2020-2021学年北师大版初三数学上册单元训练卷 第4章 图形的相似

2020-2021 学年北师大版初三数学上册单元训练卷 第 4 章 图形的相似 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1. 已知线段 a，b，c，d 成比例，其中 a＝2cm，b＝4cm，c＝5cm，则 d 为( B ) A. 1cm B. 10cm C. cm D. cm 2. 如图，l1∥l2∥l3，直线 a，b 与 l1，l2，l3 分别交于点 A，B，C 和点 D，E，F.若 ＝ ，DE＝4，则 EF 的长是( C ) A. B. C. 6 D. 10 3. 下列几组图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱 形；⑥两个正五边形.其中一定相似的有( A ) A. 2 组 B. 3 组 C. 4 组 D. 5 组 4. 乐器上的一根琴弦 AB＝60 厘米，两个端点 A，B 固定在乐器版面上，支撑点 C，D 在 AB 的黄金分 割点上，则 CD 长为( B ) A. 30＋30 B. 60 －120 C. 30 －30 D. 90－30 5. 如图，在直角坐标系中，有两点 A(6，3)，B(6，0)，以原点 O 为位似中心，相似比为 ，在第一象 限内把线段 AB 缩小后得到 CD，则点 C 的坐标为( A ) 5 2 8 5 AB BC 2 3 8 3 20 3 5 5 5 5 1 3A. (2，1) B. (2，0) C. (3，3) D. (3，1) 6. 如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，下列说法中不正确的是( D ) A. DE＝ BC B. ＝ C. △ADE∽△ABC D. S△ADE∶S△ABC＝1∶2 7. 如图，在△ABC 中有一正方形 DEFG，其中 D 在 AC 上，E，F 在 AB 上，直线 AG 分别交 DE，BC 于 M，N 两点.若∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，EF＝1，则 BN 的长度为( D ) A. B. C. D. 8. 如图，P 是 Rt△ABC 斜边 BC 上一点，不与 B，C 重合，过点 P 作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样的直线共有( C ) 1 2 AD AB AE AC 4 3 3 2 8 5 12 7A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 9. 如图，△ABC 中，AB＝AC＝18，BC＝12，正方形 DEFG 的顶点 E，F 在△ABC 内，顶点 D，G 分别 在 AB，AC 上，AD＝AG，DG＝6，则点 F 到 BC 的距离为( D ) A. 1 B. 2 C. 12 －6 D. 6 －6 10. 如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝ 30°；②CE2＝AB﹒CF；③CF＝ FD；④△ABE∽△AEF；⑤S△AEF＝5S△ECF. 其中正确的有( C ) A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11. 若 ＝ ＝ ＝3，且 b＋d＋f＝4，则 a＋c＋e＝　12　. 12. 若△ABC 与△DEF 相似且面积之比为 25∶16，则△ABC 与△DEF 的周长之比为　5∶4　. 2 2 1 3 a b c d e f13. 如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是　(9，0)　. 14. 如图，∠ACB＝∠ABD＝90°，BC＝a，AC＝b，当 Rt△ABD 斜边上的高 h＝　a 或 b　时，图中的两 个直角三角形相似. 15. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几 何?”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为 5 步，股(长直角边)长为 12 步，问该直角三角形能 容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是　 　步. 16. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BE 平分∠ABC 交 CD 于 E，且 BE⊥CD，CE∶ED＝2∶1.如果△BEC 的面积为 2，那么四边形 ABED 的面积是　 　. 60 17 7 4 17. 如图，小明在墙上挂了一面镜子 AB，调整好标杆 CD，正好通过标杆顶部在镜子上边缘 A 处看到 旗杆的顶端 E 的影子，已知 AB＝2m，CD＝1.5m，BD＝2m，BF＝20m，则旗杆 EF 的高度为　7 m. 18. 如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE.设△ACD，△BCE，△ABC 的面 积分别是 S1，S2，S3，现有如下结论：①S1∶S2＝AC2∶BC2；②连接 AE，BD，则△BCD≌△ECA；③若 AC⊥BC，则 S1﹒S2＝ . 其中结论正确的序号是　①②③　. 三、解答题(共 66 分) 19. (8 分)已知 ＝ ＝ ，且 3a－2b＋c＝9，求 2a＋4b－3c 的值. 解：设 ＝ ＝ ＝k(k≠0)，则 a＝5k，b＝7k，c＝8k. 由 3a－2b＋c＝9，得 15k－14k＋8k＝9，解得 k＝1. ∴a ＝5，b＝7，c＝8. 故 2a＋4b－3c＝2×5＋4×7－3×8＝14. 3 4 2 3S 5 a 7 b 8 c 5 a 7 b 8 c20. (8 分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(－2，1)，B(－1，4)，C(－3，2). (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出点 C1 的坐标； (2)以原点 O 为位似中心，相似比为 1∶2，在 y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A2B2C2，并直接写 出点 C2 的坐标； (3)如果点 D(a，b)在线段 AB 上，请直接写出经过(2)的变化后 D 的对应点 D2 的坐标. 解：(1)如图所示，点 C1 的坐标是(3，2). (2)如图所示，点 C2 的坐标是(－6，4). (3)点 D2 的坐标是(2a，2b). 