易错点 12 模拟卷（一）
一、单选题
1．（2020·海南省高考真题） =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
故选：B
2．（2019·辽宁省高考模拟（文））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合
集合 ＝{x|﹣2
2 2
2 1 2x
x x x
−= − + =
2
x
= + 2
2 1
x x
= − + − 2
2
2x x
x
− + −= ＜
2= + 1= +
2
2 lnx
x x
+＜ 2
2 lnx
x x
= + 3
4 x xlnx
x
− + −=
∴g（x） 在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，
∴不存在正实数 k，使得 f（x）＞kx 恒成立，即 C 不正确；
D.令 t∈（0，2），则 2﹣t∈（0，2），2+t＞2，
令 g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t） ln（2+t） ln（2﹣t） ln ，
则 g′（t） 0，
∴g（t）在（0，2）上单调递减，
则 g（t）＜g（0）＝0，
令 x1＝2﹣t，
由 f（x1）＝f（x2），得 x2＞2+t，
则 x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，
当 x2≥4 时，x1+x2＞4 显然成立，
∴对任意两个正实数 x1，x2，且 x2＞x1，若 f（x1）＝f（x2），则 x1+x2＞4，故 D 正确
故正确的是 BD，
故选：BD．
第 II 卷（非选择题)
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三、填空题
13．（2020·重庆高三月考（理）） 展开式的常数项是__________．
【答案】-8
【解析】因为 的通项为 ，
所以展开式的常数项为 。
14．（2020·全国高二）若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出 0
到 9 之间取整数的随机数，指定 0，1，2，3 表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9 表示击中目标，
以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组如下的随机数：
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
2
2 lnx
x x
= +
2
2 t
= ++
2
2 t
− −− 2
4
4
t
t
= +−
2
2
t
t
+
−
( )2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 8 2 2 2 4 16 4 8
( 4) 2 (2 ) ( 4) 4 ( 4)
t t t t t t t
t t t t t t
− − − − + + − − −= + ⋅ = + =− + − − − − ＜
2 51( 2)( 1)x x
− −
51 1x
−
( )1 5
1 1
n r
rr
rT C x
−
+
= −
( ) ( ) ( )2 0
3 52 3 5
5 5
1 11 + 2 1 = 10+2= 8x C Cx x
− − − − −
根据以上数据估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为__________．
【答案】
【解析】由随机数表可知,共有 20 个随机事件,其中该运动员射击 4 次至少击中 3 次
有:9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424,共有 7 个随机事件,因此估计该运动员射击 4 次至少击中 3 次
的概率为 .
故答案为
15．（2020·浙江省高二期末）若不等式 在 上恒成立，则正实数 的取
值范围是________.
【答案】
【解析】设 ，其中 .
①当 时，即当 时， ，
则函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
， ，则 ，解得 ，此时 ；
②当 时，即当 时， .
（i）若 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间
单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
， ， ， ，所以， ，解得
，不合题意；
（ii）当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
， ， ，
7
20
7
20
7
20
2 2 3x x a a− − ≤ − [ ]1,1x∈ − a
5 ,3
+∞
( ) 2 2f x x x a= − − [ ]1,1x ∈ −
2 1a ≥ 1
2a ≥ ( ) 2 2f x x x a= + −
( )y f x= 11, 2
− −
1 ,12
−
( )1 2 2f a= − ( )1 2f a− = − ( )max 2 2 3f x a a= − ≤ − 5
3a ≥ 5
3a ≥
0 2 1a< < 10 2a< < ( ) 2 2 2 , 1 2 2 ,2 1 x x a x af x x x a a x + − − ≤ ≤= − + < ≤ 10 2 2a< < 10 4a< ≤ ( )y f x= 11, 2 − − 1 ,22 a − 12 , 2a 1 ,12 ( )1 2f a− = − ( ) 22 4f a a= ( )1 2f a= ( ) ( )2 1f a f< ( )max 2 3f x a a= ≤ − 3a ≤ − 1 2 12 a≤ < ( )y f x= 11, 2 − − 1 ,12 − ( )1 2f a− = − ( )1 2f a= ( ) ( )1 1f f> −
则 ，解得 ，不合题意.
