2020-2021学年高一数学课时同步练习 第26课 第3章 章末综合

第二单元 等式与不等式 第 26 课 第 3 章 章末综合 一、基础巩固 1.函数 f(x)＝ x－1 x－2 的定义域为(  ) A.(1，＋∞)         B.[1，＋∞) C.[1，2) D.[1，2)∪(2，＋∞) 【答案】D 【解析】根据题意有{x－1 ≥ 0， x－2 ≠ 0， 解得 x≥1 且 x≠2. 2.已知 f(x 2－1 )＝2x＋3，则 f(6)的值为(  ) A.15 B.7 C.31 D.17 【答案】C 【解析】令x 2－1＝t，则 x＝2t＋2. 将 x＝2t＋2 代入 f(x 2－1 )＝2x＋3， 得 f(t)＝2(2t＋2)＋3＝4t＋7. 所以 f(x)＝4x＋7，所以 f(6)＝4×6＋7＝31. 3.若函数 f(x)＝ax2＋bx＋1 是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】A 【解析】因为函数 f(x)＝ax2＋bx＋1 是定义在[－1－a，2a]上的偶函数，所以－1－a＋2a＝0，所 以 a＝1，所以函数的定义域为[－2，2].因为函数图像的对称轴为 x＝0，所以 b＝0，所以 f(x)＝x2＋1， 所以 x＝±2 时函数取得最大值，最大值为 5. 4.已知 f(x)＝－x－x3，x∈[a，b]，且 f(a)·f(b)＜0，则 f(x)＝0 在[a，b]内(  ) A.至少有一个实根 B.至多有一个实根 C.没有实根 D.有唯一实根 【答案】D 【解析】f(x)＝－x－x3 在[a，b]上单调递减，且 f(a)·f(b)＜0，所以 f(x)＝0 在[a，b]内有唯一解. 5.已知函数 f(x)＝{1－x2，x ≤ 1， x2－x－3，x > 1，则 f ( 1 f(3) )的值为(  ) A. 15 16 B.－ 27 16 C. 8 9 D.18 【答案】C 【解析】由题意得 f(3)＝32－3－3＝3，那么 1 f(3)＝ 1 3，所以 f( 1 f(3) )＝f(1 3 )＝1－(1 3 ) 2 ＝ 8 9. 6.函数 f(x)＝ x x2＋a的图像不可能是(  ) 【答案】D 【解析】函数表达式中含有参数 a，要对参数进行分类讨论.若 a＝0，则 f(x)＝ x x2＝ 1 x，选项 C 符合； 若 a＞0，则函数定义域为 R，选项 B 符合；若 a＜0，则 x≠± －a，选项 A 符合，所以不可能是选项 D. 7.已知 f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则 f(2)＝    . 【答案】6 【解析】根据已知条件，得 g(－2)＝f(－2)＋9，又 f(x)为奇函数，所以 f(－2)＝－f(2)，则 3＝－f(2) ＋9，解得 f(2)＝6. 8.设函数 f(x)＝ x2＋(a＋1)x＋a x 为奇函数，则实数 a＝    . 【答案】－1 【解析】f(x)＝ x2＋(a＋1)x＋a x ＝x＋ a x＋a＋1， 因此有 f(－x)＝－x＋ a －x＋a＋1， 因为 f(x)为奇函数， 所以 f(－x)＋f(x)＝0， 即 2a＋2＝0，所以 a＝－1. 9.若关于 x 的不等式 ax＞b 的解集为 (－∞， 1 5)，则关于 x 的不等式 ax2＋bx－ 4 5a＞0 的解集 为    . 【答案】(－1， 4 5) 【解析】由已知 ax＞b 的解集为(－∞，1 5)，可知 a＜0，且 b a＝ 1 5，将不等式 ax2＋bx－ 4 5a＞0 两边同 除以 a，得 x2＋ b ax－ 4 5＜0，即 x 2＋ 1 5x－ 4 5＜0，即 5x 2＋x－4＜0，解得－1＜x＜ 4 5，故所求解集为 (－1， 4 5). 10.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)＝2x－ a x，且 f(1 2 )＝3. (1)求实数 a 的值； (2)判断函数 f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明. 【答案】（1）a＝－1；（2）单调递增 【解析】(1)因为 f(x)＝2x－ a x，且 f(1 2 )＝3， 所以 f(1 2 )＝1－2a＝3，解得 a＝－1. (2)由(1)得 f(x)＝2x＋ 1 x，f(x)在(1，＋∞)上单调递增. 