
E
（1）从 A 班选出的 2 人超 15 小时，而 C 班选出的 1 人不超 15 小时，
（2）从 A 班选出的 2 人中恰有 1 人超 15 小时，而 C 班选出的 1 人超 15 小时，
所以 .
【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力.
17. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， ， ，点 ，
分别在棱 和棱 上，且 ， ， 为棱 的中点．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据 平面 ，得到 ；根据线面垂直的判定定理，得到 平面 ，进
而可证 ；
（Ⅱ）设 的中点为 ，连接 ，连接 ，根据面面平行的判定定理，先证明平面 平面
，进而可证线面平行；
（Ⅲ）以 为原点，分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，根
据题意，分别求出平面 和平面 的一个法向量，由向量夹角公式求出夹角余弦值，进而可得出结
2 1 1 1 1
3 3 3 3 4
2 1
6 7
9 36 3( ) 15 7 7
C C C C CP E C C
+ += = =×
1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC AC BC⊥ 2AC BC= = 1 3CC = D
E 1AA 1CC 1AD = 2CE = M 1 1A B
DE BC⊥
1 //C M 1DB E
1A DE B− −
6
6
−
1CC ⊥ ABC 1CC BC⊥ BC ⊥ 1 1ACC A
BC DE⊥
1A D N MN 1C N 1 //C MN
1B ED
C CA CB 1CC x y z
ADE 1DB E
果.
【详解】（Ⅰ）因为 平面 ， 平面 ，所以 ；
又 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
即 ；
（Ⅱ）设 的中点为 ，连接 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
连接 ，因为 且 ，
所以 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
又 ，且 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；
（Ⅲ）以 为原点，分别以 、 、 的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系（如
图），
可得 、 、 、 、 .由（Ⅰ）可知，
平面 ，即 平面 ，
所以 是平面 的一个法向量，
又 ， ．
1CC ⊥ ABC BC ⊂ ABC 1CC BC⊥
AC BC⊥ 1AC CC C= AC ⊂ 1 1ACC A 1CC ⊂ 1 1ACC A
BC ⊥ 1 1ACC A
DE ⊂ 1 1ACC A BC DE⊥
DE BC⊥
1A D N MN 1//MN B D
MN ⊄ 1B ED 1B D ⊂ 1B ED
//MN 1B ED
1C N 1 //C E ND 1C E ND=
1C NDE
1 //C N DE
1C N ⊄ 1B ED DE ⊂ 1B ED
1 //C N 1B ED
1C N MN N∩ = 1C N ⊂ 1C MN MN ⊂ 1C MN
1 //C MN 1B ED
1C M ⊂ 1C MN
1 //C M 1DB E
C CA CB 1CC x y z
( )0,0,0C ( )0,2,0B ( )1 0,2,3B ( )2,0,1D ( )0,0,2E
BC ⊥ 1 1ACC A BC ⊥ ADE
( )0,2,0CB = ADE
( )1 0,2,1EB = ( )2,0, 1ED = −
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，
不妨设 ，可得 ．
，
因为二面角 平面角是钝角，
所以，二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查证明线线垂直，证明线面平行，以及求二面角的余弦值，熟记线面垂直、线面平行
的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.
18. 设 是公比不为 1 的等比数列， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）求 的公比；
（2）求数列 的前 项和．
条件①： 为 ， 的等差中项；条件②：设数列 的前 项和为 ， .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】条件性选择见解析，（1）-2；（2）
【解析】
【分析】
的
( ), ,n x y z=
1DB E
1 0
0
n EB
n ED
⋅ =
⋅ =
2 0
2 0
y z
x z
+ =
− =
1x = ( )1, 1,2n = −
2 6cos , 62 6CB n
CB nCB n
⋅ −< >= = = −
×⋅
1A DE B− −
1A DE B− − 6
6
−
{ }na 3 4a =
{ }na
{2 }nn a+ n
1a 2a 3a { }na n nS 3 1 2S S− =
1 ( 2)( 1) 3
n
n n
− −+ +
（1）选①，化简 即得解；选② ，化简 即得解；
（2）利用分组求和解答即可得解.
