汕头市金山中学 2021 届高三十月四校联考
数 学
（满分 150 分.考试时间 120 分钟.）
注事事项：
1. 答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题
卡上.并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无
效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、单选题（本题共 8 个小题，在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求，每小题 5 分，共 40 分）
1. 已知集合 ， ，则 为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量 ， ，且 ，则 等于（ ）
A. 3 B. -3 C. D.
3. 若命题“ ，使得 ”为假命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 设 ， ， ， 是非零实数，则“ ”是“ ， ， ， 成等比数列”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 5
6. 设函数 ，如果 ，则 的值是（ ）
A. -10 B. 8 C. -8 D. -7
7. 已知数列 的前 项和为 ，对任意的 有 ，且 ，则 的值为（ ）
A Z= ( ){ }2ln 9B x y x= = − A B
{ }2, 1,0− − { }2, 1,0,1,2− − { }0,1,2 { }1,0,1,2−
( )cos , 2a α= − ( )sin ,1b α= / /a b 2sin cosα α
4
5
4
5
−
0x R∃ ∈ 2
0 0 2 3 0x mx m+ + − < m [ ]2,6 [ ]6, 2− − ( )2,6 ( )6, 2− − a b c d ad bc= a b c d i z 1 21 i iz − = ++ z = 3 5 ( ) 3 23tan 2 1f x ax b x c x x= + ⋅ + ⋅ + + ( )2 10f = ( )2f − { }na n nS *n N∈ 2 2 3 3n nS a= − 1 12kS< < k
A. 2 或 4 B. 2 C. 3 或 4 D. 6
8. 已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段
的长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共 4 个小题，在每小题的四个选项中，有多个符合题目要求，每小题全部选对得 5 分，
有选错得 0 分，部分选对得 3 分，满分共 20 分）
9. 在锐角三角形 中， 、 、 是其三内角，则下列一定成立的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列指定的函数 中，一定有 的有（ ）
A. 指定的函数 是奇函数；
B. 指定的函数 满足： ，都有 ；
C. 指定的函数 满足： ，都有 且当 时， ；
D. 设 ，指定的函数 满足： 都有 .
11. 设 ，又 是一个常数.已知当 或 时， 只有一个实根；
当 时， 有三个相异实根，现给出下列命题中正确的是（ ）
A. 和 有一个相同的实根
B. 和 有一个相同的实根
C. 的任一实根大于 的任一实根
D. 的任一实根小于 的任一实根
12. 已知偶函数 对于任意的 满足 （其中 是函数
的导函数），则下列不等式中成立的有（ ）
P ( ) lnf x x= Q
2
21 1x e ye
− + + =
PQ
2 1e e
e
+ − 22 1e e
e
+ − 2 1e e
e
− − 1 1e e
+ −
ABC△ A B C
( )sin sin sinA B A B+ > + sin cosA B>
sin cosB A> sin sin 2cosA B C+ < ( )f x ( )0 0f = ( )f x ( )f x ,x y R∀ ∈ ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) f x f yf x y f x f y −− = + ( )f x ,x y R∀ ∈ ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = 0x > ( ) 1f x >
( ) ( )2lg 1h x x x= + + ( )f x ,x y R∀ ∈ ( ) ( ) ( )f x h x y h x y= + + −
( ) 3 2f x x bx cx d= + + + k 0k < 4k > ( ) 0f x k− =
0 4k< < ( ) 0f x k− = ( ) 4 0f x − = ( )' 0f x = ( ) 0f x = ( )' 0f x = ( ) 3 0f x + = ( ) 1 0f x − = ( ) 5 0f x + = ( ) 2 0f x − = ( )y f x= 0, 2x π ∈ ( ) ( )' cos sin 0f x x f x x+ > ( )'f x
( )f x
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，其中第 13 题分值分配为前 3 分、后 2 分，满分共 20 分）
13. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式是_______，
_______.
14. 已知 的内角 ， ， ， 为 所在平面上一点，且满足
， ，则 的值为_______.
15. 若函数 为 上的单调递增函数，且对任意实数 ，都有 （ 是自然对
数的底数），则 _______.
16. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且
， ，则 的面积为_______.
四、解答题：（本题共 6 小题，满分共 70 分）
17. 已知 ， ， 为坐标原点.
（1）若 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围；
（2）设 ， ，求 的面积.
18. 已知函数 ，且给定条件 ：“ ”.
（1）求 的最大值及最小值.
