2020-2021学年高一数学上学期高频考点专题01 集合

2020-2021 学年高一数学上学期高频考点专题 01 集合 集合 模块一：集合与元素 1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这 个集合的元素．集合一般用英文大写字母 表示．元素一般用英文小写字母 表示； 不含任何元素的集合叫做空集，记作 ． 2．元素与集合的关系： 、 ； 3．常见的数集的写法： 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 或 4．元素的性质：确定性、互异性、无序性． 5．集合的表示法 ⑴ 列举法． ⑵ 描述法（又称特征性质描述法）： 形如 ， 称为集合的特征性质， 称为集合的代表元素． 为 的范围，有 时也写为 ． ⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn）图． ⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集． 考点 1：集合与元素的关系 例 1．若一个集合中的三个元素 ， ， 是 的三边长，则此三角形一定不是 　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解答】解：根据集合的性质可知， 一定不是等腰三角形． , , ,A B C  , , ,a b c  ∅ ∈ ∉ N ∗N N+ Z Q R { | ( )}x A p x∈ ( )p x x A x { | ( ) }x p x x A∈， a b c ABC∆ ( ) a b c≠ ≠ ABC∴∆故选： ． （2）若 ， ， ，则 　　 A． B．0 C．1 D．0 或 1 【解答】解：①若 ，则 ，解得 或 ， 时， ， ， ， ， ，舍去， ； ②若 ，则 ， 无实数解； 由①②知： ． 故选： ． （3）设集合 ， ， ，若 ，则 　　 A． 或 或 2 B． 或 C． 或 2 D． 或 2 【解答】解：若 ，则 ， ， ，4， ； 若 ，则 或 ， 时， ， ， ， ； 时， （舍 ， 故选： ． 例 2.若集合 只有一个元素，则 　　 A． B．0 C．4 D．0 或 【解答】解：集合 只有一个元素， 当 时， 不成立，集合是空集，不合题意 当 时，此时集合中元素是一元二次的根，所以△ ，即 ，解得 故选： D 1 {2− ∈ 2 1a a− − 2 1}a + (a = ) 1− 2 1 1a a− − = − 2 0a a− = 0a = 1a = 1a = {2 2 1a a− − 2 1} {2a + = 1− 2} 0a∴ = 2 1 1a + = − 2 2a = − a 0a = B {2A = 1 a− 2 2}a a− + 4 A∈ (a = ) 3− 1− 3− 1− 3− 1− 1 4a− = 3a = − 2 2 14a a∴ − + = {2A∴ = 14} 2 2 4a a− + = 2a = 1a = − 2a = 1 1a− = − {2A∴ = 1− 4} 1a = − 1 2a− = ) C 2{ | 1 0}A x ax ax= + − = (a = ) 4− 4− 2{ | 1 0}A x ax ax= + − = 0a = 1 0− = 0a ≠ 0= 2 4 0a a+ = 4a = − A（2）已知集合 至多有一个元素，则 的取值范围是　　． 【解答】解： 时， 即 ， ，符合要求； 时， 至多有一个解，△ ， 综上， 的取值范围为 故答案为： 例 3. 已知集合 被 4 除余 1， ． （1）请问 53 是不是 中的元素？若是，将 中的元素按从小到大的顺序排列，它是第几 项？ （2）求 中所有元素之和． 【解答】（1）根据集合 被4除余1， ．得53被4除商13余1．所以 ， ， ，所以 是第 14 项． （2） 中的元素为 ． ． ． ． 故所有元素之和为 例 4.设 ， ， 为实数， ， 记集合 ， ， ， ．若 ， 分别为集合 ， 的元 素个数，则下列结论不可能的是 　　 A． 且 B． 且 C． 且 D． 且 【解答】解： ， ， ， ， ， ． 