上海2020-2021学年建平中学高三上学期期中模拟卷 数学（含答案）

第 1 页，共 5 页 上海 2020-2021 学年建平中学高三上学期期中模拟卷 数学学科 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 一.填空题（本大题共有 题，本大题满分 分，只要求直接填写结果，第 题每题填对得 分，第 题每题填对得 分，否则一律得零分.） 1.已知集合 则 2.复数 的虚部为_________。 3. 平面直角坐标系 中， 为坐标原点， ，则 ____________。 4.设变量 满足约束条件： 则 的最小值为 ______ 。 5.函数 的定义域为_______________ 6.若 展开式中含 项的系数等于含 项系数的 8 倍，则正整数 ________。 7、函数 在区间 上的零点个数为________。 8.在上海进口博览会期间，要从编号为 的 名志愿者中选 人参加某项服务工作，则选出的志愿者 的编号能组成以 为公差的等差数列的概率为_______________（结果用分数表示 9、已知函数 在 上是增函数， ，若 ，则 的取值范围是 _________; 10、已知 、 、 、 是球 表面上的点， 平面 ， ， ， ，则 球 的表面积为_____________ 11、动圆 经过点 ，并且与直线 相切，若动圆 与直线 总有公共点，则圆 的面积的取值范围是______________ 12.已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围 二．选择题（本大题共 4 小题，本大题满分 20 分，每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且仅 有一个结论是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分。） 13、已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是 （ ） 【A】 【B】 【C】 【D】 14.设 则 的值为（ ） 【A】 【B】 【C】 【D】. 15.已知向量 满足 ，若对于任意模为 的向量 ，均有 ，则向量 夹 角的取值范围是（ ） 【A】 【B】 【C】 【D】 、已知函数 在下列给出结论中： 是 的一个周期； 的图象关于直线 对称； 12 54 1 6− 4 7 12− 5 { }2 1 ,A x x }{x x c≠ 2 2 7 ( 0)a b a ca c + + + ≠+ yx, )10( + yx yx sinsin > 33 yx > ( )2019 2 2019 0 1 2 20191 2 ,x a a x a x a x− = + + + + 20191 2 2 20192 2 2 aa a+ + + 2 0 -1 1 , ,a b  1, 2a b= =  2 c 2 7a c b c⋅ + ⋅ ≤    ,a b  0, 3 π     ,3 π π     2,3 3 π π     20, 3 π     16 xx xxxf cossin cossin)( ⋅ += )1( π )(xf )2( )(xf 4 π=x第 2 页，共 5 页 在 上单调递减。 其中正确结论的个数为 （ ） 【A】 个 【B】 个 【C】 个 【D】 个 三.解答题（本大题共 5 小题，17-19 题每题 14 分，20 题每题 16 分，21 题 18 分，共 76 分） 、如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，平面 , , 求异面直线 与 所成角的大小; 求点 到平面 的距离. 、函数 在一个周期内的图像如图所示， 为图像的最高点， 为图像与 轴的交点，且 为正三角形 求 的值 若 ，且 ，求 的值 19.某海域有 A,B 两个岛屿，B 岛在 A 岛正东 4 海里处，经多年观 察 研 究发现，某种鱼群洄游的路线，是曲线 C，曾有渔船在距 A 岛，B 岛距离和 8 海里处发现鱼群，以 A,B 所在的 直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。 （1）求曲线 C 的标准方程。 （2）某日，研究人员在 A,B 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A，B 两岛 收到鱼群在 P 处反射信号的时间比为 5：3，问你能否确定 P 处的位置（P 点的坐标）。 20、（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分） 设 是以 为焦点的抛物线 ， 是以直线 与 为渐近线，以 为一个焦点的双曲线。 求双曲线 的标准方程； 若 与 在第一象限有两个公共点 和 ，求 的取值范围，并求 的最大值； 是否存在正数 ，使得此时 的重心 恰好在双曲线 的渐近线上？如果存在，求出 的值；如 果不存在，说明理由。 