广东省汕头市金山中学四校2021届高三上学期10月联考数学试题（含答案）

汕头市金山中学 2021 届高三十月四校联考 数 学 （满分 150 分.考试时间 120 分钟.） 注事事项： 1. 答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题 卡上.并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无 效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、单选题（本题共 8 个小题，在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求，每小题 5 分，共 40 分） 1. 已知集合 ， ，则 为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量 ， ，且 ，则 等于（ ） A. 3 B. -3 C. D. 3. 若命题“ ，使得 ”为假命题，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 设 ， ， ， 是非零实数，则“ ”是“ ， ， ， 成等比数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 5 6. 设函数 ，如果 ，则 的值是（ ） A. -10 B. 8 C. -8 D. -7 7. 已知数列 的前 项和为 ，对任意的 有 ，且 ，则 的值为（ ） A Z= ( ){ }2ln 9B x y x= = − A B { }2, 1,0− − { }2, 1,0,1,2− − { }0,1,2 { }1,0,1,2− ( )cos , 2a α= − ( )sin ,1b α= / /a b  2sin cosα α 4 5 4 5 − 0x R∃ ∈ 2 0 0 2 3 0x mx m+ + − < m [ ]2,6 [ ]6, 2− − ( )2,6 ( )6, 2− − a b c d ad bc= a b c d i z 1 21 i iz − = ++ z = 3 5 ( ) 3 23tan 2 1f x ax b x c x x= + ⋅ + ⋅ + + ( )2 10f = ( )2f − { }na n nS *n N∈ 2 2 3 3n nS a= − 1 12kS< < k A. 2 或 4 B. 2 C. 3 或 4 D. 6 8. 已知点 为函数 的图象上任意一点，点 为圆 上任意一点，则线段 的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 4 个小题，在每小题的四个选项中，有多个符合题目要求，每小题全部选对得 5 分， 有选错得 0 分，部分选对得 3 分，满分共 20 分） 9. 在锐角三角形 中， 、 、 是其三内角，则下列一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列指定的函数 中，一定有 的有（ ） A. 指定的函数 是奇函数； B. 指定的函数 满足： ，都有 ； C. 指定的函数 满足： ，都有 且当 时， ； D. 设 ，指定的函数 满足： 都有 . 11. 设 ，又 是一个常数.已知当 或 时， 只有一个实根； 当 时， 有三个相异实根，现给出下列命题中正确的是（ ） A. 和 有一个相同的实根 B. 和 有一个相同的实根 C. 的任一实根大于 的任一实根 D. 的任一实根小于 的任一实根 12. 已知偶函数 对于任意的 满足 （其中 是函数 的导函数），则下列不等式中成立的有（ ） P ( ) lnf x x= Q 2 21 1x e ye   − + + =     PQ 2 1e e e + − 22 1e e e + − 2 1e e e − − 1 1e e + − ABC△ A B C ( )sin sin sinA B A B+ > + sin cosA B> sin cosB A> sin sin 2cosA B C+ < ( )f x ( )0 0f = ( )f x ( )f x ,x y R∀ ∈ ( ) ( )( ) 1 ( ) ( ) f x f yf x y f x f y −− = + ( )f x ,x y R∀ ∈ ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = 0x > ( ) 1f x > ( ) ( )2lg 1h x x x= + + ( )f x ,x y R∀ ∈ ( ) ( ) ( )f x h x y h x y= + + − ( ) 3 2f x x bx cx d= + + + k 0k < 4k > ( ) 0f x k− = 0 4k< < ( ) 0f x k− = ( ) 4 0f x − = ( )' 0f x = ( ) 0f x = ( )' 0f x = ( ) 3 0f x + = ( ) 1 0f x − = ( ) 5 0f x + = ( ) 2 0f x − = ( )y f x= 0, 2x π ∈   ( ) ( )' cos sin 0f x x f x x+ > ( )'f x ( )f x A. B. C. D. 