2020-2021学年人教版初二数学上册章末综合训练第13章 轴对称

2020-2021 学年人教版初二数学上册章末综合训练第 13 章 轴对称 一、选择题 1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是(　　) A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，5 2. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是 AC 的中点，DE⊥BC 于点 E，CE＝3，则 AB 的长为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 3. 在△ABC 中，与∠A 相邻的外角是 110°，要使△ABC 为等腰三角形，则∠B 的 度数是(　　) A．70° B．55° C．70°或 55° D．70°或 55°或 40° 4. 如果点(m－1，－1)与点(5，－1)关于 y 轴对称，那么 m 的值为(　　) A．4 B．－4 C．5 D．－5 5. 如图直线 a∥b∥c，等边三角形 ABC 的顶点 B，C 分别在直线 b 和 c 上，边 BC 与直线 c 所夹的锐角为 20°，则∠α 的度数为(　　) A．20° B．40° C．60° D．80° 6. 若点 A(2m，2－m)和点 B(3＋n，n)关于 y 轴对称，则 m，n 的值分别为(　　) A．1，－1 B.5 3 ，1 3C．－5，7 D．－1 3 ，－7 3 7. 如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线，已知 AB＝5，AD＝3， 则 BC 的长为(　　) A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 8. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠ BCG 的度数为(　　) 　　 A．40° B．45° C．50° D．60° 9. 在平面直角坐标系中，已知在 y 轴与直线 x=3 之间有一点 M(a，3).如果该点关 于直线 x=3 的对称点 N 的坐标为(5，3)，那么 a 的值为 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 10. 如图，在五边形 ABCDE 中，AB＝AC＝AD＝AE，且 AB∥ED，∠EAB＝120°， 则∠BCD 的度数为(　　) A．150° B．160° C．130° D．60° 二、填空题 11. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上) ①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD ③ AB＋BD＝AC＋CD ④ AB－BD＝AC－CD　　　 12. 如图，△ABO 是关于 y 轴对称的轴对称图形，点 A 的坐标为(－2，3)，则点 B 的坐标为________． 13. 如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 的长为 6，面积是 24，腰 AC 的垂直平分 线 EF 分别交 AC，AB 边于点 E，F.若 D 为 BC 边的中点，M 为线段 EF 上一动 点，则△CDM 周长的最小值为________． 14. 一个等腰三角形的一边长是 2，一个外角是 120°，则它的周长是________． 15. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k 称为这个等腰三角形 的“特征值”．若等腰三角形 ABC 中，∠A＝80°，则它的特征值 k＝________． 16. 如图，点 E 在等边三角形 ABC 的边 BC 上，BE＝6，射线 CD⊥BC 于点 C，P 是射线 CD 上一动点，F 是线段 AB 上一动点，当 EP＋PF 的值最小时，BF＝7， 则 AC 的长为________． 三、解答题 17. 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 边上一点，且 AB＝AC＝BD，AD＝CD，求∠ BAC 的度数. 18. 如图，在△ABC 中，AB＝BD，根据图中的数据，求∠BAC 的度数． 19. 如图，在等边三角形 ABC 中，D 为 AC 上一点，E 为 AB 延长线上一点，DE⊥ AC 交 BC 于点 F，且 DF＝EF. (1)求证：CD＝BE； (2)若 AB＝12，求 BF 的长． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l 过点 M(3，0)，且平行于 y 轴. (1)如果△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(-2，0)，B(-1，0)，C(-1，2)，△ABC 关 于 y 轴对称的图形是△A1B1C1，△A1B1C1 关于直线 l 对称的图形是△A2B2C2，请 直接写出△A2B2C2 的三个顶点的坐标; (2)如果点 P 的坐标是(-a，0)，其中 a>0，点 P 关于 y 轴的对称点是 P1，点 P1 关 于直线 l 的对称点是 P2，求 PP2 的长.21. 如图①所示，A，B 两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥 MN，桥造 在何处才能使从 A 地到 B 地的路径 AMNB 最短？(假定河的两岸是平行的直线， 桥要与河垂直) [思考 1]如图②，如果 A，B 两地之间有两条平行的河流，我们要建的桥都是与 河岸垂直的，我们应该如何找到这个最短的路径呢？ [思考 2]如图③，如果 A，B 两地之间有三条平行的河流呢？ [拓展]如图④，如果在上述其他条件不变的情况下，两条河并不是平行的，又该 如何建桥呢？ 请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕迹，将行走的路线用 实线画出来． 链接听P30例2归纳总结 人教版 八年级上册 第 13 章 轴对称 章末综合 训练-答案 一、选择题 1. 【答案】 C 2. 【答案】B　∴∠CDE＝30°.∴CD＝2CE＝6. ∵D 是 AC 的中点，∴AC＝2CD＝12. ∴AB＝AC＝12. 3. 【答案】D　当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC 为等腰三角形； 当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC 为等腰三角形． 