2020-2021学年高一数学课时同步练习 第20课 函数的平均变化率

第三单元 函数 第 20 课 函数的平均变化率 一、基础巩固 1．已知函数 f(x)＝x2＋1，当 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为(  ) A．0.40   B．0.41   C．0.43   D．0.44 【答案】B  【解析】∵x＝2，Δx＝0.1，∴Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝f(2.1)－f(2)＝(2.12＋1)－(22＋1)＝0.41，故选 B. 2．函数 y＝1 在[2,2＋Δx]上的平均变化率是(  ) A．0 B．1 C．3 D．Δx 【答案】A  【解析】Δy Δx＝1－1 Δx ＝0. 3．质点运动规律为 s＝2t2＋5，则在时间(3,3＋Δt)中，相应的平均速度等于(  ) A．6＋Δt B．12＋Δt＋ 9 Δt C．12＋2Δt D．12 【答案】C  【解析】Δs Δt＝[2(3＋Δt)2＋5]－(2 × 32＋5) Δt ＝12＋2Δt. 4．如果函数 y＝ax＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为 3，则 a＝(  ) A．－3 B．2 C．3 D．－2 【答案】C  【解析】根据平均变化率的定义，可知 Δy Δx＝ (2a＋b)－(a＋b) 2－1 ＝a＝3，故选 C. 5．已知函数 f(x)的定义域为 A，如果对于定义域内某个区间 I 上的任意两个不同的自变量 x1，x2， 都有f(x1)－f(x2) x1－x2 ＞0，则(  ) A．f(x)在这个区间上为增函数 B．f(x)在这个区间上为减函数 C．f(x)在这个区间上的增减性不确定 D．f(x)在这个区间上为常数函数 【答案】A  【解析】①当 x1＞x2 时，x1－x2＞0，则 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)，所以 f(x)在区间 I 上是增 函数．当 x1＜x2 时，x1－x2＜0，则 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)，所以 f(x)在区间 I 上是增函数．综 上可知 f(x)在区间 I 上是增函数，故选 A. 6．函数 y＝－x2＋x 在 x＝－1 附近的平均变化率为________． 【答案】3－Δx  【解析】Δy Δx＝ －(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋(－1)2－(－1) Δx ＝3－Δx. 7．汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3] 上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________． 【答案】v1＜v2＜v3  【解析】v1＝s(t1)－s(t0) t1－t0 ＝kOA，v2＝s(t2)－s(t1) t2－t1 ＝kAB，v3＝s(t3)－s(t2) t3－t2 ＝kBC，而由图像知 kOA＜kAB ＜kBC， ∴v1＜v2＜v3. 8．函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均 变化率的值为________． 【答案】6x0＋3Δx 12.3  【解析】函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为f(x0＋Δx)－f(x0) (x0＋Δx)－x0 ＝[3(x0＋Δx)2＋2]－(3x20＋2) Δx ＝6x0·Δx＋3(Δx)2 Δx ＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 f(x)＝3x2＋2 在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3. 9．判断函数 g(x)＝k x(k＜0，k 为常数)在(－∞，0)上的单调性． 【答案】增函数 【解析】设 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1＜x2，则 g(x1)－g(x2)＝ k x1－ k x2＝k(x2－x1) x1x2 ， Δy Δx＝g(x1)－g(x2) x1－x2 ＝－ k x1x2. ∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴Δy Δx＝－ k x1x2＞0， ∴g(x)＝k x(k＜0)在(－∞，0)上为增函数． 10．