2020-2021学年高三数学一轮复习易错题09 解析几何

易错点 09 解析几何 —备战 2021 年高考数学一轮复习易错题 【典例分析】 例 1 （2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知曲线 .（ ） A. 若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B. 若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 C. 若 mn0，则 C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】 结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表 示双曲线， 时表示两条直线. 【详解】对于 A，若 ，则 可化为 ， 因为 ，所以 ， 即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，若 ，则 可化为 ， 2 2: 1C mx ny+ = n my xn = ± − 0m n> > 0m n= > 0mn < 0, 0m n= > 0m n> > 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = 0m n> > 1 1 m n < C y 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n + =此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确； 对于 C，若 ，则 可化为 ， 此时曲线 表示双曲线， 由 可得 ，故 C 正确； 对于 D，若 ，则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重 考查数学运算的核心素养. 例 2 （2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）斜率为 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 =________． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去 y 并整理得到关于 x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长 转化求得结果. C n n 0mn < 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = C 2 2 0mx ny+ = my xn = ± − 0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n = ny n = ± C x 3 AB 16 3【详解】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线 焦点 F 坐标为 ， 又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为： 代入抛物线方程消去 y 并化简得 ， 解法一：解得 所以 解法二： 设 ，则 , 过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示. 故答案为： 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 例 3 （2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）.已知椭圆 C： 的2 4y x= (1,0)F 3 3( 1)y x= − 23 10 3 0x x− + = 1 2 1 , 33x x= = 2 1 2 1 16| | 1 | | 1 3 | 3 |3 3AB k x x= + − = + ⋅ − = 100 36 64 0∆ = − = > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 10 3x x+ = ,A B 1x = − ,C D 1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x= + = + = + + + 1 2 16+2= 3x x= + 16 3的离心率为 ，且过点 A（2，1）． （1）求 C 的方程： （2）点 M，N 在 C 上，且 AM⊥AN，AD⊥MN，D 为垂足．证明：存在定点 Q，使得|DQ| 为定值． 【答案】（1） ；（2）详见解析. 【解析】 【分析】 (1)由题意得到关于 a,b,c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程. (2)设出点 M，N 的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根 据已知条件，已得到 m,k 的关系，进而得直线 MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验 证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点 Q 的位置. 【详解】(1)由题意可得： ，解得： ，故椭圆方程为： . (2)设点 . 因为 AM⊥AN，∴ ，即 ,① 当直线 MN 的斜率存在时，设方程为 ,如图 1. 