当 ， ， ， ；故 可能 2{ | 3 2 0}A x ax x= − + = a 0a = 2 3 2 0ax x− + = 2 3x = 2{ }3A = 0a ≠ 2 3 2 0ax x− + = 9 8 0a= −  9 8a a 9 08a a =或 9 08a a =或 { *|A x N x= ∈ 110}x A A A { *|A x N x= ∈ 110}x 53 A∈ 4 3 53n − = *n N∈ 14.53n = A 1 4 1 3= × − 5 4 2 3= × − 9 4 3 3= × − … 109 4 28 3= × − 4 (1 2 3 28) 28 3 4 29 14 84 1540× + + +…+ − × = × × − = a b c 2( ) ( )( )f x x a x bx c= + + + 2( ) ( 1)( 1)g x ax cx bx= + + + { | ( ) 0S x f x= = }x R∈ { | ( ) 0T x g x= = }x R∈ | |S | |T S T ( ) | | 1S = | | 0T = | | 1S = | | 1T = | | 2S = | | 2T = | | 2S = | | 3T = 2( ) ( )( )f x x a x bx c= + + + { | ( ) 0S x f x= = }x R∈ 2( ) ( 1)( 1)g x ax cx bx= + + + { | ( ) 0T x g x= = }x R∈ 0a = 2 4 0b c− < | | 1S = | | 0T = A当 ， ， ， ；故 可能 当 ， ， ， ； 当 ， ， ， ；故 可能 当 ， ， ， ； 当 ， ， ， ； 综上，只有 不可能发生， 故选： ． 模块二：集合间关系与运算 1．子集：如果集合 中的任意一个元素都是集合 的元素，则 是 的子集，记作 或 ； 规定： 是任意集合的子集． 如果集合 中存在着不是集合 中的元素，那么集合 不包含于 ，记作 或 ． 2．真子集：如果集合 ，且存在 ，但 ，我们称集合 是集合 的真子集， 记作 （或 ），读作 真包含于 （ 真包含 ）． 规定： 是任意非空集合的真子集． 3．集合相等：如果 ，且 ，我们说集合 与集合 相等，记作 = ． 4．交集： ； 5．并集： ； 6．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用 表示． ②补集： 在 中的补集的数学表达式是 ． 7． ． A B A B A B⊆ B A⊇ ∅ A B A B A B B A A B⊆ x B∈ x A∉ A B A  B B  A A B B A ∅ A B⊆ B A⊆ A B A B { }|A B x x A x B= ∈ ∈ 且 { }|A B x x A x B= ∈ ∈ 或 U A U { }|U A x x U x A= ∈ ∉，且 A B A B A A B B⊆ ⇔ = ⇔ =  0a ≠ 2 4 0b c− < | | 1S = | | 1T = B 0a = 2 4 0b c− = | | 2S = | | 1T = 0a ≠ 2 4 0b c− = | | 2S = | | 2T = C 0a = 2 4 0b c− > | | 3S = | | 2T = 0a ≠ 2 4 0b c− > | | 3S = | | 3T = D D考点 2：集合相等 例 5.（1）含有三个实数的集合可表示为 ，也可表示为 ， ， ，求 的值． 【解答】解：由 ，可得 ， （否则不满足集合中元素的互异性）． 因为含有三个实数的集合可表示为 ，也可表示为 ， ， ， 所以 或 解得 或 经检验 ， 满足题意． 所有 ． （2）已知集合 ， ， ， ，若 ，则 　　 A．1 B．2 C． D． 【解答】解： ， ， ， ， 若 ，则 1，2 是方程 得两根， 则 ，即 ． 故选： ． （3）已知 ， ， ， ， ， ，若 ，则实数 的值为　　． 【解答】解： ； 时， ， ，1， ， ，1， ，满足 ； 时， ， ， ， ， ， ， ，不满 ； ． 故答案为：1． , ,1ba a     2{a a b+ 0} 2016 2017a b+ , ,1ba a     0a ≠ 1a ≠ , ,1ba a     2{a a b+ 0} 21 0 a a b a b a   = +  =   =  2 1 0 a a a b b a   =  = +   =  1 0 a b = −  = 1 0 a b =  = 1a = − 0b = 2016 2017 2016( 1) 1a b+ = − = {1A = 2} 2{ | ( 1) 0B x x a x a= − + + = }a R∈ A B= (a = ) 1− 2− {1A = 2} 2{ | ( 1) 0B x x a x a= − + + = }a R∈ A B= 2| ( 1) 0x a x a− + + = 1 2 1 1 2 a a + = +  × = 2a = B { 3M a= − 2 1a − 2 1}a + { 2N = − 4 3a − 3 1}a − M N= a M N= 3 2a∴ − = − 1a = { 2M = − 2} { 2N = − 2} M N= 2 1 2a − = − 1 2a = − 7{ 2M = − 2− 5}4 { 2N = − 5− 5}2 − M N= 1a∴ =考点 3：已知集合关系反求参 例 6.