（2）若又给条件 ：“ ”且 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
19. 已知函数 ，其中 .
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围.
20. 如图，在 中， ， 为边 上的点， 为 上的点，且 ， ，
2 3 4f f
π π −
(0) 2 4f f
π < − 36 3f f π π ( )f x 0x [ ]0x
[ ]x x [ ]0.3 0= [ ]2.6 2= [ ]1.4 2− = −
ln 2 0.6931= ln3 1.099= ln5 1.609= ln 7 1.946=
( ){ } { }2 2ln 9 9 0B x y x x x= = − = − >
{ }3 3B x x= − < < A Z= { }2, 1,0,1,2A B = − − / /a b cos 2sinα α= − 1tan 2 α = − 2 2 2 2sin cos 2tan 42sin cos sin cos tan 1 5α α α α α αα α = = = −+ + x R∀ ∈ 2 2 3 0x mx m+ + − ≥ 0∆ ≤ ( )2 4 2 3 0m m− − ≤
所以 ，故选 A.
4. 解析： ， ， ， 是非零实数，若 ， ， ， ，且 ，则 ， ， ，
不成等比数列（可以假设 ， ， ， ） 若 ， ， ， 成等比数列，则由等比数
列的性质可知 .所以“ ”是“ ， ， ， 成等比数列”的必要而不充分条件，选 B.
5.【解】由题可得 ，则 ，
，故选 A.
6. 解： ，选 B.
7. 解： ， 则 ，解得 ， ，
所以 ，当 时， ；当 时， ；答案 A.
8.【解】依题意，圆心为 ，设 点的坐标为 ，由两点间距离公式得
，设
， ，
令 解得 ，由于 ，可知当 时， 递增， 时，
， 递减，故当 时取得极大值也是最大值为 ，故 ，故 时，
且 ，所以 ，函数单调递减.当 时， ，
，当 时， ，即 单调递增.
，即 ， 单调递增，而 ，故当 时，
函数单调递增，故函数在 处取得极小值也是最小值为 ，故 的最小值为
2 6m≤ ≤
a b c d 0a < 0d < 0b > 0c > ad bc= a b c d
2a = − 3d = − 2b = 3c = a b c d
ad bc= ad bc= a b c d
1 (2 )(1 )i i z− = + + 21 (1 )(2 ) 4 31 12 (2 )(2 ) 5 5
i i iz ii i i
− − −= − = − = − −+ + −
2 24 3 15 5z = − + − =
( )2 = 1 9 8f − − + =
2 2
3 3n nS a= − 1 1
2 2
3 3n nS a− −= − 1 1
2 2
3 3n n n n nS S a a a− −− = − =
1
2n
n
aq a −
= = − 1= 2a −
( )2 ( 2) 13
k
kS = − − − 2k = 2 2S = 4k = 4 10S =
1 ,0C e e
+ P ( ),lnx x
2
22
2
2 21 1 1(ln ) 2 lnx e x xP e x xC ee e e
= − + + = − + + + +
2
2 21 1( ) 2 lnf x x e x e xe e
= − + + + +
1 2ln ln 1'( ) 2 2 2( ) 2x xf x x e x ee x x e
= − + + = − + −
( )' 0f x = x e=
2
ln 1 ln'x x
x x
− =
( )0,x e∈ ln x
x
( ),x e∈ +∞
ln ' 0x
x
( )2 ln 1 0x x− + > 2 ln 1x x− +
2 2ln 1 0e e e− + = > ( )' ' 0f x > ( )'f x ( )' 0f e = ( ),x e∈ +∞ ( )' 0f x >
x e= ( ) 2
1 1f e e
= + PC
，此时 .故选 A.
二、多选题（本题共 4 个小题，在每小题的四个选项中，有多个符合题目要求，每小题全部选对得 5 分，
有选错得 0 分，部分选对得 3 分，满分共 20 分 ）
9. BC 10. BD 11. ABD 12. BCD
9. 解析： 所以 A 错，
所以 B 对，同理 C 对，对于 D 由于
， 所以 D 错.所以选：B、C.
10. 解答：函数 在 处可能没有意义，所以 A 错，对于 B 令 中 得 所以 B 对，
对于 C：令 ， 因为有 ，∴ 所以 C 错.
对于 D，由 所以 D 对，所以选：B、D.
11. 解析：由题意可知函数的示意图如图，则函数 的极大值为 4，极小值为 0，所以当 或
时对应的 ，则 A，B 正确.