综上所述，正实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、双空题
16．（2020·浙江省高一期中）如图所示，矩形 满足 ，点 是以 为圆心且
与直线 相切的圆上的任意一点，设 ，则 的取值范围是_______；
的取值范围是____.
【答案】
【解析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标
系，
则点 、 、 、 ，
直线 的方程为 ，即 ，
( )max 2 3f x a a= ≤ − 3a ≤ −
a 5 ,3
+∞
5 ,3
+∞
ABCD 2 4AB BC= = M C
BD AM AB ADλ µ= + λ µ+
AM DB⋅
[ ]1,3 [ ]4,20
A AB AD x y
( )0,0A ( )4,0B ( )4,2C ( )0,2D
BD 14 2
x y+ = 2 4 0x y+ − =
圆 的半径为 ，所以，圆 的方程为 ，
设点 ，
，即 ，
所以， ，可得 ，
所以， ，其中 为锐角，且 ，
，
，
其中 为锐角，且 .
故答案为： ； .
五、解答题
17．（2020·海南省高考真题）在①푎푐 = 3，②푐sin퐴 = 3，③푐 = 3푏这三个条件中任选一个，补充
在下面问题中，若问题中的三角形存在，求푐的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 △ 퐴퐵퐶，它的内角퐴,퐵,퐶的对边分别为푎,푏,푐，且sin퐴 = 3sin퐵，퐶 = 휋
6，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】解法一：
由sin퐴 = 3sin퐵可得：푎
푏 = 3，
不妨设푎 = 3푚,푏 = 푚(푚 > 0)，
则：푐2 = 푎2 + 푏2 ― 2푎푏cos퐶 = 3푚2 + 푚2 ― 2 × 3푚 × 푚 × 3
2 = 푚2，即푐 = 푚.
选择条件①的解析：
C 4 2 2 4 4 5
55
r
+ × −= = C ( ) ( )2 2 164 2 5x y− + − =
4 5 4 54 cos ,2 sin5 5M θ θ + +
AM AB ADλ µ= +
( ) ( ) ( )4 5 4 54 cos ,2 sin 4,0 0,2 4 ,25 5
θ θ λ µ λ µ + + = + =
4 54 4 cos5
4 52 2 sin5
λ θ
µ θ
= +
= +
51 cos5
2 51 sin5
λ θ
µ θ
= +
= +
( ) [ ]2 5 5sin cos 2 sin 2 1,35 5
λ µ θ θ θ ϕ+ = + + = + + ∈ ϕ 1tan 2
ϕ =
( )4, 2DB = −
4 5 4 5 8 5 16 54 4 cos 2 2 sin 12 sin cos5 5 5 5AM DB θ θ θ θ ⋅ = + − + = − −
( ) [ ]12 8sin 4,20θ α= − − ∈
α tan 2α =
[ ]1,3 [ ]4,20
据此可得：푎푐 = 3푚 × 푚 = 3푚2 = 3， ∴ 푚 = 1，此时푐 = 푚 = 1.
选择条件②的解析：
据此可得：cos퐴 = 푏2 + 푐2 ― 푎2
2푏푐 = 푚2 + 푚2 ― 3푚2
2푚2 = ― 1
2，
则：sin퐴 = 1 ― ( ― 1
2)
2
= 3
2 ，此时：푐sin퐴 = 푚 × 3
2 = 3，则：푐 = 푚 = 2 3.