21、（本题满分 18 分，本题共有三个小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分，第（3）小题满 分 8 分） 对于无穷数列 ，记 ，若数列 满足：“存在 ，使得只要 ，必有 ”，则称数列 具有性质 . （1） 若数列 满足 判断数列 是否具有性质 ?是否具有性质 ？说 )3( )(xf )0,2( π− 0 1 2 3 17 P ABCD- ABCD / /BC AD AB BC^ ( )1 PB CD ( )2 D PBC 18 ( ) ( )26cos 3sin 3 02 xf x x ω ω ω= + − > A B C、 x ABC∆ ( )1 ω ( )2 ( )0 8 3 5f x = 0 10 2,3 3x  ∈ −   ( )0 1f x + 1C F 2 2 ( 0)y px p= > 2C 2 3 0x y− = 2 3 0x y+ = (0, 7) (1) 2C (2) 1C 2C A B P FA FB⋅  (3) P FAB∆ G 2C P { }na { },j iT x x a a i j= = − < { }na t T∈ m ka a t− = ( , , )m k N m k∗∈ > 1 1m ka a t+ +− = { }na ( )P t { }na 2 , 2 2 5n n na n ≤=  − ≥ ，n 3 { }na ( )2P ( )4P第 3 页，共 5 页 明理由。 （2） 求证：“ 是有限集”是“数列 具有性质 ”的必要不充分条件； （3） 已知 是各项均为正整数的数列，且 既具有性质 ，又具有性质 ，求证：存在正整 数 ，使得 是等差数列。 上海 2020-2021 学年建平中学高三上学期期中模拟卷 数学学科 参考答案 一. 填空题（本大题共有 题，本大题满分 分，只要求直接填写结果，第 题每题填 对得 分，第 题每题填对得 分，否则一律得零分.） 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共 4 小题，本大题满分 20 分）每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论，其中有且仅 有一个结论是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分 13.D 14.C 15.C 16.C 三.解答题（共有五题，满分 76 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的制定区域内） 、 上找一点 ，令 ，连接 、 ，则 由题意得， 平面 ， , 平面 ， , , 在 , , 中， ,则 为等边三角形， 即 , , 与 夹角为 . 同 理得， 中， , , 即 ， 令 为 到平面 距离 ，即为所求. 、 由题意得 ， ，则 则 19、 （1）由题意可知曲线 C 是以 A,B 为焦点且长轴长为 8 的椭圆，又 ,则 ， 所以曲 线 C 的方程为 （2）由于 A,B 两岛收到鱼群发射信号的时间比为 5：3,因此设 A,B 两岛的距离比为 5：3.即鱼群距离 A 岛，B 岛的距离为 5 海里和 3 海里。 12 54 1 6− 4 7 12− 5 T { }na ( )0P { }nb { }nb ( )2P ( )5P N 1 2, , , , ,N N N N kb b b b+ + +  (0,1) 3 2 5 8− 31, 2      5 6 1 28 1( ,10)10 9π [4 , )π +∞ ] [ )( , 6 6,−∞ − ∪ +∞ 17 ( )1 AD E 2DE = BE AC DE BC¤¤ PA ^ ABCD AB AD Ì ABCD PA AB\ ^ PA AD^ Rt PABD Rt PAED Rt EABD 2PB BE PE= = = PBED 3PBE pÐ = CD BE¤¤ PB CD 3 p ( )2 ( )1 Rt PACD 6PC = 2PB = 2BC = 2 2 2PB BC PC+ = 2PBC pÐ = 1 2 2 22S PBCD = ´ ´ = h D PBC P BCD D PBCV V- -= 1 1 11 2 23 2 3 h´ ´ ´ = 2 2h = 18 ( )1 ( ) 2cos 3sin 2 3sin 3f x x x x πω ω ω = + = +   ( ) 2 3,2 3f x  ∈ −  2 3ABCh∆∴ = 4BC = 2 2 4 2 4T π π πω = = =× ( )2 ( )0 0 8 32 3sin 4 3 5f x x π π = + =   0 4sin 4 3 5x π π + =   0 10 2,3 3x  ∈ −   0 -4 3 2 2x π π π π + ∈  ， 0 3cos 4 3 5x π π + =   ( ) ( )0 0 0+1 2 3sin +1 2 3sin +4 3 4 3 4f x x x π π π π π    = + = +         4 2 3 2 7 6=2 3 + =5 2 5 2 5  × ×    2 4c = 2c = 2 3b = 2 2 116 12 x y+ =第 4 页，共 5 页 设 , 即 P 的坐标为 或 20、 由题意可知焦点在 轴上，且 ，于是可设双曲线 的方程为 ，又 ，可得 ，即 与 联 立 消 得 ： ， 得 ， 设 ， 则 ，由方程知 ，代入 可得 ，函数得对称轴为 ，因为 ，所以 时， 得最大值为 。 