2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数 y=ax2 的图像和性质

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：二次函数 y=ax2 的图像和性质 1．下列说法错误的是( ) A．二次函数 y=－2x2 中，当 x=0 时，y 有最大值是 0 B．二次函数 y=4x2 中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大 C．在三条抛物线 y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2 中，y=2x2 的图象开口最大，y=－x2 的图象开口最小 D．不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点 【答案】C 【解析】【分析】 根据二次项系数的符号，决定了抛物线的开口方向，最大（小）值，其绝对值的大小，决定了抛物线的开 口大小对选项逐一判断即可． 【详解】 A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当 x=0 时，y 有最大值是 0，故该选项正确； B、二次函数 y=4x2 中，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，故该选正确； C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2 的图象开口最小，y=-0.5x2 的图象开口最大，故该选错误； D、不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确． 故选 C． 【点评】本题考查了抛物线 y=ax2 的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与 a 有关；③对称轴是 y 轴； ④顶点（0，0）． 2．下列说法中错误的是（ ） A．在函数 y=﹣x2 中，当 x=0 时 y 有最大值 0 B．在函数 y=2x2 中，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而增大 C．抛物线 y=2x2，y=﹣x2，y=﹣ 21 2 x 中，抛物线 y=2x2 的开口最小，抛物线 y=﹣x2 的开口最大 D．不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2 的顶点都是坐标原点 【答案】C 【解析】由函数的解析式 y＝－x2，可知 a=-1＜0，得到函数的开口向下，有最大值 y=0，故 A 正确； 由函数的解析式 y＝2x2，可知其对称轴为 y 轴，对称轴的左边（x＜0）， y 随 x 增大而减小，对称轴的右边 （x＞0）， y 随 x 增大而增大，故 B 正确； 根据二次函数的性质，可知系数 a 决定开口方向和开口大小，且 a 的值越大开口越小，可知抛物线 y＝2x2 的开口最小，抛物线 y＝－x2 的开口第二小，而 21 2 x 开口最大，故不正确； 不论 a 是正数还是负数，抛物线 y＝ax2 的顶点都是坐标原点，正确. 故选 C. 【点评】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是明确 y=ax2 的图像的特点，直接按断即可. 3．在二次函数①y＝3x2；② 2224;33yxyx③ 中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该 为( ) A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③ 【答案】C 【解析】根据二次函数的性质，可知系数 a 决定开口方向和开口大小，且 a 的值越大开口越小，因此可知② ＞③＞①. 故选：C. 4．若对任意实数 x，二次函数 y=(a+1)x2 的值总是非负数，则 a 的取值范围是（） A．a≥－1 B．a≤－1 C．a>－1 D．a0，解得 a>-1. 故选 C. 5．二次函数 y=-6x2，当 x1＞x2＞0 时，y1 与 y2 的大小关系为____. 【答案】y1＜y2 【解析】试题分析：由函数的解析式可知 a=-6，函数的开口线下，在 x＞0 时，y 随 x 增大而减小，因此可 知当 x1＞x2＞0 时，y1＜y2. 故答案为 y1＜y2 6．已知二次函数 y 甲=mx2 和 y 乙=nx2，对任意给定一个 x 值都有 y 甲≥y 乙，关于 m，n 的关系正确的是_____(填 序号). ①m0 【答案】②④ 【解析】∵x2 一定不小于 0，则由条件“对应任意给定的 x 的值，都有 y 甲  y 乙”可知：存在以下 3 种情况： （1）若 y 甲和 y 乙都为正数，则 m＞0，n＞0 且 m＞n，即 m>n>0； （2）若 y 甲为正数，y 乙为负数，则 m＞0，n＜0； （3）若都为负数时，则 n＜m＜0； ∴关于 m，n 的关系正确的是② 、④ ． 7．若函数 y＝3x2 的图象与直线 y=kx＋3 的交点为(2，b)，则 k=_____，b＝______. 【答案】 9 2 , 12 【解析】根据题意，把交点坐标（2，b）代入 y＝3x2 可得 b=3×4=12，即交点为（2，12），代入 y=kx+3 可 得 k= 9 2 . 故答案为： 9 2 ，12. 8．若抛物线 y=ax2 经过点 A ( 3 ，－9)，则其解析式为_______________。 【答案】y=-3x2 【解析】把点 A ( 3 ? 9)， 代入： 2y a x 得， 39a  ，解得： 3a  ， ∴该抛物线的解析式为： 23yx . 9．二次函数 y=ax2 与直线 y=2x-1 的图象交于点 P(1，m). (1)求 a、m 的值； (2)写出二次函数的表达式，并指出 x 取何值时，该表达式的 y 随 x 的增大而增大？ (3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴. 【答案】(1) a=1，m=1；(2)二次函数的表达式：y=x2，当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大；(3)顶点坐标为(0， 0)，对称轴为 y 轴. 【解析】试题分析：（1）利用待定系数发先求出 m 的值，然后再代入求出 a 的值； （2）根据函数的解析式和图像的性质直接可写出； （3）根据函数的图形与性质求出顶点和对称轴即可. 试题解析：(1)将(1，m)代入 y=2x-1,得 m=2×1-1=1.所以Ｐ点坐标为(1，1). 将 P 点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得 1=a×12， 得 a=1. 即 a=1,m=1. (2)二次函数的表 达式：y=x2， 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大. (3)顶点坐标为(0，0)，对称轴为 y 轴. 10．在同一个直角坐标系中作出 y＝ 1 2 x2，y＝ x2－1 的图象． (1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； (2)抛物线 y＝ x2－1 与抛物线 y＝ x2 有什么关系？ 【答案】见解析 【解析】试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是 y 轴，顶点坐标 分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线 y＝ 1 2 x2－1 与抛物线 y＝ x2 形状相同，对 称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线 y＝ x2－1 可由抛物线 y＝ x2 向下平 移 1 个单位长度得到的。 解：如图所示： (1)抛物线 y＝ x2 开口向上，对称轴为 y 轴，顶点坐标(0，0)； 抛物线 y＝ x2－1 开口向上，对称轴为 y 轴，顶点坐标(0，－1)． (2)抛物线 y＝ x2－1 可由抛物线 y＝ x2 向下平移 1 个单位长度得到． 11．抛物线 y＝ax2 与直线 y＝2x－3 交于点(1，b)． (1)求 a，b 的值． (2)抛物线 y＝ax2 的图象上是否存在一点 P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不 存在，请说明理由． 【答案】(1) a＝－1, b＝－1; (2) 存在,理由见解析.． 【解析】分析：(1)将点(1，b)代入到直线 y = 2x－3，可以得出 b = -1，再将(1，-1)代入到抛物线求出 a、b;(2)P(m， n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m²= n²两点相交，即相交点符合两个函数方程，可以得出二次 函数，并且要把握住 P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m² = n² ，然后在 n = −m²－ m² 中 把 m² 换为 n² ，求出 n 的值，最后得到 m 的值，即可得到 P 的坐标. 本题解析： (1)∵直线 y＝2x－3 过点(1，b)， ∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)． ∵抛物线 y＝ax2 过点(1，－1)， ∴－1＝a×1 2，∴a＝－1. (2)若存在点 P，设点 P 的坐标为(x，y)， 则|x|＝|y|. ∵a＝－1，∴y＝－x2， ∴x2＝|x|，∴x＝0 或 x＝±1 ， ∴点 P 的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1). 【点评】本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键.确定二次函数解析式时, 要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地,已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶 点坐标时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与 x 轴有两个交点时,通常设函数解析式为交点式.