2020-2021学年高一数学课时同步练习 第14课 均值不等式

第二单元 等式与不等式 第 14 课 均值不等式 一、基础巩固 1．设 t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则 t 与 s 的大小关系是(  ) A．s≥t        B．s>t C．s≤t D．s0，b>0，则下列不等式中错误的是(  ) A．ab≤(a＋b 2 )2 B．ab≤a2＋b2 2 C. 1 ab≥ 2 a2＋b2 D. 1 ab≤( 2 a＋b )2 【答案】D  【解析】由均值不等式知 A、C 正确，由重要不等式知 B 正确，由a2＋b2 2 ≥ab 得，ab≤(a＋b 2 )2，∴ 1 ab≥( 2 a＋b )2，故选 D. 4．若 a＞b＞0，则下列不等式成立的是(  ) A．a＞b＞a＋b 2 ＞ ab B．a＞a＋b 2 ＞ ab＞b C．a＞a＋b 2 ＞b＞ ab D.a＞ ab＞a＋b 2 ＞b 【答案】B  【解析】a＝a＋a 2 ＞a＋b 2 ＞ ab＞ b·b＝b，因此只有 B 项正确． 5．若 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则(  ) A．ab≤1 2 B．ab≥1 2 C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 【答案】C 【解析】∵a≥0，b≥0，且 a＋b＝2， ∴b＝2－a(0≤a≤2)， ∴ab＝a(2－a)＝－a2＋2a＝－(a－1)2＋1. ∵0≤a≤2，∴0≤ab≤1，故 A、B 错误； a2＋b2＝a2＋(2－a)2＝2a2－4a＋4 ＝2(a－1)2＋2. ∵0≤a≤2，∴2≤a2＋b2≤4.故选 C． 6．已知 x>0，y>0,2x＋3y＝6，则 xy 的最大值为(  ) A．1 2 B．3 C．3 2 D．1 【答案】C 【解析】∵x>0，y>0,2x＋3y＝6， ∴xy＝1 6(2x·3y)≤1 6·(2x＋3y 2 )2 ＝1 6·(6 2)2＝3 2， 当且仅当 2x＝3y， 即 x＝3 2，y＝1 时，xy 取到最大值3 2. 故选 C． 7．(2015·苏、锡、常、镇四市调研)已知正数 x，y 满足 x＋2y＝2，则 x＋8y xy 的最小值为 ________． 【答案】9 【解析】因为 x，y 为正数，且 x＋2y＝2，所以x＋8y xy ＝(1 y＋8 x)·(x 2＋y)＝ x 2y＋8y x ＋5≥2 x 2y·8y x ＋5＝ 9，当且仅当 x＝4y＝4 3时，等号成立，所以x＋8y xy 的最小值为 9. 8．已知直角三角形两条直角边的和等于 10 cm，求面积最大时斜边的长． 【答案】5 2(cm) 【解析】设一条直角边长为 x cm，(0