由 知 得 重 心 ， 又 ， 故 ，假设 恰好在双曲线 得渐近线上，则 ，所以 ，故存在正数 ，使得此时 得重心 恰好在双曲线 的渐近线上 21、（1） ， ，但 ，数列 不具有性质 ；同 理可得。数列 具有性质 （2）先证不充分性：对于周期数列 是有限集，但是由于 ，所以不具有性质 。 再证必要性：数列 具有性质 ， 所以一定存在一组最小的且 ，满足 ， 由性质 的含义可得 所以数列 中，从第 项开始的各项呈现周期性规 律： 为一个周期中的各项， 所以数列 中最多有 个不同的项， 所以 最多有 个元素，即 是有限集。 （3） 既具有性质 ，又具有性质 存在 其中 分别是满足上述关系的最小的正整数， 由性质 ， 的含义可得，有 若 ，则取 ，可得 ； 若 ，则取 ，可得 记 ，则对于 ，有 ，显然 ， 由性质 ， 的含义可得， , 所以 所以 所以 ，又 分别是满足 的最小的正整数 所以 ， 同理 ， 取 若 是偶数，则 若 是奇数，则 所以 是公差为 1 的等差数列 ( , )P x y (2,0)B | | 3PB = 2 2( 2) 3x y∴ − + = 2 2 2 2( 2) 9, 1, 4 416 12 x yx y x− + = + = − ≤ ≤ 2, 3x y∴ = = ± (2,3) (2, 3)− (1) y 2 3 b a = 2C 2 2 2 2 1( 0, 0)y x a ba b − = > > 2 2 7a b+ = 2, 3a b= = 2 2 14 3 y x− = (2) 1C 2C y 24 6 12 0x px− + = 0∆ > 4 3 3P > ( , ) ( , )A m n B e f 2 ( , )( , ) ( ) 22 2 2 2 p p p pFA FB m n e f me m e p me⋅ = − − = − + ⋅ + +  33, 2 pme m e= + = 21 ( 2 3) 92FA FB p⋅ = − − +  2 3p = 4 3 3P > 2 3p = FA FB⋅  9 (3) (2) FAB∆ 2( , )3 3 p n fG + 22 2 3 4 3n f pm pe p p+ = + = + 23 4 32( , )3 3 p ppG + G 2C 23 4 322 3 03 3 p pp +× − × = 12 30 7p p= =或 12 3 7p = FAB∆ G 2C  2 , 2 2 5n n na n ≤=  − ≥ ，n 3 2 1 2a a− = 3 2 1 2a a− = − ≠ { }na ( )2P { }na ( )4P { }1,1,2,2,1,1,2,2, , 1,0,1T = − 2 1 0,a a− = 3 2 1a a− = ( )0P { }na ( )0P m k> 0m ka a− = ( )0P 1 1 2 2, ,m k m ka a a a+ + + += =  { }na k 1 1, , ,k k ma a a+ − { }na 1m − T 2 1mC − T  { }nb ( )2P ( )5P ∴ 2, 5,p qb b b bα α β β+ +− = − = ,p q ( )2P ( )5P 2, 5,p k k q k kb b b bα α β β+ + + + + +− = − = α β< k β α= − 2,qb bβ β+ − = α β> k α β= − 5,pb bα α+ − = { }max ,M α β= Mb 2,M p Mb b+ − = 5M q Mb b+ − = p q≠ ( )2P ( )5P 2, 5,M p k M k N q k N kb b b b+ + + + + +− = − = ( 1) ( 1) ( 2) 5M qp M M qp M q p M q p M q p M q Mb b b b b b b b p+ + + − + − + − +− = − + − + + − = 2 5M qp M Mb b q b p+ = + = + 2 5q p= ,p q 2, 5,p qb b b bα α β β+ +− = − = 5, 2,q p= = 2 2,M Mb b+ − = 5 5M Mb b+ − = 2 52, 5,M k M k N k N kb b b b+ + + + + +− = − = 2 2( 1) 5 5( 1)2 2 , 5 5M k M k M M k M k Mb b b k b b b k+ + − + + −= + = = + = + = = +  5,N M= + k ;N k Nb b k+ = + k 5 ( 5) 5 5 5 5 ;N k N k N N Nb b b k b k b k+ + + − += = + − = + + − = + 1 2, , , , ,N N N N kb b b b+ + + 第 5 页，共 5 页