的实根小于 的实根，所以 C 不正确；
的实根小于 的实根，所以 D 正确.
所以选 A、B、D.
12. 解析：∵偶函数 对于任意的 满足 ，∴
， ，
2
2
1 11 e
e e
++ =
2 21 11e e ePQ e e
+ + −= − =
sin( ) sin cos cos sin sin sinA B A B A B A B+ = + < + ( )90 sin sin 90 cosA B A B B+ > ° ⇒ > °− =
sin cosA C> sin cos sin sin 2cosB C A B C> ⇒ + >
( )f x 0x = ( )f x x y= ( )0 0f =
0x = ( ) ( ) ( )2 2 0 2y f f f= ⇒ = ( )2 1f > ( ) ( )2 0 0 1 0f f≠ ⇒ = ≠
( )2 2(0) ( ) ( ) lg 1 0f h y h y y y= + − = + − =
( )f x ( ) 4f a =
( ) 0f a = ( )' 0f a =
( ) 3 0f x + = ( ) 1 0f x − =
( ) 5 0f x + = ( ) 2 0f x − =
( )y f x= 0, 2x
π ∈
( ) ( )' cos sin 0f x x f x x+ >
( ) ( )
cos
f xg x x
= ( ) ( ) ( )
2
' cos sin' 0cos
f x x f x xg x x
+= >
∴ ， 是单调递增，且是偶函数，
∴ ， ，∵ ，∴ ,
即 ，（A）化简得出 ，所以（A）不正确.
（B）化简 ，得出 ，所以（B）正确.
又根据 单调性可知： ，∴ ，∴ ，
∵偶函数 ，∴即 ，所以（C）正确.
∵根据 单调性可知 ，∴ ， .
所以（D）正确.所以选：（B）（C）（D）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分共 20 分）
13. ；146 14. 15. 3 16.
13. 解：第一空： ；第二空： ，填：146.
14.【答案】由题意可知， 为 外接圆的圆心，在圆 中，延长 交 于点 ，已知等式两边
同乘以 得： ，同理得： ，从而有： .
15. 解析：设 ，则 ，则条件等价为 ，
令 ，则 ，∵函数 为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得 ，
∴ ，即 .
0, 2x
π ∈
( ) ( )
cos
f xg x x
=
3 3g g
π π − = 4 4g g
π π − = 4 3g g
π π 2 23 3 4f f f
π π π − = − 2 3 4f f
π π >
( )g x ( )04g g
π >
(0)4
12
2
f f
π > (0) 2 4f f
π < ( )y f x= (0) 2 4f f π < − ( )g x 3 6g g π π >
3 6
1 3
2 2
f f
π π > 3 3 6f f
π π >
( )
( )
6 1
6 1 2n
n
a
n n
== − ≥
9 6 5m n+ = 3 3
2
( )
( )
6 1
6 1 2n
n
a
n n
== − ≥
(17 53)46 1462
++ =
O ABC△ O AO BC D
AB 9 39 3 32 2m n m n= + ⇒ + = 3 4 2m n+ = 9 6 5m n+ =
( ) xt f x e= − ( ) xf x e t= + ( ) 1f t e= +
x t= ( ) 1tf t e t e= + = + ( )f x 1t =
( ) 1xf x e= + ( ) ln2ln 2 1 2 1 3f e= + = + =
16. 解析：因为 ，所以 ，
， ，解得 ，根据余弦定理有
， ， ，
.所以 .答案：
四、解答题：（本大题满分 70 分）
17. 解：（1）∵ ， ，∴ ， ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 与 方向相反，夹角为平角，不合题意.
∴ ，
∴若 与 的夹角为钝角， 的取值范围为 .
（注：没有除开 ，扣两分）
（2）设 ， 面积为 ，
则 ，∵ ，
∴ .∴ .
18. 解：（1）∵
.又∵ ，∴ ，即 .
∴ ， .
（2）∵ ，∴ ，
又∵ 是 的充分条件，∴ ，解得 .