（1）若集合 ， ，且 ，求由 的可能取值 组成的集合． 【解答】解：集合 ， ，集合 中至多有一个元素， 若集合 为空集，即 时，显然满足条件 ，故 ． 若集合 非空集，即 ，此时 ， 若 ，则 ， 若 ，则 ， 故 的取值为集合为 ，0， （2）已知集合 ， ，1， ，若 ，则实数 的值为 　　 A．1 或 2 B．0 或 1 C．0 或 2 D．0 或 1 或 2 【解答】解：依题意，当 时， ，满足 ． 当 时，若 ，则 ，或者 ，若 ，则 ，得 ；若 ，则 得 ， 综上： ，1 或 ． 故选： ． （3）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 　　 A． ， B． ， C． ， D． ， 【解答】解：集合 ，解得集合 ， 若 ，则 集合应含有集合 中的所有元素， 则由数形结合可知：需 集合的端点 满足： ， 故实数 的取值范围为： 故选： ． （4）已知 ， ，若 ，则实数 的取值范围是 　　 2{ | 6 0}P x x x= + − = { | 1 0}S x mx= + = S P⊆ m { 3P = − 2} S S 0m = S P⊆ 0m = S 0m ≠ 1{ }S m = − 1 3m − = − 1 3m = 1 2m − = 1 2m = − m 1{ 2 − 1}3 2{ | }A x ax x= = {0B = 2} A B⊆ a ( ) 0a = {0}A = A B⊆ 0a ≠ A B⊆ 1 A∈ 2 A∈ 1 A∈ 21 1a × = 1a = 2 A∈ 22 2a = 2a = 0a = 2a = D 2{ | 2}A x x x= < + { | }B x x a= < A B⊆ a ( ) (−∞ 1]− (−∞ 2] [2 )+∞ [ 1− )+∞ 2{ | 2}A x x x= < + { | 1 2}A x x= − < < A B⊆ B A B a 2a a 2a C { | 1}A x x= < 2{ | 4 0}B x x x m= − −  A B m ( )A． B． C． D． 或 【解答】解：已知 ， ， 若 ， 转换成： 时， 恒成立． ， 则实数 的取值范围： ； 故选： ． （ 5 ） 已 知 集 合 ， ， 若 ， 则 的 取 值 范 围 为　　． 【解答】解：集合 ， ， 若 ，则 集合应含有集合 的所有元素， 讨论 集合： （1）当 时， ，即： ， （2）当 时，则由数形结合可知：需 集合的端点 满足： ① ，② ，③ ，三个条件同时成立． 解得： 综上由（1）（2）可得实数 的取值范围为： 即： ， 故答案为： ， （6）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范 围是　　． 【解答】解： ， ① 时 ； ② ， ， 综上所述 ； 0m 3m − 3 0m−   3m − 0m { | 1}A x x= < 2{ | 4 0}B x x x m= − −  A B 2 4 0x x m− −  ( ,1)x∈ −∞ 2( 4 ) 1 4 3minm x x− = − = − m 3m − B { | 1 3}A x x= − < < { | }B x m x m= − < < B A⊆ m { | 1 3}A x x= − < < { | }B x m x m= − < < B A⊆ A B B B = ∅ m m−  0m B ≠ ∅ B a m m− < 1 m− − 3m 0 1m<  m 1m (−∞ 1] (−∞ 1] { | 3 4}M x x= −   { | 2 1 1}N x a x a= − +  M N⊇ a M N⊇ ∴ N = ∅ 2 1 1 2a a a− > + ⇒ > N ≠ ∅ 2 1 1 2 2 1 3 1 1 2 1 4 3 a a a a a a a a − +   − − ⇒ − ⇒ −   +          1a −故答案为： ， ． （7）集合 ， ，若 ，则 的取值范围是　　． 【解答】解： ， ， 若 ， 则 ， 故答案为： ． 考点 4：集合关系、运算综合 例 7.（1）已知集合 ，则实数 的取 值范围为 　　 A． B． ， C． D． ， 【解答】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 实数 的取值范围为： ， ． 故选： ． （2）集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围为 　　 A． B． ， C． D． 