2020-2021学年高一数学上学期高频考点专题04 基本不等式

2020-2021 学年高一数学上学期高频考点专题 04 基本不等式 专题 04 基本不等式 基本不等式 1．均值定理：如果 ， （ 表示正实数），那么 ，当且仅当 时，有 等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式． 2．均值不等式推广： ，其中 需要前提条件 ． 叫做 ， 的算术平均值， 叫做 ， 的几何平均值， 叫做平方平均值． 3．可以认为基本元素为 ， ， ；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最 值． 考点 1：常规基本不等式问题 例 1.（1）已知 ，则 的最小值为 　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解： ， 当且仅当 即 时取等号， 故选： ． （2）已知 ，则 取最大值时 的值为 　　 A． B． C． D． 【解答】解： ， 则 ， a b +∈R +R 2 a b ab + ≥ a b= 2 2 2 2 a b a bab + +≤ ≤ 2 a bab +≤ ,a b +∈ R 2 a b+ a b ab a b 2 2 2 a b+ ab a b+ 2 2a b+ 0x > 18 2x x + ( ) 0x > 1 18 2 8 42 2x xx x ∴ + = 18 2x x = 1 4x = C 30 5x< < (3 5 )x x− x ( ) 3 10 9 10 9 5 1 2 30 5x< −+ x a= y b 2 3a b+ ( ) 1x >− 1 0x∴ + > 9 94 1 51 1y x xx x ∴ = − + = + + −+ + 92 1 51x x + −+ 1= 91 1x x + = + 2x = y∴ 1b= 2x a= = 2 3 7a b∴ + = B 1x y+ = 0y > 0x ≠ 1 | | 2 | | 1 x x y + + ( ) 1 2 1 4 3 4 5 4 1x y+ = 0y > 1 0y x= − > 1x< 0x ≠ 0 1x< < 1 | | 1 2 | | 1 2 1 x x x y x y + = ++ + 1 2 2 2 4 2 x x x x x x x x + −= + = +− − 1 2 1 1 5( ) 24 4 2 4 2 4 x x x x −= + + + × =−  2 4 2 x x x x − = − 2 3x =②当 时， ， ， 当且仅当 即 时取等号． 综上可得，最小值 故选： ． （2）已知 ， ，则下列不等式中不成立的是 　　 A． B． C． D． 【解答】解： ， ； ，当 时取“ ”； ，当 时取“ ”； ，当 时取“ ”； 该不等式成立； ，当 时取“ ”； ，当 时取“ ”； ，当 时取“ ”； 该不等式成立； ． ，当 时取“ ”； ，当 时取“ ”； 该不等式成立； ，当 时取“ ”； ； ，当 时取“ ”； 0x < 1 | | 1( )2 | | 1 2 1 x x x y x y + = − ++ + 1 2 1 2 1 3( ) ( ) 12 2 4 2 4 4 2 4 4 x x x x x x x x x x x x − + − − −= − + = + = − + + − + =− − − − −  2 4 2 x x x x − −=− − 2x=− 3 4 C a (0, )b ∈ +∞ ( ) 1 2 2a b ab + +  1 1( )( ) 4a b a b + +  2 2 2a b ab ab +  2ab aba b >+ a (0, )b ∈ +∞ . 2Aa b ab∴ +  a b= = 12 2 2ab ab +  1 2ab = = ∴ 1 12 2 2a b ab ab ab + + +  2 2a b= = = ∴ . 2Ba b ab+  a b= = 1 1 2 a b ab +  a b= = ∴ 1 1( )( ) 4a b a b + +  a b= = ∴ C 2 2 2a b ab+  a b= = ∴ 2 2 2 2a b ab ab ab ab + = a b= = ∴ . 2Da b ab+  a b= = ∴ 1 1 2a b ab+  ∴ 2ab aba b+  a b= =该不等式不成立． 故选： ． 考点 3：基本不等式常见变形 例 3.已知 ，且 ，则 取得最小值时， 等于 　　 A． B． C． D． 【解答】解： （当且仅当 即 取得最小值时，满足 故选： ． 例 4.（1）已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是 　　 A．9 B．10 C．11 D．12 【解答】解： 正数 ， 满足 ， ， ， ， 当且仅当 时取等号， 的最小值为 9． 故选： ． （2）已知 ， ，且 ，则 最大值是　　． 