2020-2021学年高一数学课时同步练习 第10课 一元二次方程的解集及其根与系数的关系

第二单元 等式与不等式 第 10 课 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 一、基础巩固 1．下列一元二次方程的解集为空集的是(  ) A．x2＋2x＋1＝0   B．x2＋x＋2＝0 C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0 【答案】B  【解析】A.∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意； B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意； C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意； D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选 B. 2．用配方法解下列方程，配方正确的是(  ) A．2y2－4y－4＝0 可化为(y－1)2＝4 B．x2－2x－9＝0 可化为(x－1)2＝8 C．x2＋8x－9＝0 可化为(x＋4)2＝16 D．x2－4x＝0 可化为(x－2)2＝4 【答案】D  【解析】A.2y2－4y－4＝0 可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B.x2－2x－9＝0 可化为(x－1)2＝10， 故选项错误；C.x2＋8x－9＝0 可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D.x2－4x＝0 可化为(x－2)2＝4，故选 项正确．故选 D. 3．一元二次方程 x2＋6x＋9＝0 的解集情况是(  ) A．只有一个元素 B．有两个元素 C．为空集 D．不能确定有几个元素 【答案】A  【解析】∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程 x2＋6x＋9＝0 有两个相等的实数根，故选 A. 4．若 α，β是一元二次方程 3x2＋2x－9＝0 的两个根，则 β α＋ α β的值是(  ) A. 4 27 B．－ 4 27 C．－ 58 27 D. 58 27 【答案】C 【解析】由题知 α＋β＝－ 2 3，αβ＝－3， 所以 β α＋ α β＝ （α＋β）2－2αβ αβ ＝－ 58 27. 5．已知关于 x 的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋ m 4＝0 有两个不相等的实数根 x1，x2.若 1 x1＋ 1 x2＝4m， 则 m 的值是(  ) A．2 B．－1 C．2 或－1 D．不存在 【答案】A 【解析】由题知{m ≠ 0， Δ＝（m＋2）2－4m·m 4 > 0， 解得 m>－1 且 m≠0. 因为 x1＋x2＝ m ＋2 m ，x1x2＝ 1 4， 所以 1 x1＋ 1 x2＝ x1＋x2 x1x2 ＝ m ＋2 m 1 4 ＝4m， 所以 m＝2 或－1. 因为 m>－1，所以 m＝2. 6.若 x1，x2 是一元二次方程 x2＋x－2＝0 的两个实数根，则 x1＋x2＋x1x2＝________. 【答案】－3  【解析】由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3. 7．若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－m＝0 的解集中只有一个元素，则 m 的值为________． 【答案】－1  【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－m＝0 的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即 22－4(－m)＝0，解得 m＝－1. 8．一元二次方程 x2－2x－5 4＝0 的某个根，也是一元二次方程 x2－(k＋2)x＋9 4＝0 的根，求 k 的 值． 【答案】－7 或7 5 【解析】x2－2x－5 4＝0， 移项得 x2－2x＝5 4， 配方得 x2－2x＋1＝9 4，即(x－1)2＝9 4， 开方得 x－1＝±3 2， 解得 x1＝5 2，x2＝－1 2. ①把 x＝5 2代入 x2－(k＋2)x＋9 4＝0 中， 得 (5 2 )2－5 2(k＋2)＋9 4＝0， 解得 k＝7 5. ②把 x＝－1 2代入 x2－(k＋2)x＋9 4＝0 中， 得 (－1 2 )2＋1 2(k＋2)＋9 4＝0， 解得 k＝－7. 当 k＝7 5或－7 时，b2－4ac＝(k＋2)2－9 都大于 0， 综上所述，k 的值为－7 或7 5. 二、拓展提升 9．已知实数 x1，x2 满足 x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以 x1，x2 为根的一元二次方程是(  ) A．x2－7x＋12＝0    B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0 【答案】A  【解析】由一元二次方程根与系数的关系 x1＋x2＝－b a，x1x2＝c a即可判断 A 正确，故选 A. 10．已知关于 x 的方程 m(x＋a)2＋n＝0 的解集是{－3,1}，则关于 x 的方程 m(x＋a－2)2＋n＝0 的 解集是________． 【答案】{－1,3}  【解析】把后面一个方程 m(x＋a－2)2＋n＝0 中的 x－2 看作整体，相当于前面一个方程中的 x. ∵关于 x 的方程 m(x＋a)2＋n＝0 的解集是{－3,1}， ∴方程 m(x＋a－2)2＋n＝0 可变形为 m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中 x－2＝－3 或 x－2＝1，解得 x＝－1 或 x＝3. ∴关于 x 的方程 m(x＋a－2)2＋n＝0 的解集是{－1,3}． 11．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化 为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0. 解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0. 解得：y1＝1，y2＝2. 当 y＝1 时，|x|＝1，∴x＝±1； 当 y＝2 时，|x|＝2，∴x＝±2. ∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题： (1)解方程：x4－10x2＋9＝0. (2)若实数 x 满足 x2＋ 1 x2－3x－3 x＝2，求 x＋1 x的值． 【答案】（1）x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3 ；（2）x＋1 x＝4 【解析】 (1)设 x2＝a，则原方程可化为 a2－10a＋9＝0， 即(a－1)(a－9)＝0， 解得：a＝1 或 a＝9， 当 a＝1 时，x2＝1，∴x＝±1； 当 a＝9 时，x2＝9，∴x＝±3. ∴原方程的解是 x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3. (2)设 x＋1 x＝y，则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即 y2－3y－4＝0， ∴(y＋1)(y－4)＝0， 解得：y＝－1 或 y＝4， 即 x＋1 x＝－1(方程无解，舍去)或 x＋1 x＝4， 故 x＋1 x＝4. 12．已知 x1，x2 是一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根． (1)是否存在实数 k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝ 3 2成立？若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理 由． (2)求使 x1 x2＋ x2 x1－2 的值为整数的实数 k 的整数值． 【答案】（1）k＝－ 9 7；（2）k＝－2 或 k＝－3 或 k＝－5 【解析】Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k(k≠0)，Δ≥0，k