2020-2021学年北师大版初三数学上册单元训练卷 第1章 特殊平行四边形

2020-2021 学年北师大版初三数学上册单元训练卷 第 1 章 特殊平行四边形 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1. 已知菱形的周长为 24，则它的边长为( A ) A. 6 B. 8 C. 12 D. 4 2. 关于▱ABCD 的叙述，正确的是( C ) A. 若 AB⊥BC，则▱ABCD 是菱形 B. 若 AC⊥BD，则▱ABCD 是正方形 C. 若 AC＝BD，则▱ABCD 是矩形 D. 若 AB＝AD，则▱ABCD 是正方形 3. 下列四边形：①平行四边形，②正方形，③矩形，④菱形，对角线一定相等的是( D ) A. ①②③ B. ①②③④ C. ①② D. ②③ 4. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，分别交 AB，CD 于点 E，F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 的面积的( B ) A. B. C. D. 5. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，AE，EF 为折痕，∠BAE＝30°，AB＝ ，折叠后，点 C 落在 AD 边上的 C1 处，并且点 B 落在 EC1 边上的 B1 处，则 BC 的长为( C ) A. B. 2 C. 3 D. 2 6. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD＝60°，则△OCE 的面积是( A ) 3 1 5 1 4 1 3 3 10 3 3 3A. B. 2 C. 2 D. 4 7. 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，AE＝AD＝2.则 AC 的长是( D ) A. B. 4 C. 2 D. 8. 如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，∠AEC 的平分线交 AD 于点 F，若 AB＝9，AD＝24，则 FD 的长度是( C ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 如图，点 O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，E 是 AD 的中点，若 OE＝3，BC＝8，则 OB 的长为 ( B ) A. 4 B. 5 C. D. 10. 如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1，S2，则 S1，S2 的 值分别是( C ) 3 3 5 3 7 34 2 34 A. 8，8 B. 8，9 C. 9，8 D. 9，9 二、填空题(每小题 3 分，共 24 分) 11. 如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是　∠ABC＝90°或 AC＝BD(答案不唯一)　 (添加一个条件即可). 12. 如图，四边形 ABCD 是正方形，延长 AB 到点 E，使 AE＝AC，连接 CE，则∠BCE 的度数是　 22.5°　. 13. 已知正方形 ABCD 的对角线 AC＝ ，则正方形 ABCD 的周长为　4　. 14. 已知菱形的边长为 2，较长的对角线长为 2 ，则菱形的面积是　2 　. 15. 如图，直线 a 经过正方形 ABCD 的顶点 A，分别过顶点 D，B 作 DE⊥a 于点 E，BF⊥a 于点 F，若 DE＝4，BF＝3，则 EF＝　7　，CD＝　5　. 16. 如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，AB＝4，点 E 在 AB 边上，且 AE＝1，点 P 在对角线 BD 上， 则△PAE 周长的最小值为　 ＋1　. 2 3 3 13 17. 如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD＝8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处， 折痕为 AE，EF＝3，则 AB 的长度为　6　. 18. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A＝60°，M 是 AD 的中点，N 是 AB 边上一动点，将△AMN 沿 MN 所在的直线翻折得到△A′MN，连接 A′C，则 A′C 长度的最小值是　 －1　. 三、解答题(共 66 分) 19. (8 分)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上，连接 AE，BE.若△ABE 的面积为 8，CE＝3，求线段 BE 的长. 解：过 E 作 EF⊥AB 于点 F，由题意易证 EF＝AD. ∵四边形 ABCD 为正方形，∴EF＝DA＝AB＝BC，∠BCE ＝90°. ∴S△AEB＝ ·EF·AB＝ BC 2＝8. ∴BC＝4. 在 Rt△BCE 中，BC＝4，CE＝3，∴BE＝ ＝ ＝5. 20. (8 分)如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接 OE. 求证：OE＝BC. 7 1 2 1 2 2 2BC CE＋ 2 24 3＋证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形 OCED 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是菱形. ∴CD＝BC，AC⊥ BD. ∴∠COD＝90°. ∴四边形 OCED 是矩形. ∴OE＝CD. ∵CD＝BC，∴OE＝BC. 21. (8 分)如图，正方形 ABCD 的边 CD 在正方形 ECGF 的边 CE 上，连接 BE，DG. (1)求证：BE＝DG； (2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由. (1)证明：由正方形 ABCD 和正方形 ECGF 可知 BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG＝90°. 