【解答】解： ， ∴ D 0b a< < 1ab = 2 2a b a b + − a b+ ( ) 10− 6− 3− 2− 1ab = ∴ 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2 2( )a b a b ab a b a ba b a b a b a b + − + − += = = − +− − − − 0b a< 2 24 2 6x y x y+ + + = 2x y+  2 2 2 (2 )4 2 x yx y ++ ， 令 ，上式化为 ，解得 ． 的最大值即 最大值是 ． 故答案为： ． （3）若实数 ， 满足 ，则 的最大值是 　　 A．6 B．4 C． D． 【解答】解： 实数 ， 满足 ，即 ． 再由 ，可得 ， 解得 ， ，故 的最大值为 ， 故选： ． 例 5.（1）已知 ， ， ，则 的最小值是 　　 A．4 B． C．5 D．9 【解答】解： ， ， ， ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号， 故选： ． （2）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是 　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解： 正数 ， 满足 ， ， 2 2 2 (2 )6 4 2 22 x yx y x y x y +∴ = + + + + + 2 0x y t+ = > 2 2 12 0t t+ −  0 13 1t< − t∴ 2x y+ 13 1− 13 1− x y 2 2 1x y xy+ + = x y+ ( ) 2 3 3 2 3  x y 2 2 1x y xy+ + = 2( ) 1x y xy+ = + 2( )2 x yxy +  2 2( ) 1 1 ( )2 x yx y xy ++ = + + 2 4( ) 3x y+  2 3 2 3 3 3x y∴− +  x y+ 2 3 3 C 0a > 0b > 4 2a b+ = 1 1 a b + ( ) 9 2 0a > 0b > 4 2a b+ = ∴ 1 1 1 1 1( )(4 )2 a ba b a b + = + + 1 4(5 )2 b a a b = + + 1 4 9(5 2 )2 2 b a a b + = 4b a a b = 1 3a = 2 3b = B x y 3 5x y xy+ = 4 3x y+ ( )  x y 3 5x y xy+ = ∴ 3 3 1 15 5 5 x y xy y x + = + =当且仅当 即 且 时取等号， 的最小值是 5 故选： ． 例 6.（1）设 ， ，且 ，求 的最大值． 【解答】解： ， ，且 ， 当且仅当 即 且 时取等号， 的最大值为 （2）设 ，则 的最小值是 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解： 当且仅当 取等号 即 取等号． 的最小值为 4 3 14 3 (4 3 )( )5 5x y x y y x ∴ + = + + 13 12 3 13 12 32 55 5 5 5 5 5 x y x y y x y x = + + + = 12 3 5 5 x y y x = 1 2x = 1y = 4 3x y∴ + D 0x > 0y > 2 2 12 yx + = 21x y+ 0x > 0y > 2 2 12 yx + = 2 221 2 12x y x y∴ + = +  2 2 2( 2 ) ( 1 )2 2 2 x y+ +  2 22 2 1 2 2 x y+ +=  2 2 1 3 2 2 2 4 += = 22 1x y= + 3 2x = 2 2y = 21x y∴ + 3 2 4 0a b> > 2 1 1 ( )a ab a a b + + − ( ) 2 1 1 1 1( ) 4( ) ( )a ab a a bab a a b ab a a b + + = + + − +− −  1 1( ) ( ) ab ab a a b a a b  =  − = − 2 2 2 a b  = = ∴ 2 1 1 ( )a ab a a b + + −故选： ． 例 7.设正实数 ， ， 满足 ．则当 取得最大值时， 的最 大值为 　　 A．0 B．1 C． D．3 【解答】解： ， ，又 ， ， 均为正实数， （当且仅当 时取“ ” ， ，此时， ． ， ，当且仅当 时取得“ ”，满足题意． 的最大值为 1． 故选： ． 例 8.（1）函数 的最小值为 　　 A．2 B．3 C． D．2.5 【解答】解：令 ，则 在 ， 上单调递增， ，即 ，函数 的最小值为 2.5， 故选： ． （2）已知 ，则函数 的最小值为　　． 