2020-2021学年初三数学上册同步练习：一元二次方程的根与系数的关系

2020-2021 学年初三数学上册同步练习：一元二次方程的根与系数的关系 1．关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 的两个实根 x1，x2，满足 x1+x2﹣x1x2＜﹣1，则 k 的取值范围在数 轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 试题分析：根据根的判别式和根与系数的关系列出不等式，求出解集． 解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k+1=0 有两个实根， ∴△≥0， ∴4﹣4（k+1）≥0， 解得 k≤0， ∵x1+x2=﹣2，x1•x2=k+1， ∴﹣2﹣（k+1）＜﹣1， 解得 k＞﹣2， 不等式组的解集为﹣2＜k≤0， 在数轴上表示为： ， 故选 D． 点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，在数轴上找到公共部分是解题的关键． 2．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m=0 有一个解为 x=﹣1，则另一个解为（ ） A．1 B．﹣3 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】设方程的另一个解为 x1，根据两根之和等于﹣ b a ，即可得出关于 x1 的一元一次方程，解之即可得 出结论． 【详解】 设方程的另一个解为 x1， 根据题意得：﹣1+x1=2， 解得：x1=3， 故选 C． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 c a 是 解题的关键． 3．设 a，b 是方程 x2＋x－2009＝0 的两个实数根，则 a2＋2a＋b 的值为( ) A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】C 【解析】 分析：由于 a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得 到（a+b）的值，即可求解． 解答：解：∵a 是方程 x2+x-2009=0 的根， ∴a2+a=2009； 由根与系数的关系得：a+b=-1， ∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2009-1=2008． 故选 C． 4．已知一元二次方程 x2－3x－2＝0 的两个实数根为 x1，x2，则(x1－1)(x2－1)的值是______________． 【答案】-4 【解析】 【分析】【详解】 ∵一元二次方程 x2﹣3x﹣2=0 的两个实数根为 x1，x2， ∴x1+x2=3，x1x2=-2， ∴（x1-1）（ x2-1）=x1x2-x2-x1+1=x1x2-(x1+x2)+1=-2-3+1=-4， 故答案为-4. 5．已知 x1 ， x2 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣5x+a=0 的两个实数根，且 x12﹣x22=10，则 a=____． 【答案】 21 4 【解析】 ∵ 12xx、 是关于 x 的一元二次方程 2 50xxa 的两个实数根， ∴ 1212 5xxxxa ， ， 又∵ 22 1 2 1 2 1 2( )( ) 10x x x x x x     ， ∴ 122xx  ， 又∵ 22 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x x x       ， ∴ 25 4 2 a，解得： 21 4a  . 【点评】（1）若关于 x 的一元二次方程 2 ( 0)0 axbxca 的两根分别是 12xx、 ，则： 1212 cxxaxx a ， ；（ 2）当 120xx  时， 2 121212 ()4xxxxxx . 6．如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式 2n2﹣mn+2m+2015= ． 【答案】2026 【解析】 【分析】【详解】 由题意可知：m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2-m=3，n2-n=3， 所以 m，n 是 x2-x-3=0 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3， 又 n2=n+3， 则 2n2-mn+2m+2015 =2（n+3）-mn+2m+2015 =2n+6-mn+2m+2015 =2（m+n）-mn+2021 =2×1-（-3）+2021 =2+3+2021 =2026． 7．已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 ______. 【答案】3 【解析】 试题分析：设直角三角形的斜边为 c，两直角边分别为 a 与 b． ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2－8x＋7＝0 的两个根， ∴a＋b＝4，ab＝3.5； 根据勾股定理可得：c2＝a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－7＝9， ∴c＝3， 即直角三角形的斜边长为 3． 故答案为 3． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的 解题方法． 8．已知关于 x 的方程 x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0 有两个不相等的实数根． (1)求实数 k 的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2，是否存在这样的实数 k，使得|x1|－|x2|＝ 5 成立？若存在，求出这 样的 k 值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） k＞ 11 4 ；（ 2）4． 【解析】 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△ ＞0，列出关于 k 的不等式求解可得； （2）由韦达定理知 x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+2=（k﹣1）2+1＞0，可以判断出 x1＞0，x2＞0．将原式两边 平方后把 x1+x2、x1x2 代入得到关于 k 的方程，求解可得． 【详解】 解：（1）由题意知△ ＞0，∴[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣2k+2）＞0，整理得：4k﹣7＞0，解得：k 7 4 ＞ ； （2）由题意知 x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+2=（k+1）2+1＞0，∴x1，x2 同号． ∵x1+x2=2k﹣1＞ 7214= 5 2 ，∴x1＞0，x2＞0． ∵|x1|﹣|x2| 5 ，∴x1﹣x2 ，∴x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2 ﹣2k+2）=5，整理，得：4k﹣12=0，解得：k=3． 【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定 理是解题的关键． 9．已知关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋m＋4＝0 有两个实数根 x1，x2. (1)求 m 的取值范围； (2)若 x1，x2 满足 3x1＝|x2|＋2，求 m 的值． 【答案】（1）m≤5．（ 2）4. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△ =20-4m≥0，解之即可得出结论； （2）由根与系数的关系可得 x1+x2=6①、x1•x2=m+4②，分 x2≥0 和 x2＜0 可找出 3x1=x2+2③或 3x1=-x2+2④， 联立①③或①④求出 x1、x2 的值，进而可求出 m 的值． 【详解】 解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 x2-6x+m+4=0 有两个实数根 x1，x2， ∴△=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0， 解得：m≤5， ∴m 的取值范围为 m≤5． （2）∵关于 x 的一元二次方程 x2-6x+m+4=0 有两个实数根 x1，x2， ∴x1+x2=6①，x1•x2=m+4②． ∵3x1=|x2|+2， 当 x2≥0 时，有 3x1=x2+2③， 联立①③解得：x1=2，x2=4， ∴8=m+4，m=4； 当 x2＜0 时，有 3x1=-x2+2④， 联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）． ∴符合条件的 m 的值为 4． 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系．（1）根据方程的系数结合根的 判别式，找出△ =20-4m≥0；（ 2）分 x2≥0 和 x2＜0 两种情况求出 x1、x2 的值． 10．已知关于 x 的方程 x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0 有两个实数根 x1，x2． （1）求实数 k 的取值范围； （2）若 x1，x2 满足 x12+x22=16+x1x2，求实数 k 的值． 【答案】(1) k≤ 5 4 ;(2)-2. 【解析】 试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△ =﹣4k+5≥0，解之即可得出实数 k 的取值范围； （2）由根与系数的关系可得 x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入 x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2 中， 解之即可得出 k 的值． 试题解析：（1）∵关于 x 的方程 x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0 有两个实数根 x1，x2， ∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤ ， ∴实数 k 的取值范围为 k≤ ． （2）∵关于 x 的方程 x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0 有两个实数根 x1，x2， ∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2， ∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），即 k2﹣4k﹣12=0， 解得：k=﹣2 或 k=6（不符合题意，舍去）．∴实数 k 的值为﹣2． 考点：一元二次方程根与系数的关系,根的判别式.