2020-2021学年初三数学上册同步练习：二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 1．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x＝﹣1，与 x 轴的交点为（x1，0）、（x2， 0），其中 0＜x1＜1，有下列结论：①abc＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③4a+1＞2b﹣c；④4ac﹣b2+4a＜0；⑤a> 1 3 ．其 中，正确的结论有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】【分析】由抛物线开口方向得 a＞0，由抛物线的对称轴为直线 12 bx a    得 b＝2a＞0，由抛物 线与 y 轴的交点位置得 c＜0，则 abc＜0；由于抛物线与 x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根 据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴另一个交点在点（−3，0）与点（−2，0）之间，即有−3＜x2＜−2；由 于 b＝2a，c＜−1，则 4a＋1＜2b−c；由于 b＝2a，则 4ac−b2＋4a＝4a（c−a＋1），利用 c＜−1，−a＜0，所以 4ac−b2＋4a＝4a（c−a＋1）＜ 0；由于 x＝1 时，函数为正值，则 a＋b＋c＞0，即 a＋2a＋c＞0，解得 1 3ac ， 然后利用 c＜−1 得到 1 3a  ． 【详解】 解：∵抛物线开口向上， ∴ 0a  ， ∵抛物线的对称轴为直线 ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为直线 x＝﹣1， ∴抛物线 y＝ax2+bx+c 与 x 轴另一个交点在点（﹣3，0）与点（﹣2，0）之间， ∴﹣3＜x2＜﹣2，所以②正确； ∵b＝2a，c＜﹣1， ∴4a+1＜2b﹣c，所以③错误； ∵b＝2a， ∴ 22444444(1)acbaacaaaca ， ∵ 1c  ，即 10c  ， 而 0a ， ∴c﹣a+1＜0， ∴4ac﹣b2+4a＝4a（c﹣a+1）＜0，所以④正确； ∵x＝1 时，y＞0，即 a+b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，即 1 3ac ， 而 c＜﹣1， ∴ 1 3a  ，所以⑤正确． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象为抛物线，当 a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线 2 bx a ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）；当 b2−4ac＞0，抛物 线与 x 轴有两个交点；当 b2−4ac＝0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b2−4ac＜0，抛物线与 x 轴没有交点． 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则下列判断错误的是 ( ) A．a＞0 B．c＜0 C．函数有最小值 D．y 随 x 的增大而减小 【答案】D 【解析】【分析】直接根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可 【详解】 解：图象开口向上，所以 a＞0.故 A 正确； 抛物线与 y 轴交于负半轴，所以 c＜0，故 B 正确； 抛物线有最低点，即函数有最小值，故 C 正确； 在对称轴的左边，y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随 x 的增大而增大，故 D 错误. 故选 D 【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的系数和图象的关系及增减性是解答此题的关键． 3．一次函数 (0)yaxba 与二次函数 2 (0)yaxbxca 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与 y 轴的位置关系，即可得 出 a、b 的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】 A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在 y 轴左侧， ∴a