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 16 3 x y+ = y kx m= + 2 2 2 2 2 3 2 4 1 1 c a a b a b c  =   + =  = +  2 2 26, 3a b c= = = 2 2 16 3 x y+ = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y · 0AM AN =  ( )( ) ( )( )1 2 1 22 2 1 1 0x x y y− − + − − = y kx m= +代入椭圆方程消去 并整理得： ②, 根据 ,代入①整理可得： 将②代入， ， 整理化简得 , ∵ 不在直线 上，∴ ， ∴ ， 于是 MN 的方程为 ， 所以直线过定点直线过定点 . 当直线 MN 的斜率不存在时，可得 ,如图 2. 代入 得 , 结合 ,解得 , 此时直线 MN 过点 , ,y ( )2 2 21 2k 4 2 6 0x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 6,1 2 1 2 km mx x x xk k −+ = − =+ + 1 1 2 2,y kx m y kx m= + = + ( ) ( )( ) ( )22 1 2 1 2k 1 x 2 1 4 0x km k x x m+ + − − + + − + = ( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 6 4k 1 2 1 4 01 2 1 2 m kmkm k mk k −  + + − − − + − + = + +  ( )( )2 3 1 2 1 0k m k m+ + + − = 2,1A（ ） MN 2 1 0k m+ − ≠ 2 3 1 0 1k m k+ + = ≠， 2 1 3 3y k x = − −   2 1,3 3E  −   ( )1 1,N x y− ( )( ) ( )( )1 2 1 22 2 1 1 0x x y y− − + − − = ( )2 2 1 22 1 0x y− + − = 2 2 1 1 16 3 x y+ = ( )1 1 22 , 3x x= =舍 2 1,3 3E  −   由于 AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边， 所以 AE 中点 Q 满足 为定值（AE 长度的一半 ）. 由于 ，故由中点坐标公式可得 . 故存在点 ，使得|DQ|为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证 明直线 MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大. 【易错警示】 易错点 1．忽视斜率不存在致误 例 1　已知直线方程为 3x＋my－6＝0，求此直线的斜率与此直线在 y 轴上的截距． 【错解】由 3x＋my－6＝0，得 my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为 y＝－3 mx＋6 m，得出此 直线的斜率为－3 m，在 y 轴上的截距为6 m. 【错因】忘记讨论当 m＝0 时，直线的斜率并不存在． 【正解】当 m＝0 时，直线可化为 x＝2，此时直线的斜率不存在，在 y 轴上的截距也不存在； QD 2 21 2 1 4 22 12 3 3 3    − + + =       ( ) 2 1,32,1 3,A E  −   4 1,3 3Q     4 1,3 3Q    当 m≠0 时，可得 my＝－3x＋6，即直线的斜截式方程为 y＝－3 mx＋6 m，得出此直线的斜率为－ 3 m，在 y 轴上的截距为6 m. 易错点 2.忽视截距为 0 致误 例 3　求过点(2,4)且在坐标轴上的截距之和为 0 的直线方程． 【错解】设直线的方程为x a＋ y －a＝1. 因为直线过点(2,4)，所以2 a＋ 4 －a＝1，解得 a＝－2. 故所求的直线方程为 x －2＋y 2＝1，即 x－y＋2＝0. 【错因】直线的截距式方程只适用于截距不为 0 和不平行于坐标轴的情形，本题由截距式求 解时没有考虑截距为 0 的情形，导致漏解． 【正解】当直线的截距均不为 0 时，同错解； 当直线的截距均为 0 时，直线过原点， 此时直线的斜率为 k＝2， 直线的方程为 y＝2x，即 2x－y＝0. 故所求的直线方程为 2x－y＝0 或 x－y＋2＝0. 易错点 3.忽视隐含条件致错 例 3　若过点 A(4,2)可以作两条直线与圆 C：(x－3m)2＋(y－4m)2＝25(m＋4)2 相切，则点 A 在圆 C 的________(填“外部”、“内部”、“上面”)，m 的取值范围是________． 【错解】因为过点 A 与圆有两条切线，可见点 A 必在圆的外部．因为点 A 在圆的外部，则 有(4－3m)2＋(2－4m)2>25(m＋4)2，因此有 240m  − >  − ≠ − 1 3t< < 3 5t< < 3t = 2 2 2x y+ = 2 2 15 1 x y t t + =− − y 5 0 1 0 5 1 t t t t − >  − >  − < − 3 5t< < 1t < 5 0, 1 0t t− > − < x 0t = 2 2 15 1 x y− = 2 6 2 2 15 1 x y t t + =− − 5 0 1 0 5 1 t t t t − >  − >  − ≠ − 1 3t< < 3 5t< < C ( )3, 2 3 3y x= ± C 2 2 13 x y− = C 3 2 1xy e −= − C 2 1 0x y− − = C C 3 3y x= ± 2 21 3y x=，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项 A 正确； 对于选项B：由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ， 所以 B 选项错误； 对于选项 C：双曲线的右焦点坐标为 ，满足 ，从而选项 C 正确； 对于选项 D：联立 ，整理，得 ，由 ，知直线与双曲线 只有一个交点，选项 D 错误. 