2020-2021学年初三数学上册同步练习：图形的旋转

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：图形的旋转 1．如图，△ ABC 以点 C 为旋转中心，旋转后得到△ EDC，已知 AB＝1.5，BC＝4，AC＝5，则 DE＝( ) A．1.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】【分析】 根据旋转的性质，得出△ ABC≌△EDC，再根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】 由旋转可得，△ ABC≌△EDC， ∴DE=AB=1.5， 故选 A． 【点评】本题主要考查了旋转的性质的运用，解题时注意：旋转前、后的图形全等． 2．如图，将 Rt  ABC 绕直角项点 C 顺时针旋转 90°，得到 A' B'C，连接 AA'，若∠1=20°，则∠B 的度数 是( ) A．70° B．65° C．60° D．55° 【答案】B 【解析】【分析】 根据图形旋转的性质得 AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求 解． 【详解】 ∵将 Rt  ABC 绕直角项点 C 顺时针旋转 90°，得到 A' B'C， ∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C， ∴∠AA′C=45°， ∵∠1=20°， ∴∠B′A′C=45°-20°=25°， ∴∠A′B′C=90°-25°=65°， ∴∠B=65°． 故选 B． 【点评】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性 质定理，是解题的关键． 3．如图,将置于平面直角坐标系中的三角板 AOB 绕 O 点顺时针旋转 90°得△ A'OB'.已知 ∠AOB=30°,∠B=90°,AB=1,则 B'点的坐标为 ( ) A． 33,22   B． 33,22   C． 13,22   D． 31,22   【答案】A 【解析】【分析】 利用含 30 度的直角三角形和勾股定理求出 BC 和 OC，再用旋转的性质得出 OC',B'C'，即可解决问题． 【详解】 解： 在 Rt△ AOB 中，∠AOB=30°，AB=1， ∴OA=2（30°角所对的直角边是斜边的一半） 根据勾股定理得，OB= 22OAAB = 3 ， 过点 B 作 BC⊥OA 于 C， 在 Rt△ BOC 中，BC= 1 2 OB= 3 2 ，根据勾股定理得，OC= 22OBBC = 3 2 ， 过点 B'作 B'C'⊥OA'于 C'， 由旋转知，B'C'=BC= ，OC'=OC= ，， ∴B′点的坐标为（ ， ）． 故选 A． 【点评】此题主要考查了含 30°的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解本题的关键是求出 OC 和 BC． 4．如图，OA⊥OB，等腰直角三角形 CDE 的腰 CD 在 OB 上，∠ECD=45°，将三角形 CDE 绕点 C 逆时针 旋转 75°，点 E 的对应点 N 恰好落在 OA 上，则 OC CD 的值为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 1 3 D． 3 3 【答案】B 【解析】设 ,2CD CM x CN CE x   则 7545MCEECD ， 60N O C   2 2O C x 则 OC CD = 2 2 ，故选 B. 5．全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ ABC 和△ A1B1C1 是合同三角形，点 A 与点 A1 对应，点 B 与点 B1 对应，点 C 与点 C1 对应，当沿周界 A→B→C→A， 及 A1→B1→C1→A1 环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图 1），若运动方向相反，则 称它们是镜面合同三角形（如图 2），两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两 个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转 180°.下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【分析】 认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答． 【详解】 解：由题意知真正合同三角形和镜面合同三角形的特点，可判断要使 C 组的两个三角形重合必须将其中的 一个翻转 180°； 而其它组的全等三角形可以在平面内通过平移或旋转使它们重合． 故选：C． 【点评】此题考查了平移、旋转、轴对称的图形变化，学生的阅读理解能力及空间想象能力，较灵活．认 真读题，透彻理解题意是正确解决本题的关键． 6．如图所示，在 ABC△ 中， A CB 是钝角，让点 C 在射线 BD 上向右移动，则（ ） A． 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B． 将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C． 