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，其中第 13 题分值分配为前 3 分、后 2 分，满分共 20 分） 13. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的通项公式是_______， _______. 14. 已知 的内角 ， ， ， 为 所在平面上一点，且满足 ， ，则 的值为_______. 15. 若函数 为 上的单调递增函数，且对任意实数 ，都有 （ 是自然对 数的底数），则 _______. 16. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，且 ， ，则 的面积为_______. 四、解答题：（本题共 6 小题，满分共 70 分） 17. 已知 ， ， 为坐标原点. （1）若 与 的夹角为钝角，求实数 的取值范围； （2）设 ， ，求 的面积. 18. 已知函数 ，且给定条件 ：“ ”. （1）求 的最大值及最小值. （2）若又给条件 ：“ ”且 是 的充分条件，求实数 的取值范围. 19. 已知函数 ，其中 . （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围. 20. 如图，在 中， ， 为边 上的点， 为 上的点，且 ， ， 2 3 4f f π π   −        (0) 2 4f f π < −   36 3f f π π    ( )f x 0x [ ]0x [ ]x x [ ]0.3 0= [ ]2.6 2= [ ]1.4 2− = − ln 2 0.6931= ln3 1.099= ln5 1.609= ln 7 1.946= ( ){ } { }2 2ln 9 9 0B x y x x x= = − = − > { }3 3B x x= − < < A Z= { }2, 1,0,1,2A B = − − / /a b  cos 2sinα α= − 1tan 2 α = − 2 2 2 2sin cos 2tan 42sin cos sin cos tan 1 5α α α α α αα α = = = −+ + x R∀ ∈ 2 2 3 0x mx m+ + − ≥ 0∆ ≤ ( )2 4 2 3 0m m− − ≤ 所以 ，故选 A. 4. 解析： ， ， ， 是非零实数，若 ， ， ， ，且 ，则 ， ， ， 不成等比数列（可以假设 ， ， ， ） 若 ， ， ， 成等比数列，则由等比数 列的性质可知 .所以“ ”是“ ， ， ， 成等比数列”的必要而不充分条件，选 B. 5.【解】由题可得 ，则 ， ，故选 A. 6. 解： ，选 B. 7. 解： ， 则 ，解得 ， ， 所以 ，当 时， ；当 时， ；答案 A. 8.【解】依题意，圆心为 ，设 点的坐标为 ，由两点间距离公式得 ，设 ， ， 令 解得 ，由于 ，可知当 时， 递增， 时， ， 递减，故当 时取得极大值也是最大值为 ，故 ，故 时， 且 ，所以 ，函数单调递减.当 时， ， ，当 时， ，即 单调递增. ，即 ， 单调递增，而 ，故当 时， 函数单调递增，故函数在 处取得极小值也是最小值为 ，故 的最小值为 2 6m≤ ≤ a b c d 0a < 0d < 0b > 0c > ad bc= a b c d 2a = − 3d = − 2b = 3c = a b c d ad bc= ad bc= a b c d 1 (2 )(1 )i i z− = + + 21 (1 )(2 ) 4 31 12 (2 )(2 ) 5 5 i i iz ii i i − − −= − = − = − −+ + − 2 24 3 15 5z    = − + − =       ( )2 = 1 9 8f − − + = 2 2 3 3n nS a= − 1 1 2 2 3 3n nS a− −= − 1 1 2 2 3 3n n n n nS S a a a− −− = − = 1 2n n aq a − = = − 1= 2a − ( )2 ( 2) 13 k kS = − − − 2k = 2 2S = 4k = 4 10S = 1 ,0C e e  +   P ( ),lnx x 2 22 2 2 21 1 1(ln ) 2 lnx e x xP e x xC ee e e       = − + + = − + + + +             2 2 21 1( ) 2 lnf x x e x e xe e    = − + + + +       1 2ln ln 1'( ) 2 2 2( ) 2x xf x x e x ee x x e    = − + + = − + −       ( )' 0f x = x e= 2 ln 1 ln'x x x x −  =   ( )0,x e∈ ln x x ( ),x e∈ +∞ ln ' 0x x   ( )2 ln 1 0x x− + > 2 ln 1x x− + 2 2ln 1 0e e e− + = > ( )' ' 0f x >   ( )'f x ( )' 0f e = ( ),x e∈ +∞ ( )' 0f x > x e= ( ) 2 1 1f e e = + PC ，此时 .故选 A. 