故选 AC 4．已知 A、B 两点的坐标分别是 ，直线 AP、BP 相交于点 P，且两直线的斜率 之积为 m，则下列结论正确的是（ ） A．当 时，点 P 的轨迹圆（除去与 x 轴的交点） B．当 时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆（除去与 x 轴的交点） C．当 时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的抛物线 D．当 时，点 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线（除去与 x 轴的交点） 【答案】ABD 【解析】M 的坐标为 ，直线 AP 的斜率为 ， 由已知得， 化简得点 M 的轨迹方程为 ， 2 21 3 x y λ− = C ( )3, 2 2 21 3 ( 2)3 λ× − = 1λ = 3a = 1b = 2c = 2 2 3 33 ce a = = = ( )2,0 2 1xy e −= − 2 2 2 1 0 13 x y x y  − − = − = 2 2-2 2 0y y + = 2(2 2) 4 2 0∆ = − × = C ( 1,0),(1,0)− 1m = − 1 0m− < < 0 1m< < 1m > ( , )x y ( )11AP yk xx = ≠ −+ ( )11BM yk xx = ≠− ( )11 1 y y m xx x × = ≠ ±+ − ( )2 2 1 1yx xm + = ≠ ±−对 A，当 时，方程为 ，故 A 正确； 对 B，当 ，方程为 ，表示椭圆，故 B 正确； 对 C，当 ，方程为 ，不表示抛物线，故 C 错误； 对 D， ，方程为 ，表示双曲线线，故 D 正确； 故选：ABD. 5．设椭圆 的左右焦点为 ， ， 是 上的动点，则下列结论正确的是 （ ） A． B．离心率 C． 面积的最大值为 D．以线段 为直径的圆与直线 相切 【答案】AD 【解析】根据椭圆的定义判断 A 选项正确性，根据椭圆离心率判断 B 选项正确性，求得 面积的最大值来判断 C 选项的正确性，求得圆心到直线 的距离，与 半径 比较，由此判断 D 选项的正确性. 对于 A 选项，由椭圆的定义可知 ，所以 A 选项正确. 对于 B 选项，依题意 ，所以 ，所以 B 选项不正确. 对于 C 选项， ，当 为椭圆短轴顶点时， 的面积取得最大值为 1m = − 2 2 1( 1)x y x+ = ≠ ± 1 0m− < < ( )2 2 1 1yx xm + = ≠ ±− 0 1m< < ( )2 2 1 1yx xm + = ≠ ±− 1m > ( )2 2 1 1yx xm + = ≠ ±− 2 2: 12 xC y+ = 1F 2F P C 1 2 2 2PF PF+ = 6 2e = 1 2PF F∆ 2 1 2F F 2 0x y+ − = 1 2PF F∆ 2 0x y+ − = c 1 2 2 2 2PF PF a+ = = 2, 1, 1a b c= = = 1 2 22 ce a = = = 1 2 2 2F F c= = P 1 2PF F∆，所以 C 选项错误. 对于 D 选项，线段 为直径的圆圆心为 ，半径为 ，圆心到直线 的距离为 ，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段 为直径的圆与直线 相切，所以 D 选项正确. 综上所述，正确的为 AD. 故选：AD 6．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆 Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 ，则下列结 论正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】先根据已知的条件确定 和 的关系，以及 和 的关系，再判断正确选项． 由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，可得 ，由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点， 可得 ；因为 ，且 ，则 ，所以 A 正确；因为 ， 所以 B 正确；因为 ， ，则有 ，所以 C 错误；因为 1 2 12 c b c b⋅ ⋅ = ⋅ = 1 2F F ( )0,0 1c = 2 0x y+ − = 2 1 2 = 1 2F F 2 0x y+ − = 1a 2a 1c 2c 1 2,e e ( )1 1 2 22a c a c+ > + 1 1 2 2a c a c− = − 1 2 2 1a c a c> 2 1 1 2 ee += 1a 2a 1c 2c 2 12a a= 2 2 1a c c+ = 1 1 2 2 22a c a a c+ = + + 2 2a c> 1 1 2 2 2 2 22 2( )a c a a c a c+ = + + > + 1 1 2 2 2 2 22 ( )a c a a c a c− = − + = − 21 22 2a ac c= 2 1 2 2 2 2 2 2 2( )a ca c a a a c= + = + 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 22 2 ( ) 0a c a a c a a c a ac c− = − − = − 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ,PG GQ y y y y y yk kx x x x x x − − − += = =− − − + 2 2 1 0 2 2 1 0 1 