21. (9 分)如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得 1m 长的竹竿竖直放置时影长 1.5m，在 同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地 面上的影长为 21m，留在墙上的影高为 2m，求旗杆的高度.解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. ∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°. ∴四边形 CDBE 为矩形. ∴BD ＝CE＝21，CD＝BE＝2. 设 AE＝x，则 1∶1.5＝x∶21，解得 x＝14. ∴旗杆的高 AB＝AE＋BE＝14＋2＝16(m). 22. (9 分)如图，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点，且 AD＝AC，DE⊥BC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F. (1)求证：△ABC∽△FCD； (2)若 S△FCD＝5，BC＝10，求 DE 的长. (1) 证 明 ： ∵AD ＝ AC ， ∴∠ADC ＝ ∠ACD. 又 ∵D 是 BC 边 中 点 ， DE⊥BC ， ∴BE ＝ CE ， ∠EBC ＝ ∠ECB. ∴△ABC∽△FCD. (2)解：作 AM⊥BC 于点 M，则 DM＝MC. ∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴S△FCD∶S△ABC＝(CD∶CB)2＝1∶4. ∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20. 又∵BC＝10，∴AM＝4. 又∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴△BED∽△BAM. ∴ ＝ ，即 ＝ . ∴DE＝ . 23. (10 分)已知△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∠A＝∠D＝90°，E 是 BC 边的中点. (1)如图①，DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，求证：△BEM∽△CNE； (2)如图②，将△DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，除(1)中的 DE MA BD BM 4 DE 5 7.5 8 3一对相似三角形外，你能否再找出一对相似三角形?试证明你的结论. 图① 图② (1)证明：∵△ABC 和△DEF 是两个等腰直角三角形，∴∠B＝∠C＝∠DEF. 又∵∠B＋∠BME＋∠MEB＝∠MEB＋ ∠MEN＋∠NEC，∴∠BME＝∠NEC. ∴△BEM∽△CNE. (2)解：△ECN∽△MEN. 证明如下：与(1)同理可证，△BEM∽△CNE，∴ ＝ . 又∵BE＝EC，∴ ＝ . 又∵∠MEN＝∠ECN＝45°，∴△ECN∽△MEN. 24. (10 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝ x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，以 AB 为边在第二象限内作矩形 ABCD，使 AD＝ . (1)求点 A，B 的坐标，并求边 AB 的长； (2)过点 D 作 DH⊥x 轴，垂足为 H，求证：△ADH∽△BAO； (3)求点 D 的坐标. (1)解：∵y＝ x＋2，∴当 x＝0，y＝2，B(0，2)；当 y＝0，x＝－4，∴A(－4，0). 在 Rt△AOB 中，4 2＋22＝ BE CN EM NE EC CN ME EN 1 2 5 1 2AB2，∴AB＝2 . (2)证明：∵∠BAD＝90°，设∠DAH＝∠1，∠BAO＝∠2，∠ADH＝∠3，∴∠1＋∠2＝90°.又∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＝ ∠3.又∵∠AHD＝∠AOB＝90°，∴△ADH∽△BAO. (3)解：∵△ADH∽△BAO，∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ . ∴DH＝2，∴AH＝1.∴D(－5，2). 25. (12 分)如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm. 动点 M 从点 B 出发，在 BA 边 上以每秒 3cm 的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 2cm 的速度向点 B 运动， 运动时间为 t 秒(0＜t＜ )，连接 MN. (1)若△BMN 与△ABC 相似，求 t 的值； (2)如图②，连接 AN，CM，若 AN⊥CM，求 t 的值. 图① 图② 解：由题意知，BM＝3t，CN＝2t.∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10.∴BN＝8－2t. (1)当△BMN∽△BAC 时， ＝ ，∴ ＝ ，解得 t＝ ；当△BMN∽△BCA 时， ＝ ，∴ ＝ ，解得 t＝ . 综合以上，当 t＝ 或 t＝ 时，△BMN 与△ABC 相似. (2)过 M 作 MP⊥BC 于点 P.∵∠MPB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△BPM∽△BCA. ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ . ∴MP ＝ ， BP ＝ . 又 ∵∠PCM ＋ ∠ACM ＝ 90° ， ∠ACM ＋ ∠CAN ＝ 90° ， ∴∠PCM ＝ 5 AD BA DH AO AH BO 5 2 5 4 DH 2 AH 10 3 BM BA BN BC 3 10 t 8 8 2t－ 20 11 BM BC BN BA 3 8 t 8 0 2 1 t－ 32 23 20 11 32 23 PM CA BP BC BM BA 6 PM 8 BP 3 10 t 9 5 t 12 5 t∠CAN.∴△CAN∽△PCM. ∴ ＝ . ∴ ＝ ，解得 t＝ .CP AC MP CN 128 5 6 t− 9 5 2 t t 13 12