【详解】解：选① （1）因为 为 的等差中项，
所以
所以 ，
因为
所以
所以 ， （舍）
选② （1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以
（2）由题得等比数列 的首项 ，
所以 ，
设数列 的前 项和为 ，
因为数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ,
.
【点睛】本题主要考查等比数列基本量和通项的求法，考查等差等比数列求和，考查数列分组求和，意在
考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19. 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 B=60°.
（Ⅰ）若 ， ，求 面积；
（Ⅱ）若 ，求角 C.
的
1 2 32a a a= + 3 1 2S S− =
1a 2 3a a、
1 2 32a a a= +
2
1 1 12a a q a q= +
1 0a ≠
22 q q= +
2q = − 1q =
3 1 2S S− = 1 2 3 1 2 3 2a a a a a a+ + − = + =
3 4a = 2 2a = − 3
2
2aq a
= = −
{ }na 3
1 2
4 14
aa q
= = =
1( 2)n
na −= −
{2 }nn a+ n nS
{2 }n 2 2
(2 2 ) 1(1 ( 2) )
2 1 ( 2)
n
n
n nS
+ − −= + − −
1 ( 2)( 1) 3
n
n n
− −= + +
ABC
sin 2sinA C= 3b = ABC∆
2sin sin 2C A− =
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理化角为边可得 ，再利用余弦定理即可求出 的值，利用面积公式即可求面积；
（Ⅱ）由题意知 ，将 中的 用 替换，再整理化简即可求角 C.
【详解】（Ⅰ）在 中，因为 ，所以 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
所以 的面积为 ；
（Ⅱ）在 中，因为 ，
，
，
，
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查了三角形面积公式，两角差的正弦公式、
辅助角公式等，属于中档题.
20. 已知椭圆 C： 过点 ，点 B 为其上顶点，且直线 AB 斜率为 .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设 P 为第四象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求四
边形 的面积.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题中所给的条件，求得 ，从而得到椭圆的方程；
3
2
105C = °
2a c= ,a c
120A C+ = 2sin sin 2C A− = A 120 C−
ABC sin sin
a c
A C
= sinsin 2sina CA Cc
= = 2a c=
2 2 2 22 cos60 3 3b a c ac c= + − ⋅ ° = = 1, 2,c a= =
ABC
1 1 3 3sin 2 12 2 2 2S ac B= = × × × =
ABC 120A C+ =
sin sin sin sin(120 )C A C C− = − −
3 1 1 3 2sin cos sin sin cos sin( 60 )2 2 2 2 2C C C C C C= − − = − = − =
0 120 , 60 60 60C C< < ∴− < − > ( )2,0A − 3
2
C PA y M PB x N
ABNM
2 2
14 3
x y+ = 2 3
2, 3a b= =
（Ⅱ）根据题意，设出点 ，根据点在椭圆上，得到 ，分别写出直
线的方程，求得 M、N 的坐标，表示出四边形的面积，求得结果.
【详解】（Ⅰ）由题意: 设直线 ： ，
令 ，则 ，于是 ，.
所以 ，
椭圆方程为 .
（Ⅱ）设 ，且 ，
又 ，所以直线 ，
令 ，
则 ，
直线 ，令 ，
则 ，
所以四边形 的面积为
，
所以四边形 面积为 .
【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，直线的方程，直线与坐
标轴的交点，四边形的面积，属于中档题目.