二、多选题（本题共 4 个小题，在每小题的四个选项中，有多个符合题目要求，每小题全部选对得 5 分， 有选错得 0 分，部分选对得 3 分，满分共 20 分 ） 9. BC 10. BD 11. ABD 12. BCD 9. 解析： 所以 A 错， 所以 B 对，同理 C 对，对于 D 由于 ， 所以 D 错.所以选：B、C. 10. 解答：函数 在 处可能没有意义，所以 A 错，对于 B 令 中 得 所以 B 对， 对于 C：令 ， 因为有 ，∴ 所以 C 错. 对于 D，由 所以 D 对，所以选：B、D. 11. 解析：由题意可知函数的示意图如图，则函数 的极大值为 4，极小值为 0，所以当 或 时对应的 ，则 A，B 正确. 的实根小于 的实根，所以 C 不正确； 的实根小于 的实根，所以 D 正确. 所以选 A、B、D. 12. 解析：∵偶函数 对于任意的 满足 ，∴ ， ， 2 2 1 11 e e e ++ = 2 21 11e e ePQ e e + + −= − = sin( ) sin cos cos sin sin sinA B A B A B A B+ = + < + ( )90 sin sin 90 cosA B A B B+ > ° ⇒ > °− = sin cosA C> sin cos sin sin 2cosB C A B C> ⇒ + > ( )f x 0x = ( )f x x y= ( )0 0f = 0x = ( ) ( ) ( )2 2 0 2y f f f= ⇒ = ( )2 1f > ( ) ( )2 0 0 1 0f f≠ ⇒ = ≠ ( )2 2(0) ( ) ( ) lg 1 0f h y h y y y= + − = + − = ( )f x ( ) 4f a = ( ) 0f a = ( )' 0f a = ( ) 3 0f x + = ( ) 1 0f x − = ( ) 5 0f x + = ( ) 2 0f x − = ( )y f x= 0, 2x π ∈   ( ) ( )' cos sin 0f x x f x x+ > ( ) ( ) cos f xg x x = ( ) ( ) ( ) 2 ' cos sin' 0cos f x x f x xg x x += > ∴ ， 是单调递增，且是偶函数， ∴ ， ，∵ ，∴ , 即 ，（A）化简得出 ，所以（A）不正确. （B）化简 ，得出 ，所以（B）正确. 又根据 单调性可知： ，∴ ，∴ ， ∵偶函数 ，∴即 ，所以（C）正确. ∵根据 单调性可知 ，∴ ， . 所以（D）正确.所以选：（B）（C）（D） 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，满分共 20 分） 13. ；146 14. 15. 3 16. 13. 解：第一空： ；第二空： ，填：146. 14.【答案】由题意可知， 为 外接圆的圆心，在圆 中，延长 交 于点 ，已知等式两边 同乘以 得： ，同理得： ，从而有： . 15. 解析：设 ，则 ，则条件等价为 ， 令 ，则 ，∵函数 为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得 ， ∴ ，即 . 0, 2x π ∈   ( ) ( ) cos f xg x x = 3 3g g π π   − =       4 4g g π π   − =       4 3g g π π          2 23 3 4f f f π π π     − = −       2 3 4f f π π   >       ( )g x ( )04g g π  >   (0)4 12 2 f f π    > (0) 2 4f f π <    ( )y f x= (0) 2 4f f π < −   ( )g x 3 6g g π π   >       3 6 1 3 2 2 f f π π         > 3 3 6f f π π   >       ( ) ( ) 6 1 6 1 2n n a n n ==  − ≥ 9 6 5m n+ = 3 3 2 ( ) ( ) 6 1 6 1 2n n a n n ==  − ≥ (17 53)46 1462 ++ = O ABC△ O AO BC D AB 9 39 3 32 2m n m n= + ⇒ + = 3 4 2m n+ = 9 6 5m n+ = ( ) xt f x e= − ( ) xf x e t= + ( ) 1f t e= + x t= ( ) 1tf t e t e= + = + ( )f x 1t = ( ) 1xf x e= + ( ) ln2ln 2 1 2 1 3f e= + = + = 16. 解析：因为 ，所以 ， ， ，解得 ，根据余弦定理有 ， ， ， .所以 .答案： 四、解答题：（本大题满分 70 分） 17. 解：（1）∵ ， ，∴ ， ， 令 ，即 ，解得 ， 当 时， ， 与 方向相反，夹角为平角，不合题意. ∴ ， ∴若 与 的夹角为钝角， 的取值范围为 . （注：没有除开 ，扣两分） （2）设 ， 面积为 ， 则 ，∵ ， ∴ .∴ . 18. 解：（1）∵ .又∵ ，∴ ，即 . ∴ ， . （2）∵ ，∴ ， 又∵ 是 的充分条件，∴ ，解得 . 