4. 【答案】B　 5. 【答案】D　∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB＝60°.∴∠α＝∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝60°＋20°＝80°. 6. 【答案】C　 7. 【答案】C　 8. 【答案】C　∵AC＝BC，∴CG 平分∠ACB，∠A＝∠B＝40°. ∵∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°， ∴∠BCG＝1 2 ∠ACB＝50°. 9. 【答案】D　又∵点 M(a，3)到直线 x=3 的距离为 3-a， ∴3-a=2.∴a=1. 10. 【答案】A　∴∠E＝180°－∠EAB＝180°－120°＝60°. 又∵AD＝AE， ∴△ADE 是等边三角形． ∴∠EAD＝60°.∴∠BAD＝∠EAB－∠EAD＝120°－60°＝60°.∵AB＝AC＝AD， ∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠ADC.在四边形 ABCD 中，∠BCD＝∠B＋∠ADC＝ 1 2(360°－∠BAD)＝1 2×(360°－60°)＝150°. 故选 A. 二、填空题 11. 【答案】②③④　【解析】 序号 正误 逐项分析 ① × △BAD 与△ACD 中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的 角和边，所以不能判定两三角形全等 ，因而也就不能得出 AB＝ AC ② √ ∠BAD＝∠CAD 结合 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，可得∠B＝ ∠C，所以 AB＝AC，因而△ABC 是等腰三角形 ③ √ 由于 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90 °，因而 AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC ＋CD)(AC－CD)，由 AB＋BD＝AC＋CD ，得 AB－BD＝AC－ CD ，两式相加得 2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC 是等腰三角形 ④ √ 由于 AD 是△ABC 的边 BC 上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90 °，因而 AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC ＋CD)(AC－CD)，由 AB－BD＝AC－CD ，得 AB＋BD＝AC＋ CD ，两式相加得 2AB＝2AC，所以 AB＝AC，得△ABC 是等腰 三角形 12. 【答案】(2，3)　 13. 【答案】11　 ∵△ABC 是等腰三角形，D 是 BC 边的中点， ∴AD⊥BC. ∴S△ABC＝1 2BC·AD＝1 2×6×AD＝24，解得 AD＝8. ∵EF 是线段 AC 的垂直平分线， ∴点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C，MA＝MC. ∴MC＋DM＝MA＋DM≥AD. ∴AD 的长为 MC＋DM 的最小值． ∴△CDM 周长的最小值＝(MC＋DM)＋CD＝AD＋1 2BC＝8＋1 2×6＝8＋3＝11. 14. 【答案】6　 15. 【答案】8 5 或1 4 　∴特征值 k＝80° 50° ＝8 5. ②当∠A 为底角时，顶角的度数为 180°－80°－80°＝20°， ∴特征值 k＝20° 80° ＝1 4. 综上所述，特征值 k 为8 5 或1 4. 16. 【答案】10　如图，作点 E 关于直线 CD 的对称点 G，过点 G 作 GF⊥AB 于 点 F，交 CD 于点 P， 则此时 EP＋PF 的值最小．∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，∴∠G＝30°. ∵BF＝7，∴BG＝2BF＝14.∴EG＝8. ∴CE＝CG＝4.∴AC＝BC＝10. 三、解答题 17. 【答案】 解：∵AD＝CD，∴设∠DAC＝∠C＝x°. ∵AB＝AC＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝∠DAC＋∠C＝2x°， ∠B＝∠C＝x°.∴∠BAC＝3x°. ∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∴5x＝180， 解得 x＝36. ∴∠BAC＝3x°＝108°. 18. 【答案】 解：∵∠ADB＝30°＋40°＝70°，AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB＝70°. ∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝100°. 19. 【答案】 解：(1)证明：如图，过点 D 作 DM∥AB，交 CF 于点 M，则∠MDF＝∠E. ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°. ∵DM∥AB， ∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°. ∴△CDM 是等边三角形． ∴CM＝CD＝DM. 在△DMF 和△EBF 中，{∠MDF＝∠E， DF＝EF， ∠DFM＝∠EFB， ∴△DMF≌△EBF(ASA)．∴DM＝BE.∴CD＝BE. (2)∵ED⊥AC，∠CAB＝∠CBA＝60°， ∴∠E＝∠FDM＝30°. ∴∠BFE＝∠DFM＝30°. ∴BE＝BF，DM＝MF. ∵△DMF≌△EBF，∴MF＝BF. ∴CM＝MF＝BF. 又∵BC＝AB＝12，∴BF＝1 3BC＝4. 20. 【答案】 解:(1)△A2B2C2 的三个顶点的坐标分别是 A2(4，0)，B2(5，0)，C2(5，2). (2)如图①，若 03，∵点 P 与点 P1 关于 y 轴对称，P(-a，0)，∴P1(a，0).又∵点 P1 与点 P2 关于直线 x=3 对称，设 P2(m，0)，可得 =3，即 m=6-a.∴P2(6-a，0)， 则 PP2=6-a-(-a)=6-a+a=6. 综上，PP2 的长为 6. 21. 【答案】 如图①所示，MN 即为所求． [思考 1] 如图②所示，折线 AMNEFB 即为所求． [思考 2] 如图③所示，折线 AMNGHFEB 即为所求． [拓展] 如图④所示，折线 AMNEFB 即为所求．