在△BCE 和△DCG 中， ∴△BCE≌△DCG(SAS). ∴BE＝DG. (2)解：存在，△BCE 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△DCG(或将△DCG 绕点 C 逆时针旋转 90°得到△BCE). 22. (10 分)如图，已知△ABC，直线 PQ 垂直平分 AC，与边 AB 交于点 E，连接 CE，过点 C 作 CF∥BA 交 PQ 于点 F，连接 AF. (1)求证：△AED≌△CFD； (2)求证：四边形 AECF 是菱形； (3)当△ABC 满足何条件时，四边形 AECF 为正方形(不要求说明理由). BC DC BCE DCG CE CG ∠  ∠  ＝ ， ＝ ， ＝ ，(1)证明：∵PQ 为线段 AC 的垂直平分线，∴AD＝CD. ∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED. 在△AED 与△CFD 中， ∴△AED≌△CFD(AAS). (2)证明：由(1)可知△AED≌△CFD，∴AE＝CF. ∵EF 为线段 AC 的垂直平分线，∴EC＝EA，FC＝FA. ∴EC ＝EA＝FC＝FA. ∴四边形 AECF 为菱形. (3)解：当△ABC 满足条件∠BAC＝45°时，四边形 AECF 为正方形. 23. (10 分)如图，菱形 ABCD 中，AE 垂直平分 BC，垂足为点 E，AB＝4. 求：(1)菱形的面积； (2)对角线 BD 的长. 解：(1)∵四边形 ABCD 为菱形，AB＝4，∴BC＝AB＝4. 又∵AE 垂直平分 BC，∴BE＝CE＝2，由勾股定理 得 AE＝2 . ∴S 菱形 ABCD＝4×2 ＝8 . (2)∵AE 垂直平分 BC，∴AB＝AC＝BC. ∴△ABC 为等边三角形. ∴AC＝AB＝4. 又∵S 菱形 ABCD＝ AC·BD＝ 8 ，∴BD＝4 . 24. (10 分)已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点. (1)求证：△BGF≌△FHC； EAD FCD AED CFD AD CD ∠ ∠ ∠ ∠    ＝ ， ＝ ， ＝ ， 3 3 3 1 2 3 3(2)设 AD＝a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积. (1)证明：∵点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点，∴FH∥BE，FH＝ BE. ∴FH＝BG，∠CFH＝∠ CBG. ∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC(SAS). (2)解：当四边形 EGFH 是正方形时，可得 EF⊥GH 且 EF＝GH. ∵在△BEC 中，点 G，H 分别是 BE，CE 的中点，∴GH＝ BC＝ AD＝ a，且 GH∥BC. ∴EF⊥BC. ∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝ a. ∴矩形 ABCD 的面积＝AB·AD＝ a·a＝ a 2. 25. (12 分)如图，△ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB 的平分 线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F. (1)探究线段 OE 与 OF 的数量关系并加以证明； (2)当点 O 运动到何处，且△ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形?并说明理由； (3)当点 O 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 可能为菱形吗?说明理由. 解：(1)OE＝OF. 证明如下：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE. 又∵CM 平分∠ACB. ∴∠BCE＝∠OCE，∴∠ OEC＝∠OCE. ∴OE＝OC. 同理可得 OF＝OC. ∴OE＝OF. (2)当∠ACB＝90°且 OA＝OC 时，四边形 AECF 为正方形. 理由如下：连接 AE，AF. 由(1)知 OE＝OF，又 OA ＝OC，∴四边形 AECF 为平行四边形. 又∵CM 平分∠ACB，CN 平分∠ACD，∴∠ACE＋∠ACF＝ ×180° ＝90°，即∠ECF＝90°，∴四边形 AECF 为矩形. 又∵∠ACB＝90°，CM 平分∠ACB，∴∠ACE＝45°＝∠ ECB.∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB＝45°. ∴∠COE＝90°，即 EF⊥AC. ∴矩形 AECF 为正方形. (3)当 O 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 不可能为菱形. 理由如下：连接 BE，BF，BF 交 CE 于 O′. 假如四 边形 BCFE 为菱形，则 BF⊥EC，即∠FO′C＝90°. 由(2)知∠FCO′＝90°，这与在△FCO′中，内角和为 180° 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2相矛盾，故四边形 BCFE 不能为菱形.