2 74sin cos2 22 A B C− =+ ( ) 2 72 1 cos 2cos 1 2A B C− + − + =   2 72 2cos 2cos 1 2C C+ − + = 2 1cos cos 04C C− + = 1cos 2C = 2 21 7cos 2 2 a bC ab + −= = 2 2 7ab a b= + − 2 2 1 23 2 7 ( ) 7 25 7 18ab a b ab a b−= + + − = + − = − = 6ab = 1 1 3 3 3sin 62 2 2 2S ab C= = × × = 3 3 2 ( )3, 2a = − ( )2,1b = ( )3 2, 2 1ma b m m+ = + − +  ( )2 1, 4a b− = − −  ( ) ( )2 0ma b a b+ ⋅ − ∠ = 4 3 5 2 < CDE∠ 3cos 5CDE∠ = − cos cos cos cos sin sin3 3 3DAB CDE CDE CDE π π π ∠ = ∠ − = ∠ + ∠   3 1 4 3 4 3 3 5 2 5 2 10 −= − × + × = 1n = 1 1 1 1 1 1 2S a a a  = = +    { }na 1 1a = 2n ≥ 1 1 1 1 1 1 1 1 2n n n n n n n n n n S S S S S SS S S S− − − − −  − = − + ⇒ + = − −  2 2 1 1n nS S −− = 知数列 是一个以 1 为首项，1 为公差的等差数列，所以， ，所以，正项数列 的通项公式是： 经检验值 适合. （2）由 不能取等号. 有 ，从而有： . 22. 解：（Ⅰ） ， . ①当 时， ，∴函数 在区间 上单调递减； ②当 时，由 ，解得 ， 当 时， ，此时函数 单调递减；当 时， ，此肘函数 单调递增. （Ⅱ） ，其定义域为 . ， 令 ， ， ，当 时， 恒成立，∴ 在 上为增函数，又 ， ，∴函数 在 内至少存在一个变号零点 ， 且 也是 的变号零点，此时 在区间 内有极值. 当 时， ，即 时， 恒成立， ∴函数 在 单调递减，此时函数 无极值. 综上可得： 在区间 内有极值时实数 的取值范围是 . （Ⅲ）∵ 时，函数 的定义域为 由（Ⅱ）可知： 知 时， ， ∴ .又 在区间 上只有一个极小值点记为 ， { }2 nS 2 1 ( 1)nS n n= + − = { }na 1na n n= − − 1n = 2 2 2 21 ( 1) 2 ( ) ( 1) 4 2 1nb n n n n n n n    = − = + − ≤ + − = −   − −  4 2nb n< − 1 2 2 6 10 (4 2)n nT b b b n= + + + < + + + + −  2(2 4 2) 22 n n n + −= = 2( ) ln ( 0)g x a x xx = − > 2 2 2 2'( ) a axg x x x x += − − = − 0a ≥ ( )' 0g x < ( )g x ( )0,+∞ 0a < ( )' 0g x = 2x a = − 20,x a  ∈ −   ( )' 0g x < ( )g x 2 ,x a  ∈ − +∞   ( )' 0g x > ( )g x ( ) ( )2f x x g x= + ( )0,+∞ ( ) ( ) 3 2 2 2' 2 ' x axf x x g x x − −= + = ( ) 32 2h x x ax= − − ( )0,x∈ +∞ ( ) 2' 6h x x a= − 0a < ( )' 0h x > ( )h x ( )0,+∞ ( )0 2 0h = − < ( )1 0h a= − > ( )h x ( )0,1 0x 0x ( )'f x ( )f x ( )0,1 0a ≥ ( ) ( )32 1 0h x x ax= − − < ( )0,1x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )0,1 ( )f x ( )f x ( )0,1 a ( ),0−∞ 0a > ( )f x ( )0,+∞ ( )1 3f = ( )0,1x∈ ( ) 0f x > 0 1x > ( )f x ( )1,+∞ 1x 且 时， ，函数 单调递减， 时， ，函数 单调递增， 由题意可知： 即为 . ∴ ，∴ 消去可得： ， 即 令 ，则 在区间 上单调递增. 又∵ ， ， 由零点存在性定理知 ， ，∴ ， ∴ . ( )11,x x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )1,x x∈ +∞ ( )' 0f x > ( )f x 1x 0x ( ) ( )0 0 0 ' 0 f x f x = = 2 0 0 0 3 0 0 2 ln 0 2 2 0 x a xx x ax  + − =  − − = 0 3 0 32ln 1 1x x = + − 0 3 0 32ln 1 01x x  − + = −  3 3( ) 2ln 1 ( 1)1t x x xx = − − >− ( )t x ( )1,+∞ 3 3 3 7 3 1(2) 2ln 2 1 2 0.6973 1 2 1 02 1 7 10 7 35t = − − = × − − < × − − = − × − − = >− ( )2 0t < ( )3 0t > 02 3x< < [ ]0 2x =