吉林省吉林市2021届高三第一学期第一次调研考试 数学（文） （含答案）

高三数学（文科）试题 第 1 页 （共 13 页） 吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试 文科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 6 页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试 题卷一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案 无效。 4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求。 1. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 下列函数中最小正周期为 的函数的个数是 ① ； ② ； ③ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 下列向量中不是单位向量的是 A. B. C. D. 4. 为了得到函数 的图象，可将函数 的图象 A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位 5. 设角 的始边为 轴非负半轴，则“角 的终边在第二、三象限”是“ ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 }06|{ 2 ≤−−= xxxA }|{ NxxB ∈= =∩ BA }2,1{ }2,1,0{ }3,2,1{ }3,2,1,0{ π |sin| xy = )32cos( π+= xy xy 2tan= )0,1( )1,1( )sin,(cos αα )0|(||| ≠aa a   )42 1cos( π+= xy xy 2 1cos= 4 π 4 π 2 π 2 π α x α 0cos  ≥   ≤ − a高三数学（文科）试题 第 10 页 （共 13 页） 分 【说明】（1）此处若结算结果都正确，只结论错误，只扣 1 分； （2）此处若计算结果不正切，不给分； 21.【解析】 （1）解法一：将等式 两边都减去 得 .........2 分 再除以 得 ，即 .................................4 分 即 . 且 .................................................5 分 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列.........................................6 分 解法二：由 得 ..........................................1 分 将 代入上式得 ...3 分 因此 .且 ..............................................5 分 所以 是首项为 ，公差为 的等差数列........................................6 分 (2) 由（1）知 ，所以 .........................7 分 所 以 ...........................................................8 分 则 ...........................① 122 1 1 −+= + + n nn aa 1 1 1 2)1(21 + + +−=− n nn aa 12 +n 12 1 2 1 1 1 +−=− + + n n n n aa 11 +=+ nn bb 11 =−+ nn bb 12 11 1 =−= ab { }nb 1 1 n n n ab 2 1−= 1 1 1 2 1 + + + −= n n n ab 122 1 1 −+= + + n nn aa 12 1 2 12 2 222 1 1 1 +−=−+=−+= + + + n n n n n n n n n aaab 11 =−+ nn bb 12 11 1 =−= ab { }nb 1 1 nb n= 1 , 2 12 nn n nn ab n a n −= = = ⋅ + 1 2n na n− = ⋅ 2 31 2 2 2 3 2 2n nS n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅高三数学（文科）试题 第 11 页 （共 13 页） .........................② ① - ② 得 ： ..................................10 分 所 以 .....................................................12 分 【说明】在求 时，也可以用 ，采用累加法求和.其中 . 22【解析】 （I）当 时， ， ...............................................1 分 .......................................... 2 分 即 切 线 方 程 为 .........................................3 分 （II）当 时， .........................................4 分 则曲线 上的点 处的切线方程为 .................... 5 分 设直线 与 相切于点 ，即切线方程为 .................6 分 < 方 法 一 > 即 ................7 分 ， 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n nS n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅⋅⋅ + ⋅ 2 3 12 2 2 2 2n n nS n +− = + + + ⋅⋅⋅ + − ⋅ 1 12(2 1) 2 (1 n)2 2n n n nS n + +− = − − ⋅ = − − 1(n 1)2 2n nS += − + nS 1 2n n nc c n+ − = ⋅ (n 2)2n nc = − 2m = 2'( ) 2f x x = − '(1) 0k f= = 2y = − 1m = 1 1 2'( ) 2 xf x x x −= − = ( )y f x= 0 0 0( , )( 0)x y x > 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2(ln 2 ) ( ) ln 1x xy x x x x y x xx x − −− − = − = + −即 l 2y x= 2 1 1( , )x x 2 1 12y x x x= − 20 1 20 0 0 0 0 0 02 0 1 1 2 2 1 21 ln 4 ln 4 1 02ln 1 x x xx x x x xxx x − =  − − = − + =     − = − 即 即 2( ) 4 ln 4 1, '( ) 8 ln 4 4, ''( ) 8ln 12g x x x x g x x x x g x x= − + = + − = +令 则 3 2''( ) 0,g x x e −= =令 得高三数学（文科）试题 第 12 页 （共 13 页） ......................................9 分 ， ， 所以， ， , , ...............................................1 0 分 ..................................................11 分 .............12 分 即 .................7 分 ， .................................. 9 分 3 3 2 2'( )g x − − ∞即 在( 0, e ) 单调递减，在( e , + ) 单调递减增 3 3 2 2 min'( ) '( ) 8 4 0g x g e e − −= = − − 当 时， ( ) 1g x ∞即 在( 0, 1) 单调递减，在( , + ) 单调递减增 min( ) (1) 3 0g x g= = − = − + >又因为 且 2 1( ) 0 1g x e = 在( , 1) 和( , e) 上各有1个零点， ( ) 0 1g x = ∞在( 0, 1) 和( , + ) 上各有1个零点， 2 0 0 0 04 ln 4 1 0x x x x− + =即 有两个实根，即满足条件的 有2个. 20 1 0 0 0 0 2 0 0 02 0 1 1 2 2 1 2 1 11 ln ln + 02 4ln 1 x x xx x xx x xx x − =  − − = − =     − = − 即 即 2 2 3 2 3 1 1 1 1 1 2 2 1( ) ln , '( )4 2 2 x xg x x g xx x x x x x + −= + − = − + =令 则 1 3 1 3'( ) 0, ( )2 2g x x − + − −= =令 得 或 舍 1 3 1 3( ) 2 2g x − + − + ∞即 在( 0, ) 单调递减，在( , + ) 单调递减增高三数学（文科）试题 第 13 页 （共 13 页） ....................... ....................10 分 ...................................................1 1 分 ......................12 分 命题、校对：高三数学核心组 min 1 3( ) ( ) 02g x g − += >又因为 且 2 1 1 3 1 3( ) 0 2 2g x e − + − += 在( , ) 和( , e) 上各有1个零点， ( ) 0 1g x = ∞在( 0, 1) 和( , + ) 上各有1个零点， 0 02 0 0 1 1ln 04x xx x + − =即 有两个实根，即满足条件的 有2个.