【解答】解： ， ； [ 1− )+∞ 2{ | 2 3 0}A x x x= − − < { | }B x x a= > A B⊆ a 2{ | 2 3 0} { | 1 3}A x x x x x= − − < = − < A B⊆ 1a − 1a − { } { }2| 3 2 0 , | ,M x x x N x y x a M N M= − + = = − =若 a ( ) (1, )+∞ [1 )+∞ ( ,1)−∞ (−∞ 1] 2 3 2 0x x− +  ( 1)( 2) 0x x∴ − −  1 2x∴   [1M∴ = 2] 0x a−  x a∴  [N a∴ = )+∞ M N M=  M N∴ ⊆ 1a∴  ∴ a (−∞ 1] D { | 0}A x x a= + < 2{ | 2 0}B x x x= −  A B B= a ( ) ( , 2)−∞ − (−∞ 2]− (0, )+∞ (2, )+∞ { | }A x x a= < − { | 0 2}B x x=  ； ； ； ； 的取值范围为 ． 故选： ． （3）设全集为 ，集合 ， ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）已知 ，若 ，求实数 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）解二次不等式 得： 或 ， 即 或 ， 解绝对值不等式 得： ， 即 ， 所以 或 ， 所以 或 ， 故答案为： 或 ； （Ⅱ）因为 ，即 ①若 时，即 即 满足题意． ②若 时， 即 ， 若 ，则 ，即 ， 又 ， 所以 ， 综合①②可得：实数 的取值范围为： ， 故答案为： ． A B B=  B A∴ ⊆ 2a∴− > 2a∴ < − a∴ ( , 2)−∞ − A U R= { | ( 3)( 6) 0}A x x x= + −  { || 6 | 6}B x x= − < RA B { | 2 1}C x a x a= < < + C B B= a ( 3)( 6) 0x x+ −  3x − 6x { | 3A x x= − 6}x | 6 | 6x − < 0 12x< < { | 0 12}B x x= < < { | 0R B x x=  12}x { | 3RA B x x= −  12}x { | 3x x − 12}x C B B= C B⊆ C ϕ= 2 1a a + 1a C ϕ≠ 2 1a a< + 1a < C B⊆ 2 0 1 12 a a   +   0 11a  1a < 0 1a { | 2}B x x= > B A⊆ a 2 2{ | 3 4 0A x x ax a= − − > ( 0)}a > { | ( 4 )( ) 0x x a x a= − + > 0}a > { |x x a= < − 4x a> 0}a > { | 2}B x x= > B A⊆ 0 4 2a∴ <  10 2a< 实数 的取值范围是 ， ． 故答案为： ， ． 5. 设集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是　　． 【解答】解： 恒成立， ， 因为 ， ， 解得 故答案为： ． 6. 已 知 集 合 ， ， ， 3 ， ， ． （1）求 ， ， 的值； （2）若 ，且 ，求 的值． 【解答】解：（1） 集合 ， ， ． ， ， ，解得 ， ， ， ，3， ， ． ， ， ，3 是方程 的两个根， ，即 ， ． （2） ， ， ，且 ， 当 时， ，成立； ∴ a (0 1]2 (0 1]2 { | 3 2}A x x= −   { | 2 1 2 1}B x k x k= − +  A B⊇ k 2 1 2 1k k− + B∴ ≠ ∅ A B⊇ ∴ 2 1 3 2 1 2 k k − −  +   11 2k−   11 2k−   2{ | 15 0}A x x px= − + = 2{ | 0}B x x ax b= − − = {2A B = 5} {3}A B = p a b { | 2 0}C x mx= + = C B⊆ m  2{ | 15 0}A x x px= − + = 2{ | 0}B x x ax b= − − = {3}A B = 3 A∴ ∈ 3 B∈ 9 3 15 0p∴ − + = 8p = 2{ | 8 15 0} {3A x x x∴ = − + = = 5} {2A B =  5} {3}A B = 2{ | 0} {2B x x ax b∴ = − − = = 3} 2∴ 2 0x ax b− − = ∴ 2 3 2 3 a b + =  × = − 5a = 6b = − {2B = 3} { | 2 0}C x mx= + = C B⊆ ∴ C = ∅ 0m =当 时， ， ，则 或 ， 解得 或 ， 的值为 0 或 或 ． C ≠ ∅ 0m ≠ 2{ }C m = − 2 2m − = 2 3m − = 1m = − 2 3m = − m∴ 1− 2 3 −