证明如下： 设 x1＞x2＞1， 则 f(x1)－f(x2)＝2x1＋ 1 x1－2x2－ 1 x2＝(x1－x2) 2x1x2－1 x1x2 . 因为 x1＞x2＞1， 所以 x1－x2＞0，2x1x2－1＞0，x1x2＞0， 所以 f(x1)＞f(x2)， 所以 f(x)在(1，＋∞)上单调递增. 二、拓展提升 11.若关于 x 的不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1，4)内有解，则实数 a 的取值范围是(  ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 【答案】A 【解析】不等式 x2－4x－2－a＞0 在区间(1，4)内有解等价于 a＜(x2－4x－2)max，令 g(x)＝x2－4x－ 2，x∈(1，4)，所以 g(x)＜g(4)＝－2，所以 a＜－2. 12.在 R 上定义运算：|a b c d |＝ad－bc.若不等式|x－1 a－2 a＋1 x |≥1 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的 最大值为    . 【答案】 3 2 【解析】原不等式等价于 x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1， 即 x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意 x 恒成立. x2－x－1＝(x－1 2 ) 2 － 5 4≥－ 5 4， 所以－ 5 4≥a2－a－2，解得－ 1 2≤a≤ 3 2. 13.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R. (1)若 a＝2，试求函数 y＝ f(x) x (x＞0)的最小值； (2)对于任意的 x∈[0，2]，不等式 f(x)≤a 成立，试求 a 的取值范围. 【答案】（1）－2；（2）[3 4，＋∞) 【解析】(1)依题意得 y＝ f(x) x ＝ x2－4x＋1 x ＝x＋ 1 x－4. 因为 x＞0，所以根据均值不等式可得 x＋ 1 x≥2. 当且仅当 x＝ 1 x时，即 x＝1 时，等号成立. 所以 y≥－2. 所以当 x＝1 时，y＝ f(x) x 的最小值为－2. (2)因为 f(x)－a＝x2－2ax－1. 所以要使得“∀x∈[0，2]，不等式 f(x)≤a 成立”， 只要“x2－2ax－1≤0 在[0，2]恒成立”. 不妨设 g(x)＝x2－2ax－1， 则只要 g(x)≤0 在[0，2]上恒成立即可. 所以{g(0) ≤ 0， g(2) ≤ 0， 即{0－0－1 ≤ 0， 4－4a－1 ≤ 0， 解得 a≥ 3 4. 则 a 的取值范围为[3 4，＋∞). 14.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)＝ 3－ax a－1 (a≠1). (1)若 a＞0，求 f(x)的定义域； (2)若 f(x)在区间(0，1]上是减函数，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1）(－∞， 3 a]；（2）(－∞，0)∪(1，3] 【解析】(1)当 a＞0 且 a≠1 时，由 3－ax≥0 得 x≤ 3 a，即函数 f(x)的定义域是(－∞， 3 a]. (2)当 a－1＞0，即 a＞1 时，要使 f(x)在(0，1]上是减函数，则需 3－a×1≥0，此时 1＜a≤3. 当 a－1＜0，即 a＜1 时，要使 f(x)在(0，1]上是减函数，则需－a＞0，且 3－a×1≥0，此时 a＜0. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是(－∞，0)∪(1，3]. 15.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)的最小值为 1，且 f(0)＝f(2)＝3. (1)求 f(x)的解析式； (2)若 f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数 a 的取值范围； (3)在区间[－1，1]上，y＝f(x)的图像恒在 y＝2x＋2m＋1 图像的上方，试确定实数 m 的取值范围. 【答案】（1）f(x)＝2x2－4x＋3；（2）0