2PG GQ y yk k x x −⋅ = = −− 1 1 1 1 12 2GQ EQ y y kk k x x x −= = = =− − 1 PGk k = − PG PQ⊥②直线 的方程为 ，联立 ，得 ， 则直线 ， 联立直线 和椭圆 ，可得 ， 则 ， ∴ ， 令 ，则 ， ∴ ， ∵ ， PQ ( 0)y kx x= > 2 2 14 2 y kx x y = + = 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 x k ky k  = +  = + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1: ( ) kPG y x x y x x kx x xk k k k k += − − + = − + + = − + PG C 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 4 ( 1) 2 ( 1)( 1) 4 0x k x kx xk k k + ++ − + − = 2 1 1 0 2 4 ( 1) 2 x kx x k ++ = + 2 1 1 1 0 1 2 1 1 4 ( 1)( )2 2 2PQG x kS y x x kx k∆ += + = ⋅ + 2 2 2 2 4 2 2 2 18( )8( 1) 8 ( 1) 1( 2)(2 1) 2 5 2 2( ) 5 kk k k k k k k k k k k ++ += = =+ + + + + + 1t k k = + 2t ≥ 2 2 8 8 8 12( 2) 5 2 1 2 PQG t tS t t t t ∆ = = =− + + + min 1 9(2 ) 2t t + =∴ . 10.出下列条件：①焦点在 轴上；②焦点在 轴上；③抛物线上横坐标为 的点 到其 焦点 的距离等于 ；④抛物线的准线方程是 . （1）对于顶点在原点 的抛物线 ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线 的方程是 ，并说明理由； （2）过点 的任意一条直线 与 交于 ， 不同两点，试探究是否总有 ？请说明理由. 【解析】（1）因为抛物线 的焦点 在 轴上，所以条件①适合，条件② 不适合. 又因为抛物线 的准线方程为： ，所以条件④不适合题意， 当选择条件③时， ，此时适合题意， 故选择条件①③时，可得抛物线 的方程是 ； （2）假设总有 ，由题意得直线 的斜率不为 ， 设直线 的方程为 ，由 得 设 ， ，所以 恒成立， ， ， 则 ， 所以 ， max 16( ) 9PQGS∆ = x y 1 A F 2 2x = − O C C 2 4y x= ( )4,0 l 2: 4C y x= A B OA OB⊥  2: 4C y x= ( )1,0F x 2: 4C y x= 1x = − 1 1 1 2AAF x= + = + = C 2 4y x= OA OB⊥  l 0 l 4x ty= + 2 4 4 y x x ty  =  = + 2 4 16 0y ty− − = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y > 0∆ 1 2 4y y t+ = 1 2 16y y = − ( )( )1 2 1 24 4x x ty ty= + + ( )2 1 2 1 24 16t y y t y y= + + + 2 216 16 16 16t t= − + + = 1 2 1 2 16 16 0OA OB x x y y⋅ = + = − = 所以 ， 综上所述，无论 如何变化，总有 . 【真题演练】 1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距 离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知 ，即 ， 解得 . 故选：C． 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一 道容易题. 2．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【 解 析 】 圆 的 方 程 可 化 为 ， 点 到 直 线 的 距 离 为 OA OB⊥  l OA OB⊥  | | 122A pAF x= + = 12 9 2 p= + 6p = 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = l 2 2 0x y+ + = P l P ,PA PB ,A B | | | |PM AB⋅ AB 2 1 0x y− − = 2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ + = ( ) ( )2 21 1 4x y− + − = M l，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ， 当直线 时， ， ，此时 最小． ∴ 即 ，由 解得， ． 所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ， 两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程． 故选：D． 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用， 意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 3.