选择条件③的解析：
可得푐
푏 = 푚
푚 = 1，푐 = 푏，
与条件푐 = 3푏矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵푠푖푛퐴 = 3푠푖푛퐵,퐶 = 휋
6,퐵 = 휋 ― (퐴 + 퐶),
∴푠푖푛퐴 = 3푠푖푛(퐴 + 퐶) = 3푠푖푛(퐴 + 휋
6),
푠푖푛퐴 = 3푠푖푛(퐴 + 퐶) = 3푠푖푛퐴· 3
2 + 3푐표푠퐴·1
2 ，
∴푠푖푛퐴 = ― 3푐표푠퐴,∴푡푎푛퐴 = ― 3,∴퐴 = 2휋
3 ,∴퐵 = 퐶 = 휋
6,
若选①，푎푐 = 3,∵푎 = 3푏 = 3푐,∴ 3푐2 = 3,∴c=1;
若选②，푐푠푖푛퐴 = 3,则 3푐
2 = 3,푐 = 2 3;
若选③,与条件푐 = 3푏矛盾.
18．（2020·天津耀华中学高三二模）如图，在四棱锥 中， 底面
， ，点 为棱 的中点．
（1）证明： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 为棱 上一点，满足 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【解析】依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得 ，
P ABCD− PA ⊥
, , / /ABCD AD AB AB DC⊥ 2, 1AD DC AP AB= = = = E PC
BE DC⊥
BE PBD
F PC BF AC⊥ F AB P− −
3
3
3 10
10
E (1,0,0), (2,2,0)B C
，由点 为棱 的中点，得 ．
（1）向量 ， ，故 ． ∴ ．
（2）向量 ，设 为平面 的法向量，则 ，
即 ，
不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量．
于是有 ，
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（3） ，
由点 在棱 上，故 ，
由 ，得 ，解得 ，即 ．
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，不妨令 ，
可得 为平面 的一个法向量．取平面 的法向量 ，则
．
(0,2,0), (0,0,2)D P E PC ( )1,1,1E
( )0,1,1BE = ( )2,0,0DC = 0BE DC⋅ = BE CD⊥
( 1,2,0), (1,0, 2)BD PB= − = − ( )1 , ,n x y z= PBD
0
0
n BD
n PB
⋅ =
⋅ =
2 0
2 0
x y
x z
− + =
− =
1z = ( )2,1,1n = PBD
2 3cos , 3| | | | 6 2
n BEn BE
n BE
×〈 〉 = = =
× ×
BE PBD 3
3
( )2, 2,2 , (2,2,0), (1,0,0),CP AC AB= − − = =
F PC (1 2 ,2 2 ,2 )BF BC CF BC lCP l l l= + = + = − −
BF AC⊥ +22(1 2 ) (2 2 =0)l l− − 3
4l = 1 1 3, ,2 2 2BF = −
1 ( , , )n x y z= ABF 1
1
0
0
n AB
n BF
⋅ =
⋅ =
0
1 1 3 02 2 2
x
x y z
=− + + =
1z =
1 (0, 3,1)n = − ABF PAB 2 (0,1,0)n =
1 2
1 2
1 2
3 3 10cos , 1010
n nn n
n n
⋅ −= = = −
⋅
易知，二面角 是锐角，∴其余弦值为 ．
19．（2020·四川省高三月考（文））某餐厅通过查阅了最近 5 次食品交易会参会人数 （万
人）与餐厅所用原材料数量 （袋），到如下统计表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
参会人数 （万人） 13 9 8 10 12
原材料 （袋） 32 23 18 24 28
（1）根据所给 5 组数据，求出 关于 的线性回归方程 ；
（2）已知购买原材料的费用 （元）与数量 （袋）关系为 ，投
入使用的每袋原材料相应的销售收入为 700 元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大
约有 15 万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大
利润，最大利润是多少？（注：利润 销售收入 原材料费用）..
参考公式： ， .
参考数据： ， ， .
【答案】(1) .
（2）餐厅应该购买 36 袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为 11520 元.
【解析】(1)由所给数据可得： ， ，
， ，
则 关于 的线性回归方程为 .
