福建省2020-2021 第一学期高三数学第一次质量检测（含答案）

班级：_______________ 座号：_______________ 姓名：_______________ （在此卷上答题无效） 福建省 2020-2021 学年度第一学期 高三第一次质量检测 数学试卷 本试卷共 4 页，满分 150 分 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名。考生要认真核 对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致。 2.回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后再选 涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效。 3.考试结束，考生只须将答题卡交回。 一、单选题：本大题 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个正确答案。 1.已知集合 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知复数 z 满足 （其中 i 为虚数单位），则复数 z 的虚部为（ ） A.-2 B. C.1 D.i 3.命题 p“ ， ”的否定形式 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4 若实数 a，b 满足 ，则 的最小值为（ ） A.4 B. C.2 D. 5.已知 ，且 为锐角，则 （ ） A. B. C. D. 6.已知抛物线 的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线 与抛物线C的个交点，若 ， 则 （ ） A.3 B. C. D. 或 7.函数 的部分图象大致为（ ） * 1 2 162| xA x = ∈ < p¬ [ )0,x∀ ∈ +∞ 2xe x≤ ( ]0 ,0x∃ ∈ −∞ 0 2 0 xe x> [ )0 0,x∃ ∈ +∞ 0 2 0 xe x> [ )0 0,x∃ ∈ +∞ 0 2 0 xe x≤ 1 4 aba b + = ab 2 2 2 3sin 4 5 πα − =   α cos2α = 12 25 − 12 25 24 25 − 24 25 2: 4C y x= PF 4PF FQ=  QF = 5 2 3 2 3 2 5 2 ( ) e lnx xx xf −=A. B. C. D. 8.已知 ， ，在函数 ， 的图象的交点中，相邻两个交点的横 坐标之差的绝对值为 ，当 时，函数 的图象恒在 x 轴的上方，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题 4 小题，全选对得 5 分，选对但不全得 3 分，选错或不答得 0 分。 9. 的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 10.已知实数 a，b，c 满足 ，则下列关系式中可能成立的是（ ） A. B. C. D. 11.如图，一个水轮的半径为 ，水轮轴心 O 距离水面的高度为 ，已知水轮按逆时针匀速转动，每分钟 转动 5 圈，当水轮上点 P 从水中浮现时的起始（图中点 ）开始计时，记 为点 P 距离水面的高度关于 时间 的函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C.若 ，则 D.不论 t 为何值， 是定值 12.若存在实常数 k 和 b，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足： 和 恒成立，则称此直线 为 和 的“隔离直线”，已知函数 ， ， （e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） 0ω > 2 πϕ  ( ) ( )sin 4f x x ϕ= + ( ) ( )cosg x xω ϕ= + 2 π ,6 4x π π ∈ −   ( )f x ϕ ,6 3 π π     ,6 3 π π     ,3 2 π π     ,3 2 π π     2 1x > 0x < 0x > 0 1x< < 1x > 1lg 10ba c = = a b c> > a c b> > c a b> > c b a> > 6m 3m 0P ( )f t ( )st ( )3 9f = ( ) ( )1 7f f= ( ) 6f t  [ ]( )2 12 ,5 12t k k k∈ + + ∈N ( ) ( ) ( )4 8f t f t f t+ + + + ( )F x ( )G x ( )F x kx b≥ + ( )G x kx b≤ + y kx b= + ( )F x ( )G x ( ) ( )2f x x x= ∈R ( ) ( )1 0g x xx = < ( ) 2elnh x x=A. 在 内单调递增 B. 和 之间存在“隔离直线，且 b 的最小值为 4 C. 和 间存在“隔离直线”，且 k 的取值范围是 D. 和 之间存在唯一的“隔离直线” 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.若实数 ，则 ________. 14.若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值是________. 15.已知双曲线 C 的焦点为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于 A，B 两点。若 ， ，则 C 的方程为________. 16.已知三棱锥 的四个顶点都在球 O 的表面上， 平面 ， ， ， ， ，则球 O 的表面积为________；若 D 是 的中点，过点 D 作球 O 的截面，则截面面积的范围是 ________. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把解答过程填写在 答题卡的相应位置。 17.（本小题满分 10 分） 已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示. （1）求函数 的解析式； （2）将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 ，当 时，求函数 的值域. ( ) ( ) ( )m x f x g x= − 3 1 ,0 2 x  ∈ −   ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( ]4,1− ( )f x ( )g x 2 e ey x= − 3 9log 2 log 16m = + 1 3 m  =   0 2 6 0 2 0 x y x y x y − ≥  + − ≤  + − ≥ 3 2z x y= + ( )1 5,0F − ( )2 5,0F 2F 2 23AF F B=  13 4AB BF= P ABC− PA ⊥ ABC 6PA = 2 3AB = 2AC = 4BC = AB ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > 0ω > 2 πϕ < ( )f x ( )y f x= 6 π ( )g x 0, 2x π ∈    ( ) ( ) ( )h x f x g x= +18.（本小题满分 12 分） 在① ；② ；③ ， 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.且满足________. （1）求 ； （2）已知 ， 的外接圆半径为 ，求 的边 上的高 h. 19.（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 中，侧面 是边长为 2 的等边三角形，M，N 分别为 ， 的中点，过 的平面与侧面 交于 . （1）求证： ； （2）若平面 平面 ， ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.（本小题满分 12 分） 科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验。已知 5 只小鼠中有 1 只患有这种病 毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠。血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没 患病。下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止. 方案乙：先任取 3 只，将它们的血液混在一起化验。若结果是阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然 后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外 2 只中任取 1 只化验. （1）求方案甲化验次数 X 的分布列； （2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由. 21.（本小题满分 12 分） 已知点 ，椭圆 的离心率为 ，F 为椭圆 C 的右焦点，直线 的斜率为 2sin 3 cos cos 3 cosa C c B C b C− = 5 cos 4 5c B b a+ = ( )2 cos cosb a C c A− = ABC△ sinC 5a b+ = ABC△ 4 3 3 ABC△ AB P ABC− PBC AB AP MN PBC EF MN EF∥ PBC ⊥ ABC 3AB AC= = PB PAC 10, 2P −   ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 3 PF. （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知过点 P 的直线 l 斜率为 k，与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 的中点为 M，在 y 轴上是否存在定 点 N，使得 恒成立？若存在，求出点 N；若不存在，请说明理由。 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 ， . （1）求函数 的单调区间和极值； （2）当 时，若不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）若存在 ， ，且当 时， ，证明： . 2 4 AB 2AMN ABN∠ = ∠ ( ) 1 sin mln 12f x x x x= − + + ( ) ( ) 1 sin2g x f x x= + ( )g x 1x ≥ ( ) 1 0xx eg x −− − ≤ 1x ( )2 0,x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2 2 14 x x m