将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D． 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，角形然后再次 变为钝角三角形 【答案】D 【解析】【分析】 因为 BC 边变大，∠A 也随着变大，∠C 在变小．所以此题的变化为：△ ABC 先由钝角三角形变为直角三 角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 【详解】 解：根据∠A 的旋转变化规律可知：△ ABC 先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又 变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 故选：D． 【点评】本题考查角的变化,解题时要注意三角形的变化：∠B 不变，∠A 变大，∠C 在变小． 7．如图，在平面直角坐标系中，对 ABC 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 A 坐标是  ,ab ，则经过 第 2016 变换后所得的 点坐标是__________． 【答案】 【解析】【分析】 观察不难发现，4 次变换为一个循环组依次循环，用 2016 除以 4，根据正好整除可知点 A 与原来的位置重 合，从而得解． 【详解】 由图可知，4 次变换为一个循环组依次循环， ∵2016÷4=504， ∴第 2016 变换后为第 504 循环组的第四次变换， 变换后点 A 与原来的点 A 重合， ∵原来点 A 坐标是（a，b）， ∴经过第 2016 变换后所得的 A 点坐标是（a，b）． 故答案为：（a，b）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化-对称，准确识图，观察出 4 次变换为一个循环组依次循环是解题的关 键． 8．如图，O 是正△ ABC 内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60° 得到线段 BO'，下列结论：①△BO'A 可以由△ BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到；②点 O 与 O′的距离为 6； ③∠AOB＝150°；④S△ BOC＝12+6 3 ； ⑤S 四边形 AOBO′＝24+12 ．其中正确的结论是_____．（填序号） 【答案】①③ 【解析】【分析】 证明△ BO′A≌△BOC 即可说明△ BO'A 可以由△ BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到，①正确；根据旋转的性质 可知△ BOO′是等边三角形，则点 O 与 O'的距离为 8，②错误；根据勾股定理的逆定理得到△ AOO′是直角三 角形，求得 Rt△ AOO′面积为 1 2 ×6×8＝24，又等边△ BOO′面积为 ×8×4 ＝16 ，得到四边形 AOBO' 的面积为 24+16 ，⑤错误；求得∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确；过 B 作 BE⊥AO 交 AO 的延长线于 E，根据三角形的面积公式即可得到 S△ BOC＝S 四边形 AOBO′﹣S△ AOB＝24+16 ﹣12＝12+16 ，故④错误． 【详解】 在△ BO′A 和△ BOC 中， BO BO BA OBA BA BC O          ， ∴△BO′A≌△BOC（SAS）． ∴O′A＝OC， ∴△BO'A 可以由△ BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到，①正确； 如图 1，连接 OO′，根据旋转的性质可知△ BOO′是等边三角形， ∴点 O 与 O'的距离为 8，②错误； 在△ AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°． ∴Rt△ AOO′面积为 1 2 ×6×8＝24， 又等边△ BOO′面积为 ×8×4 3 ＝16 ， ∴四边形 AOBO'的面积为 24+16 ，⑤错误； ∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，③正确； 过 B 作 BE⊥AO 交 AO 的延长线于 E， ∵∠AOB＝150°， ∴∠BOE＝30°， ∵OB＝8， ∴BE＝4， ∴S△ AOB＝ 1 2 ×4×6＝12， ∴S△ BOC＝S 四边形 AOBO′﹣S△ AOB＝24+16 3 ﹣12＝12+16 ，故④错误， 故答案为：①③． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理， 此题难度较大，解题的关键是通过旋转把三条线段转化到特殊三角形中，利用特殊三角形的性质进行求解， 使得问题迎刃而解． 9．如图所示，已知直线AB、CD交于点O， 1x  ， 1y  是方程 43a x y   的解，也是方程 12bx ay a   的解，且 ::AOC AOD b a   ， E O A B ． （1）求 E O C 的度数． （2）若射线 OM 从 OC 出发，绕点 O 以 1 / s 的速度顺时针转动，射线 ON 从 OD 出发，绕点 O 以2 /s 的 速度逆时针第一次转动到射线 OE 停止，当 ON 停止时，OM 也随之停止．