广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试 数学（理）试卷 （含答案）

1 绝密★启用前 2021 届南宁市普通高中毕业班摸底测试 理科数学 (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A＝{x|－10)得到一组新数据，则 下列说法正确的是 A.这组新数据的平均数为 m B.这组新数据的平均数为 a＋m 2 2 i i + − 1 2 1 2 3 2 3 2 1 4 1 2 2 C.这组新数据的方差为 an D.这组新数据的标准格为 a 6.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c 着 a＝4，b＝5，c＝6，则 A. B. C. D.1 7.如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为 A.4＋4 B.2＋6 C.3＋3 D.8 8.已知 a∈(0，π)，cos(α＋ )＝ ，则 sinα 的值为 A. B. C. D. 9.射线测厚技术原理公式为 I＝I0e－ρµt，其中 I0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自 然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ 为被测物的密度，µ 是被测物对射线的吸收系数。工业上 通常用镅 241(241Am)低能 γ 射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为 0.8(单 位：cm)，钢的密度为 7.6(单位：g/cm3)，则这种射线的吸收系数为 (注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2＝0.6931，结果精确到 0.001) A.0.110 B.0.112 C.0.114 D.0.116 10.已知过定点 A(O，b)(b>0)的直线 l 与圆 O：x2＋y2＝1 相切时，与 y 轴夹角为 45°。则直线 l 的方程为 n sin 2 sin A C = 1 2 2 3 3 4 2 2 2 6 π 3 5 4 3 3 10 ± 4 3 3 10 − 4 3 3 10 + 4 3 3 5 − 3 A.x－y＋ ＝0 B.x＋y－1＝0 C.x＋y－ ＝0 或 x－y＋ ＝0 D.x＋y－1＝0 或 x－y＋1＝0 11.已知双曲线 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，设双曲线 C 的左焦点为 F，右顶点为 B，点 P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴，若|PF|＝2|BF|，则双曲线 C 的离心率为 A.3 B.2 C. D. 12.已知函数 f(x)＝ ＋ x2－x，若 a＝f(20.3)，b＝f(2)，c＝f(log 25)，则 a，b，c 的大小关 系为 A.ca 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。 第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.设 x，y 满足约束条件 ，则 z＝2x＋y 的最小值是 。 14.若(x＋2)5＝x5＋ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，则 a＋b＋c＋d＋e 的值为 。 15.已知球在底面半径为 1、高为 2 的圆锥内，则该圆锥内半径最大的球的体积为 。 16.已知 a> ，函数 f(x)＝sinx＋2x－ ，若 f(1－3a)＋f(a 2－2a＋3)≤0，则实数 a 的取值范 围是 。 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 设数列{an}满足 a1＝1。an＋1＝2an－(2n－3)。 (I)计算 a2，a3。猜想{an }的通项公式并利用数学归纳法加以证明； (II)记 bn＝2n·an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn。 2 2 2 3 2 4 3 xe x 1 2 2x 3y 3 0 2x 3y 3 0 y 3 0 + − ≤  − + ≥  + ≥ 2 1 3 1 x 4 18.(本小题满分 12 分) 某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了 n 名学生进行调查，将调查得到的学生 日均课余读书时间分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组， 绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于 40 分钟的学生称为“读书 之星”，日均课余读书时间低于 40 分钟的学生称为“非读书之星”已知抽取的样本中日均课 余读书时间低于 10 分钟的有 10 人。 (I)求 p 和 n 的值； (II)根据已知条件和下面表中两个数据完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 95%以上的把 握认为“读书之星”与性别有关? (III)将本次调查所得到有关事件发生的频率视为其发生的概率，现从该地区大量学生中。随 机抽取 20 名学生参加读书与文学素养的研讨会，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量 X，求 X 的数学期望 E(X)。 附： ，其中 n＝a＋b＋c＋d。 19.(本小题满分 12 分) 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，点 E、F 在侧棱 BB1、CC1 上，且 B1E＝2EB，C1F＝2FC， 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 5 点 D、G 在侧棱 AB、AC 上，且 BD＝2DA，CG＝2GA。 (I)证明：点 G 在平面 EFD 内； (II)若∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，AA1＝2，求二面角 A1－AB1－C1 的余弦值。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1、F2，椭圆的离心率为 ，若 M 是椭圆上的一个点，且|MF1|＋|MF2|＝4 。 (I)求椭圆 C 的标准方程； (II)已知点 P(2，y0)是椭圆 C 上位于第一象限内一点，直线 l 平行于 OP(O 为原点)交椭圆 C 于 A、B 两点，点 D 是线段 AB 上(异于端点)的一点，延长 PD 至点 Q，使得 ， 求四边形 PAQB 面积的最大值。 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝a(x－2)ex＋(x－1)2，(a≠0，a∈R)。 (I)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的单调区间； (II)若 a>0，证明：函数 y＝f(x)有两个不同的零点。 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则 按所做的第一个题目计分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程： 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为： (α 为参数)，曲线 C1 与坐 标轴交于(异于坐标原点 O)两点 M，N。 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 2 3PD DQ=  x 1 2cos y 3 2sin α α = − + = − + 6 (I)求线段 MN 的长度； (II)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 M，N 关于直线 l 对称， 求直线 l 的极坐标方程。 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲： 已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3。 (I)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)－1，且当 x∈[－ ， )时，f(x)≤g(x)，求 a 的取值范围。 2 a 1 2 7 8 9 10 11