2020-2021学年高一数学课时同步练习 第16课 第2章 章末综合

第二单元 等式与不等式 第 16 课 第 2 章 章末综合 一、基础巩固 1、已知 a，b 为非零实数，且 a 4、已知不等式 的解集为 的解集为 B,若不等式 的解集为 ,则 ( ) A.-3 B.1 C.-1 D.3 【答案】A 【解析】由题意,知 ,所以 ,由根与系数的 关系,可知 ,所以 ,故选 A. 5、关于 x 的不等式 的解集为 ,则关于 x 的不等式 的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意,知方程 的两根为-1 和 3,所以 或 解 得 ,则不等式 为 ，解得 ,即不等式 的 解集为 ,故选 A. 6、若关于 x 的不等式 的解集是 M,则对任意常数 k,总有( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】不等式 可变形为 ,即 .∵ ,当且仅当 时,等号成立.∵ ,∴ .故选 A. 7、若不等式 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 2 2 3 0x x− − < 2, 6 0A x x+ − < 2 0x ax b+ + < A B∩ a b+ = { } { }| 1 3 , | 3 2A x x B x x= − < < = − < < { }| 1 2A B x x∩ = − < < 1, 2a b= − = − 3a b+ = − [ ]( ) ( 1) (1 ) 0x b a x b+ − + − > ( , 1) (3, )−∞ − ∪ +∞ 2 2 0x bx a+ − < ( 2,5)− 1 1( , )2 5 − ( 2,1)− 1( ,1)2 − [ ]( ) ( 1) (1 ) 0x b a x b+ − + − = 1 1 31 b b a − = − − = − 3 1 11 b b a − = − = − − 5 3 a b =  = − 2 2 0x bx a+ − < 2 3 10 0x x− − < 2 5x− < < 2 2 0x bx a+ − < { }| 2 5x x− < < 2 4(1 ) 4k x k+ ≤ + 2 ,0M M∈ ∈ 2 ,0M M∉ ∉ 2 ,0M M∈ ∉ 2 ,0M M∉ ∈ 2 4(1 ) 4k x k+ ≤ + 4 2 4 1 kx k +≤ + 4 2 4| 1 kM x x k  += ≤ +  4 2 2 2 4 51 2 2 5 21 1 k kk k + = + + − ≥ −+ + 2 2 51 1k k + = + 2 5 2 2− > 2 ,0M M∈ ∈ 2 2 1 2 3 ( 0)1 3 aax ax −+ ≥ >+ ( ]0,9 [ )9,+∞ 1 ,9  +∞  1(0, )9 【解析】原不等式转化为 ,又 ,则 ,当且仅当 ,即 时等号成立, 所以 ,解得 . 8、若两个正实数 满足 ,且存在这样的 使不等式 有解,则实数 m 的 取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵不等式 有解,∴ ,∵ ,且 ,∴ ,当且仅当 ,即 时取“=”,∴ ,故 .即 ,解得 或 ,∴实数 m 的取值范围是 .故选 C. 9、已知关于 x 的方程 有两个大于 2 的实数根,则实数 m 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设关于 x 的方程 的两个根分别为 ,则由根与系数的关系,知 ,所以由题意知 ,即 ,所以 . 10、在 R 上定义运算 ,若 ,使不等式 恒成立,则实数 m 的 取值范围为( ) A. B. 2 2 1 2( 1) 1 3a x x + + ≥+ 0a > 2 2 2 2 1 1( 1) 2 ( 1) 21 1a x a x ax x + + ≥ + ⋅ =+ + 2 2 1( 1) 1a x x + = + 2 2 1 ( 1)a x = + 22 3a ≥ 1 9a ≥ ,x y 1 4 1x y + = ,x y 2 34 yx m m+ < + { }| 1 4m m− < < { }| 4 1m m− < < { }| 4 1m m m< − >或 { }| 3 0m m m< − >或 2 34 yx m m+ < + 2 min( ) 34 yx m m+ < + 0, 0x y> > 1 4 1x y + = 1 4 4 4( )( ) 2 2 2 44 4 4 4 y y x y x yx x x y y x y x + = + + = + + ≥ ⋅ + = 4 4 x y y x = 2, 8x y= = min( ) 44 yx + = 2 3 4m m+ > ( 1)( 4) 0m m− + > 4m < − 1m > { }| 4 1m m m< − >或 2 ( 2) 5 0x m x m+ − + − = [ )5, 4− − ( ]5, 4− − (4,5) [ )4,5 2 ( 2) 5 0x m x m+ − + − = 1 2,x x 1 2 1 2( 2), 5x x m x x m+ = − − = − 1 2 1 2 0 2 2 0 ( 2)( 2) 0 x x x x ∆ ≥  − + − >  − − > 2( 2) 4(5 ) 0 ( 2) 4 0 5 2( 2) 4 0 m m m m m  − − − ≥  − − − >  − + − + > 5 4m− < ≤ − ( 1)a b a b∗ = + 1 2x∀ ≤ ≤ ( ) ( ) 4m x m x− ∗ + < 3 5| 2 2m m − < 0, 0c dab a b > − > 0bc ad− > 0, 0c dbc ad a b − > − > 0ab > 0, 0ab bc ad> − > 0c d bc ad a b ab −− = > 0, 0c dab a b > − > 0bc ad ab − > 0bc ad− > 0, 0c dbc ad a b − > − > 0bc ad ab − > 0ab > Rx∈ 23 2 0x x+ − < 2( 1, )3 − 23 2 0x x+ − < (3 2)( 1) 0x x− + < 21 3x− < < 1 2,x x 2 22( 1) 2 0x k x k− + + + = 1 2( 1)( 1) 8x x+ + = 【解析】由根与系数的关系,得 .∵ ,∴ ,即 ,整理,得 ,解得 或 .∵ ,∴ ,∴ . 14、已知正实数 满足 ,则 的最小值为_________. 【答案】 【解析】∵ ,∴ ,∴ ,当且仅当 时,等号成立,∴ 的最小值为 . 15、已知不等式 . (1)若对任意实数 x,不等式恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 ,不等式恒成立,求实数 x 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)不等式变形为 , 即 , ∵对任意实数 x,不等式恒成立, ∴ ,解得 , ∴实数 m 的取值范围是 . (2)将 x 看成参数,m 看成自变量,不等式转化为 , 即 . 当 ,即 时, , 则 ,即 ,解得 , 故 且 , 当 ,即 时,原不等式恒成立. 1 2 2 1 2 2( 1) 2 x x k x x k + = +  = + 1 2( 1)( 1) 8x x+ + = 1 2 1 2 1 8x x x x+ + + = 2 2 2( 1) 1 8k k+ + + + = 2 2 3 0k k+ − = 3k = − 1k = 2 24( 1) 4 8 0k k∆ = + − − > 1 2k > 1k = ,a b 4a b+ = 1 1 1 3a b ++ + 1 2 4a b+ = 1 3 8a b+ + + = [ ]1 1 1 1 1 1 3 1( 1) ( 3) ( ) (2 )1 3 8 1 3 8 1 3 b aa ba b a b a b + ++ = + + + + = + ++ + + + + + 1 1(2 2)8 2 ≥ × + = 1 3 3 1 a b b a + +=+ + 1 1 1 3a b ++ + 1 2 2 4 4x mx x m+ > + − 0 4m≤ ≤ 2 ( 4) 4 0x m x m+ − + − > 2 24 ( 4)( ) 42 4 m mx m − −+ > + − 2( 4) 4 ( 4) 04 4 m mm m − + − = − < 0 4m< < (0,4) 2( 1) 4 4 0m x x x− + − + > 2( 1) ( 4 4)x m x x− > − − + 1 0x − > 1x > 2 4 4 1 x xm x − +> − 2 4 4 01 x x x − + 2x ≠ 1x > 2x ≠ 1 0x − = 1x = 当 ,即 时, , 则 ,即 ,解得 ,故 且 , 综上,实数 x 的取值范围是 . 1 0x − < 1x < 2 4 4 1 x xm x − +< − 2 4 4 41 x x x − + >− 2 0x > 0x ≠ 1x < 0x ≠ ( ,0) (0,2) (2, )−∞ ∪ ∪ +∞