(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当 时， ，即预计需要原材料 袋，
F AB P− − 3 10
10
x
y
x
y
y x ˆ ˆy bx a= +
C t
( )
( )
400 20,0 36
380 , 36
t t t NC t t t N
− < < ∈= ≥ ∈ L = − ( )( ) ( ) ^ 1 1 1 1 2 1 2 n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y b x x x nxy nx = = = = − − = = − − −∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bx= − 5 1 1343i i i x y = =∑ 5 2 1 558i i x = =∑ 5 2 1 3237i i y = =∑ 2.5 1y x= − 13 9 8 10 12 10.45x + + + += = 32 23 18 24 28 255y + + + += = 5 1 5 22 2 1 5 1343 5 10.4 25 2.5558 5 10.45 ˆ i ii ii x y xy b x x = = − − × ×= = =− ×− ∑ ∑ 25 2.5 10.4 1ˆˆa y bx= − = − × = − y x 2.5 1ˆ ˆy x= − 15x = 36.5y = 36.5
因为 ，所以
当 时，利润 ，
当 时， ；
当 时，利润 ，
当 时， ，
当 时， ．
综上所述，餐厅应该购买 36 袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为 11520 元.
20．（2020·天津高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【解析】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 q.
由 ， ，可得 d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又 q≠0，可得 ，解得 q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
400 20,0 36,
380 , 36,
t t t NC t t t N
− < < ∈= ≥ ∈ 36t < ( )700 400 20 300 20L t t t= − − = + 35t = max 300 35 20 10480L = × − = 36t≥ 700 380 320L t t t= − = 36t = 700 36 380 36 11520L = × − × = 37t = 700 36.5 380 37 11416L = × − × = { }na { }nb ( ) ( )1 1 5 4 3 5 4 31, 5 , 4a b a a a b b b= = = − = − { }na { }nb { }na n nS ( )2 * 2 1n n nS S S n+ +< ∈N n ( ) 2 1 1 3 2 , , , . n n n n n n n a b na ac a nb + − + − = 为奇数 为偶数 { }nc 2n na n= 12n nb −= 4 6 5 4 2 1 9 4 9 n n n n +− −+ × { }na d { }nb 1 1a = ( )5 4 35a a a= − { }na na n= ( )1 5 4 31, 4b b b b= = − 2 4 4 0q q− + = { }nb 12n nb −= ( 1) 2n n nS +=
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当 n 为奇数时， ，
当 n 为偶数时， ，
对任意的正整数 n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前 2n 项和为 .
21．（2020·山西省高三月考（理））已知椭圆 ： 的离心率为 ，且椭圆
2
1 ( 1)( 2)( 3)4n nS S n n n n+ = + + + ( ) ( )2 22
1
1 1 24nS n n+ = + +
2
2 1
1 ( 1)( 2) 02n n nS S S n n+ +− = − + + < 2 2 1n n nS S S+ +< ( ) 1 1 1 2 3 2 (3 2)2 2 2 ( 2) 2 n n n n n n n n a b nc a a n n n n − + − + − −= = = −+ + 1 1 1 2 n n n n a nc b − + −= = 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 12 1 2 1 2 1 k k nn n k k k c k k n − − = = = − = − + − + ∑ ∑ 2 2 3 1 1 1 2 1 1 3 5 2 3 2 1 4 4 4 4 4 4 n n k k n n k k k n nc − = = − − −= = + + + + +∑ ∑ 2 2 3 14 1 1 1 3 5 2 3 2 1 4 4 4 4 4 4 n k n n k n nc + = − −= + + + + +∑ 2 2 1 1 1 2 113 1 2 2 2 1 1 2 14 4 14 4 4 4 4 4 41 4 nn k n n n k n nc + + = − − − = + + + − = − − − ∑ 1 1 2 11 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 5 6 54 4 1 4 4 3 3 4 4 4 4 12 3 41 4 n n n n n n n n + + − − − + − − = − × − − × = − ×− 2 1 5 6 5 9 9 4 n k n k nc = += − ×∑ 2 2 1 2 1 1 1 4 6 5 4 2 1 9 4 9 nn n n k k k n k k k nc c c n− = = = += + = − −+ ×∑ ∑ ∑ { }nc 4 6 5 4 2 1 9 4 9 n n n n +− −+ × M 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3
2
上一点 的坐标为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，且以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，求
面积的最大值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1）由已知 ，又 ，则 .