的
0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y> < 2 2 0 03 4 12x y+ = AB 30 ( 2)2y x− = + 0x = 3y = (0, 3)B 2, 3a b= = 2 2 14 3 x y+ = 0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y> < 2 2 0 03 4 12x y+ = ( 2,0), (0, 3)A B− 0 0 0 2: 0 2 y xAP y x − +=− + 0 0 20, 2M yx y x = = + 0 0 0 0 0 2 3 2 3 23 3 2 2M y x yBM y x x + −= − = − =+ + 00 3 0: 03 y xBP xy − −= −− 0 0 30, 3N xy x y −= = − 0 0 0 0 0 3 2 2 3 32 2 3 3N x y xAN x y y − − −= + = + = − − ABNM 1 2 A BS N M= ⋅ 0 0 0 0 0 0 3 2 3 2 2 2 3 31 2 2 3 x y y x x y + − − −= × ×+ − 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 4 12 4 3 12 8 3 2( 3 2 2 3) x y x y x y x y x y − − − + − += − + − 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3( 3 2 2 3) 2 3 2( 3 2 2 3) x y x y x y x y − + −= = − + − ABNM 2 3
21. 已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）当 ， 时，求函数 的最大值；
（Ⅲ）当 ， 时，判断函数 的零点个数，并说明理由.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）有2 个零点，理由见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据切点和斜率求得切线方程.
（Ⅱ）当 ， 时，利用 二阶导数，来求得 的最大值.
（Ⅲ）判断出 在 上的单调性，结合零点存在性定理判断出 在 上有 个零点.根据
的奇偶性判断出 在区间 上有 个零点.由此判断出当 ， 时，函数
的零点个数.
【详解】（Ⅰ）当 时，函数 ，
，
切线的斜率 ，
曲线 在原点处的切线方程为 .
（Ⅱ） ，
令 ，
则 ，
当 ， 时， ，所以 在 上单调递.
所以 ，即 ，仅在 处 ，其余各处 ，
所以 在 上单调递增，
的
( )( ) 2 cos sinf x a x x x= − −
=0a ( )f x (0, (0))f
4a > π[0, ]2x ∈ ( )f x
1 2a< < π π[ , ]2 2x∈ − ( )f x 2y = 2 π− 4a > π[0, ]2x ∈ ( )f x ( )f x
( )f x [0, ]2
π ( )f x [0, ]2
π
1
( )f x ( )f x [ ,0]2
π− 1 1 2a< < π π[ , ]2 2x∈ − ( )f x 0a = ( ) 2cos sinf x x x x= − (0) 2f = ( ) 2sin sin cos 3sin cosf x x x x x x x x′ = − − − = − − ∴ (0) 0k f ′= = ∴ ( )y f x= 2y = ( ) (2 )( sin ) sin cos ( 3)sin cosf x a x x x x a x x x′ = − − − − = − − ( ) ( 3)sin cosg x a x x x= − − ( ) ( 3)cos cos sin ( 4)cos sing x a x x x x a x x x′ = − − + = − + 4a > π[0, ]2x ∈ ( ) 0g x′ > ( )g x [0, ]2
π
( ) (0) 0g x g≥ = ( ) 0f x′ ≥ 0x = ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ >
( )f x [0, ]2
π
所以当 时， 的最大值为 .
（Ⅲ） ，
因为 ，当 时， ，仅在 处 ，其余各处 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，
所以存在唯一 ，使得 ，
即 在 上有且只有一个零点，
因为 ，
所以 是偶函数，其图像关于 轴对称，
所以在 上有且只有一个零点，
所以 在 上有 2 个零点.
【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程、最值，考查利用导数研究函数的零点.
2x
π= ( )f x ( )2 2f
π π= −
( ) ( 3)sin cosf x a x x x′ = − −
1 2a< < π[0, ]2x ∈ ( ) 0f x′ ≤ 0x = ( ) 0f x′ = ( ) 0f x′ < ( )f x [0, ]2 π (0) 2 0, ( ) 02 2f a f π π= − > = − < 0 [0, ]2x π∈ 0( ) 0f x = ( )f x [0, ]2 π ( ) (2 )cos( ) sin( ) (2 ) sin ( )f x a x x x a x x f x− = − − + − = − − = ( )f x y [ ,0]2 π− ( )f x [ , ]2 2 π π−
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