已知函数 f(x)＝2x－1 x＋1 ，x∈[3,5]． (1)判断函数在区间[3,5]上的单调性，并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值． 【答案】（1）增函数；（2）最大值5 4，最小值3 2 【解析】(1)函数 f(x)在[3,5]上是增函数． 证明：设任意 x1，x2 满足 3≤x1＜x2≤5，则 f(x1)－f(x2)＝2x1－1 x1＋1 －2x2－1 x2＋1 ＝ (2x1－1)(x2＋1)－(2x2－1)(x1＋1) (x1＋1)(x2＋1) ＝ 3(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1)， 所以Δy Δx＝f(x1)－f(x2) x1－x2 ＝ 3 (x1＋1)(x2＋1). 因为 3≤x1＜x2≤5，所以 x1＋1＞0，x2＋1＞0， 所以Δy Δx＝ 3 (x1＋1)(x2＋1)＞0， 所以 f(x)＝2x－1 x＋1 在[3,5]上是增函数． (2)f(x)min＝f(3)＝2 × 3－1 3＋1 ＝5 4， f(x)max＝f(5)＝2 × 5－1 5＋1 ＝3 2. 二、拓展提升 11．若函数 f(x)＝－x2＋10 的图像上一点(3 2，31 4 )及邻近一点(3 2＋Δx，31 4 ＋Δy)，则Δy Δx＝(  ) A．3          B．－3 C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3 【答案】D  【解析】∵Δy＝f(3 2＋Δx)－f(3 2 )＝－3Δx－(Δx)2， ∴Δy Δx＝ －3Δx－(Δx)2 Δx ＝－3－Δx，故选 D. 12.函数 y＝x2 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率为 k1，在 x0－Δx 到 x0 之间的平均变化率为 k2， 则 k1 与 k2 的大小关系为(  ) A．k1＞k2 B．k1＜k2 C．k1＝k2 D．不确定 【答案】D  【解析】k1＝f(x0＋Δx)－f(x0) Δx ＝2x0＋Δx，k2＝f(x0)－f(x0－Δx) Δx ＝2x0－Δx.因为 Δx 可大于零也可小 于零，所以 k1 与 k2 的大小关系不确定． 13．已知曲线 y＝1 x－1 上两点 A(2，－1 2)，B2＋Δx，－1 2＋Δy，当 Δx＝1 时，割线 AB 的斜率为 ________． 【答案】－1 6  【解析】∵Δy＝( 1 2＋Δx－1)－(1 2－1 ) ＝ 1 2＋Δx－1 2＝2－(2＋Δx) 2(2＋Δx) ＝ －Δx 2(2＋Δx)， ∴Δy Δx＝ －Δx 2(2＋Δx) Δx ＝ －1 2(2＋Δx)， 即 k＝Δy Δx＝－ 1 2(2＋Δx). ∴当 Δx＝1 时，k＝－ 1 2 × (2＋1)＝－1 6. 14．如图是函数 y＝f(x)的图像，则函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________． 【答案】3 4  【解析】由函数 f(x)的图像知， f(x)＝Error! 所以函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f(2)－f(0) 2－0 ＝ 3－3 2 2 ＝3 4. 15．已知函数 f(x)＝x2＋2x＋a x ，x∈[1，＋∞)． (1)当 a＝1 2时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)＞0 恒成立，试求实数 a 的取值范围． 【答案】（1）7 2 （2）(－3，＋∞) 【解析】(1)当 a＝1 2时，f(x)＝x＋ 1 2x＋2. 设 1≤x1＜x2，则 f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·(1－ 1 2x1x2)， ∴Δy Δx＝f(x2)－f(x1) x2－x1 ＝2x1x2－1 2x1x2 . ∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2， ∴Δy Δx＝2x1x2－1 2x1x2 ＞0， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为 f(1)＝7 2. (2)在区间[1，＋∞)上 f(x)＞0 恒成立⇔x2＋2x＋a＞0 恒成立． 设 y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数 y＝x 2＋2x＋a＝(x＋1) 2＋a－1 在区间[1，＋∞)上是增函 数． 所以当 x＝1 时，y 取最小值，即 ymin＝3＋a， 于是当且仅当 ymin＝3＋a＞0 时，函数 f(x)＞0 恒成立， 故 a＞－3，实数 a 的取值范围为(－3，＋∞).