在转动过程中，设运动时间为 t， 当 t 为何值时，OMON ？ （3）在（2）的条件下，当 ON 运动到 内部时，下列结论：①2 EOM BON   不变；② 2 EOMBON  不变，其中只有一个是正确的，请选择并证明． 【答案】（1）30°；（ 2）30 或 90；（ 3）①是正确的，证明详见解析． 【解析】【分析】 （1）把 1x  ， 1y  代入 43a x y   和 12b x a y a   得出关于 a、b 的方程组，得出 a 与 b 的值， 再根据邻补角和垂直的定义即可求出 E O C 的度数 （2）设 t 秒后 O M O N ，由题意 2 9 0tt 或 1 8 0 2 9 0tt   ，解方程即可． （3）分别表示出 30EOM t    ， 2 120BON t     ，从而得出结论 【详解】 （1）把 ， 代入 和 得 43 12 a b a a        ，解得： 1a  ， 2b  ． ∴ :2:1AOCAOD ． 设 2AOC ，则 AOD ， ∵ 180AOCAOD  ， ∴ 3 180a ．∴ 60  ∵ BOCAOD  ，∴ 60BOC ． ∵ EOAB ，∴ 90EOB   ． ∴ – 906030EOCEOBBOC    ． （2）设 t 秒后 ， ①如图所示， ∵ O M O N ，∴ 90M O N   ∵ 180COMMONDON   ， ∴ 90COMDON  ∵ C O M t   ∴ 2D O N t   ， ∴ 290tt ．∴ 30t  ． ②如图所示， ∵ ，∴ ． ∵ 2DONr ， 180CONDON  ， ∴ 1802CONt  ． ∵ –CON COM MON    ． ∴ 90CON t    ．∴180 2 90tt   ． ∴ 90t  ． 综上所述，，的值为 30s，90s 时， O M O N ． （3）①是正确的，如图所示，设运动时间为 ts， ∴ 30E O M t     ， 2120BONt  ． ∴ 2602EOMt  ∴ 26022120180EOMBONtt  ． ∴ 2 EOMBON  是定值． 【点评】本题考查了角平分线的性质、旋转性质及角的计算、一元一次方程的应用，解题的关键是关键是 正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分，属于中考常考题型． 10．将等腰直角三角形 ABC（AB＝AC，∠BAC＝90°）和等腰直角三角形 DEF（DE＝DF，∠EDF＝90°） 按图 1 摆放，点 D 在 BC 边的中点上，点 A 在 DE 上． （1）填空：AB 与 EF 的位置关系是 ； （2）△ DEF 绕点 D 按顺时针方向转动至图 2 所示位置时，DF，DE 分别交 AB，AC 于点 P，Q，求证： ∠BPD+∠DQC＝180°； （3）如图 2，在△ DEF 绕点 D 按顺时针方向转动过程中，始终点 P 不到达 A 点，△ ABC 的面积记为 S1， 四边形 APDQ 的面积记为 S2，那么 S1 与 S2 之间是否存在不变的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量 关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）平行；（2）见解析；（3）存在，S1＝2S2，理由见解析. 【解析】【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质和平行线的判定方法即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝∠C＝45°，再根据三角形的内角和即可得到结论； （3）连接 AD，根据等腰直角三角形的性质和余角的性质可得 BD＝CD＝AD，∠B＝∠CAD，∠BDP＝∠ADQ， 进而可根据 ASA 证明△ BDP≌△ADQ，再根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠C=45°， ∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠F＝∠E＝45°， ∴∠F＝∠ ABD，∴AB∥EF； 故答案为：平行； （2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°， ∵∠EDF＝90°，∴∠BDP+∠CDQ＝90°， ∴∠BPD+∠DQC＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDP﹣∠CDQ＝180°； （3）S1 与 S2 之间存在不变的数量关系：S1＝2S2. 理由：连接 AD，如图，∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝AD＝ 1 2 BC，∠B＝∠C＝∠CAD＝45°， ∵∠BDP+∠ADP＝∠ADP+∠ADQ＝90°， ∴∠BDP＝∠ADQ， ∴△BDP≌△ADQ（ASA）， ∴S△ ABD＝S△ BPD+S△ APD＝S△ ADQ+S△ APD＝S2， 又∵S△ ADB＝ 1 2 S1， ∴S1＝2S2． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角 和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键.