椭圆方程为 ，将 代入方程得 ， ，
故椭圆的方程为 ；
（2）不妨设直线 的方程 ，
联立 消去 得 .
设 ， ，则有 ， ①
又以线段 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，∴ ，
由 ， 得 ，
将 ， 代入上式得
，
将①代入上式求得 或 （舍），
则直线 恒过点 .
∴ ，
P 22, 2
M
l M A B AB C ABC∆
2
2 14
x y+ = 16
25
3
2
ce a
= = 2 2 2a b c= + 2a b=
2 2
2 2 14
x y
b b
+ = 2( 2, )2
1b = 2a =
2
2 14
x y+ =
AB x ky m= +
2
2 14
x y
x ky m
+ =
= +
x ( )2 2 24 2 4 0k y kmy m+ + + − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 2
2
4
kmy y k
−+ = +
2
1 2 2
4
4
my y k
−⋅ = +
AB C 0CA CB⋅ =
1 1( 2, )CA x y= −
2 2( 2, )CB x y= − ( )( )1 2 1 22 2 0x x y y− − + =
1 1x ky m= + 2 2x ky m= +
( ) ( )2 2
1 2 1 21 ( 2) ( 2) 0k y y k m y y m+ + − + + − =
6
5m = 2m =
l 6( ,0)5
( )2
1 2 1 2 1 2
1 1 4| | 42 2 5ABCS DC y y y y y y∆ = − = + − ⋅×
( )
( )
2
22
25 4 368
25 4
k
k
+ −
=
+
设 ，则 在 上单调递增，
当 时， 取得最大值 .
22．（2020·全国高三其他（文））已知 ．
（1）设 是 的极值点，求实数 的值，并求 的单调区间：
（2） 时，求证： ．
【答案】（1） 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； （2）见解析.
【解析】（1）由题意，函数 的定义域为 ，
又由 ，且 是函数 的极值点，
所以 ，解得 ，
又 时，在 上， 是增函数，且 ，
所以 ，得 ， ，得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）由（1）知因为 ，在 上， 是增函数，
又 （且当自变量 逐渐趋向于 时， 趋向于 ），
所以， ，使得 ，
所以 ，即 ，
在 上， ，函数 是减函数，
在 上， ，函数 是增函数，
所以，当 时， 取得极小值，也是最小值，
2
1 1(0 )4 4t tk
= < ≤+ 28 36 2525ABCS t t∆ = − + 1(0, ]4t ∈ 1 4t = ABCS∆ 16 25 21( ) ln2 xf x x ae x= + − 1 2x = ( )f x a ( )f x 0a > ( ) 1
2f x >
3
2
ea e
= 1 ,2
+∞
10, 2
( )f x ( )0,+∞
( ) 1xf x x ae x
′ = + − 1
2x = ( )f x
1
21 1 2 02 2f ae = +′ − =
3
2
ea e
=
0a > ( )0,+∞ ( )f x′ 1 02f =
′
( ) 0f x′ > 1
2x > ( ) 0f x′ < 10 2x< < ( )f x 1 ,2 +∞ 10, 2 0a > ( )0,+∞ ( ) 1xf x x ae x
′ = + −
( )1 1 1 0f ae′ = + − > x 0 ( )f x′ −∞
( )0 0,1x∃ ∈ ( )0 0f x′ =
0
0
0
1 0xx ae x
+ − = 0
0
0
1xae xx
= −
( )00,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
0x x= ( )f x
所以 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，函数 单调递减，所以 ，
即 成立，
( ) ( ) 02 2
0 0 0 0 0 0 0min
0
1 1 1ln ln ,(0 1)2 2
xf x f x x ae x x x x xx
= = + − = + − − < < ( ) 21 1 ln ,(0 1)2g x x x x xx = + − − < < ( ) ( )2 2 1 1 11 1 xg x x xx x x += − − − = − −′ ( )0,1x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ) ( ) 11 2g x g> =
( ) ( )min
1
2f x f x≥ >
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