2 74sin cos2 22
A B C− =+ ( ) 2 72 1 cos 2cos 1 2A B C− + − + =
2 72 2cos 2cos 1 2C C+ − + = 2 1cos cos 04C C− + = 1cos 2C =
2 21 7cos 2 2
a bC ab
+ −= = 2 2 7ab a b= + − 2 2 1 23 2 7 ( ) 7 25 7 18ab a b ab a b−= + + − = + − = − =
6ab = 1 1 3 3 3sin 62 2 2 2S ab C= = × × = 3 3
2
( )3, 2a = − ( )2,1b = ( )3 2, 2 1ma b m m+ = + − + ( )2 1, 4a b− = − −
( ) ( )2 0ma b a b+ ⋅ − ∠ = 4 3
5 2
< CDE∠ 3cos 5CDE∠ = − cos cos cos cos sin sin3 3 3DAB CDE CDE CDE π π π ∠ = ∠ − = ∠ + ∠ 3 1 4 3 4 3 3 5 2 5 2 10 −= − × + × = 1n = 1 1 1 1 1 1 2S a a a = = + { }na 1 1a = 2n ≥ 1 1 1 1 1 1 1 1 2n n n n n n n n n n S S S S S SS S S S− − − − − − = − + ⇒ + = − − 2 2 1 1n nS S −− =
知数列 是一个以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以， ，所以，正项数列
的通项公式是： 经检验值 适合.
（2）由 不能取等号.
有 ，从而有：
.
22. 解：（Ⅰ） ， .
①当 时， ，∴函数 在区间 上单调递减；
②当 时，由 ，解得 ，
当 时， ，此时函数 单调递减；当 时，
，此肘函数 单调递增.
（Ⅱ） ，其定义域为 .
，
令 ， ， ，当 时， 恒成立，∴ 在
上为增函数，又 ， ，∴函数 在 内至少存在一个变号零点
，
且 也是 的变号零点，此时 在区间 内有极值.
当 时， ，即 时， 恒成立，
∴函数 在 单调递减，此时函数 无极值.
综上可得： 在区间 内有极值时实数 的取值范围是 .
（Ⅲ）∵ 时，函数 的定义域为 由（Ⅱ）可知： 知 时， ，
∴ .又 在区间 上只有一个极小值点记为 ，
{ }2
nS 2 1 ( 1)nS n n= + − = { }na
1na n n= − − 1n =
2
2 2 21 ( 1) 2 ( ) ( 1) 4 2
1nb n n n n n
n n
= − = + − ≤ + − = − − −
4 2nb n< − 1 2 2 6 10 (4 2)n nT b b b n= + + + < + + + + − 2(2 4 2) 22 n n n + −= = 2( ) ln ( 0)g x a x xx = − > 2 2
2 2'( ) a axg x x x x
+= − − = −
0a ≥ ( )' 0g x < ( )g x ( )0,+∞ 0a < ( )' 0g x = 2x a = − 20,x a ∈ − ( )' 0g x < ( )g x 2 ,x a ∈ − +∞ ( )' 0g x > ( )g x
( ) ( )2f x x g x= + ( )0,+∞
( ) ( ) 3
2
2 2' 2 ' x axf x x g x x
− −= + =
( ) 32 2h x x ax= − − ( )0,x∈ +∞ ( ) 2' 6h x x a= − 0a < ( )' 0h x > ( )h x
( )0,+∞ ( )0 2 0h = − < ( )1 0h a= − > ( )h x ( )0,1
0x
0x ( )'f x ( )f x ( )0,1
0a ≥ ( ) ( )32 1 0h x x ax= − − < ( )0,1x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )0,1 ( )f x ( )f x ( )0,1 a ( ),0−∞ 0a > ( )f x ( )0,+∞ ( )1 3f = ( )0,1x∈ ( ) 0f x >
0 1x > ( )f x ( )1,+∞ 1x
且 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递增，
由题意可知： 即为 .
∴ ，∴ 消去可得： ，
即 令 ，则 在区间 上单调递增.
又∵ ，
，
由零点存在性定理知 ， ，∴ ，
∴ .
( )11,x x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )1,x x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x
1x 0x
( )
( )0
0
0
' 0
f x
f x
= =
2
0 0
0
3
0 0
2 ln 0
2 2 0
x a xx
x ax
+ − =
− − =
0 3
0
32ln 1 1x x
= + −
0 3
0
32ln 1 01x x
− + = − 3
3( ) 2ln 1 ( 1)1t x x xx
= − − >− ( )t x ( )1,+∞
3
3 3 7 3 1(2) 2ln 2 1 2 0.6973 1 2 1 02 1 7 10 7 35t = − − = × − − < × − − = − × − − = >−
( )2 0t < ( )3 0t > 02 3x< < [ ]0 2x =
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