【解答】解： ， ， ． ． D x y z 2 23 4 0x xy y z− + − = xy z 2 1 2 x y z + − ( ) 9 4 2 23 4 0x xy y z− + − = 2 23 4z x xy y∴ = − + x y z ∴ 2 2 1 1 143 4 43 2 3 xy xy x yz x xy y x y y x y x = = =− + + − × − 2x y= = ) ∴ ( ) 1max xy z = 2x y= 2 2 2 2 23 4 (2 ) 3 2 4 2z x xy y y y y y y∴ = − + = − × × + = ∴ 2 2 2 1 2 1 1 1 1( 1) 1 1x y z y y y y + − = + − = − − +  1y = = ∴ 2 1 2 x y z + − B 2 2 5( ) ( ) 4 xf x x R x += ∈ + ( ) 2 2 2 4( 2)t x t= +  1y t t = + [2 )+∞ 2t∴ = 0x = 2 2 5( ) ( ) 4 xf x x R x += ∈ + D 1 2x > 2 1 2 1 x xy x + += − 1 2x > 2 1 0x∴ − > 2 2 1 7(2 1) (2 1)1 1 74 4 (2 1) 12 1 2 1 4 4(2 1) x xx xy xx x x − + − ++ +∴ = = = − + +− − − 1 7 72 (2 1) 1 14 4(2 1) 2x x − + = +−当且仅当 ，即 时取得最小值． 故答案为： ． （3）函数 的最大值为　　． 【解答】解：设 ， 则 ， ． ， 当且仅当 时取最值． ． ． 即原函数的最大值为 ． 故答案为 ． 课后作业： 1．若 ， ， ，则 的最小值为 　　 A． B．4 C． D．3 【解答】解：因为 ， ， ， 则 ， 当且仅当 且 ，即 ， 时取等号． 故选： ． 2．已知 ， ， ，则 的最大值是 　　 1 7(2 1)4 4(2 1)x x − = − 1 7 2x += 7 12 + 2 2 5 xy x += + 2t x= + 2 2x t= − ( 0)t > 2 2 1 12 5 2 1 2 x ty x t t t += = =+ + +  1 12 2 2 2 2t tt t + × = 2 2t = ∴ 2 1 1 2 1 42 22t t = +  ∴ 2 4y 2 4 2 4 0a > 0b > 1 1 2a b + = 4a b+ ( ) 9 2 7 2 0a > 0b > 1 1 2a b + = 1 1 1 1 4 1 94 ( 4 )( ) ( 5) (4 5)2 2 2 2 b aa b a b a b a b + = + + × = + + + = 4b a a b = 1 1 2a b + = 3 2a = 3 4b = A m n R∈ 2 2 100m n+ = mn ( )A．100 B．50 C．20 D．10 【解答】解：由 ，可得： ，解得 ，当且仅当 时 取等号． 则 的最大值是 50． 故选： ． 3．实数 ， ， ，且满足 ，则 的最小值是 　　 A．1 B． C．2 D．3 【解答】解：实数 ， ， ，且满足 ， ， 化为： ， ， ， ． 解得 ，当且仅当 时取等号． 的最小值是 2． 故选： ． 4．若 ，则 的最大值为 　　 A． B． C． D． 【解答】解：令 ，则 ， ， 原式 ， 当且仅当 即 时等号成立， 故选： ． 5．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是　　． 【解答】解：令 则 ， ， ， 2 2 100m n+ = 100 2mn 50mn 5 2m n= = ± mn B x y 1x > − 3xy y x+ = − + x y+ ( ) 2 x y 1x > − 3xy y x+ = − + 2( )3 ( ) 4 x yx y xy +∴ − + =  ( 6)( 2) 0x y x y+ + + −  1x > − 3 01 xy x −∴ = >+ 46 1 4 81x y x x ∴ + + = + + ++  2x y+  1x y= = x y∴ + C 1x > 2 1 1 x x x − + − ( ) 1 6 1 4 1 5 1 3 1t x= − 1x t= + 0t > 2 2 1 1 1 1( 1) ( 1) 1 3 1 513 2 3 t t t t t t t tt t = = = =+ + + − + + + + +  1t = 2x = C x y 2 24 6 2x y xy+ + = 2x y+ 2x y t+ = 2x t y= − 2 24 6 2x y xy+ + = 2 2( 2 ) 4 6( 2 ) 2t y y t y y∴ − + + − =整理可得 ， △ ， 解可得， 或 （舍 ， 故 的最小值 ． 故答案为： ． 2 24 2 2 0y ty t− + − = ∴ 2 24 16(2 ) 0t t= − −  2 10 5t 2 10 5t − ) 2x y+ 2 10 5 2 10 5