【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ， 根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ， 2 2 2 1 1 2 5 2 2 1 d × + += = > + l , , ,A P B M AB MP⊥ 14 4 42PAMPM AB S PA AM PA⋅ = = × × × =  2 4PA MP= − MP l⊥ min 5MP = min 1PA = PM AB⋅ ( )1: 1 12MP y x− = − 1 1 2 2y x= + 1 1 2 2 2 2 0 y x x y  = +  + + = 1 0 x y = −  = MP ( )( ) ( )1 1 1 0x x y y− + + − = 2 2 1 0x y y+ − − = 2 1 0x y+ + = AB O 2x = 2 2 ( 0)y px p= > D E OD OE⊥ C 1 ,04      1 ,02      (1,0) (2,0) 2x = 2 2 ( 0)y px p= > ,E D OD OE⊥ 4DOx EOx π∠ = ∠ = ( )2,2D代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ， 故选：B． 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点， 抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 4．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】11.设双曲线 C： （a>0，b>0）的左、右焦点分 别为 F1，F2，离心率为 ．P 是 C 上一点，且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a= A． 1 B． 2 C． 4 D． 8 【答案】A 【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ， ，即 ， ， ， ，即 ，解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积 公式的应用，属于中档题. 5.【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 的距离为 4 4p= 1p = 1( ,0)2 2 2 2 2 1x y a b − = 5 5c a = 5c a∴ = 1 2 2PF PF a− = 1 2 1 2 1 | | 42PF F PF FS P= ⋅ =△ 1 2| | 8PF PF⋅ = 1 2F P F P⊥ ( )2 22 1 2| | 2PF PF c∴ + = ( )2 2 1 2 1 22 4PF PF PF PF c∴ − + ⋅ = 2 25 4 0a a− + = 1a = 2 3 0x y− − =A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ， 圆的标准方程为 . 由题意可得 ， 可得 ，解得 或 ， 所以圆心的坐标为 或 ， 圆心 到直线 的距离均为 ； 圆心 到直线 的距离均为 圆心到直线 的距离均为 ； 所以，圆心到直线 的距离为 . 故选：B． 【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力， 5 5 2 5 5 3 5 5 4 5 5 ( )2,1 ( ),a a a ( ) ( )2 2 2x a y a a− + − = ( ) ( )2 2 22 1a a a− + − = 2 6 5 0a a− + = 1a = 5a = ( )1,1 ( )5,5 1 2 1 1 3 2 5 55 d × − −= = 2 2 5 5 3 2 5 55 d × − −= = 2 3 0x y− − = 2 2 5 55 d −= = 2 3 0x y− − = 2 5 5属于中等题. 6．【2020 年高考全国Ⅱ卷理数】设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 两点，若 的面积为 8，则 的焦距的最小值为 A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【解析】 ， 双曲线的渐近线方程是 ， 直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点 不妨设 为在第一象限， 在第四象限， 联立 ，解得 ， 故 ， 联立 ，解得 ， 故 ， ， 面积为： ， O x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ,D E ODE C  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ by xa = ±  x a= 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > D E D E x a by xa = = x a y b =  = ( , )D a b x a by xa = = − x a y b =  = − ( , )E a b− ∴| | 2ED b= ∴ ODE 1 2 82ODES a b ab= × = =△双曲线 ， 其焦距为 ， 当且仅当 取等号， 的焦距的最小值： . 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定 义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查 了分析能力和计算能力，属于中档题. 7．【2020 年高考天津】设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则 双曲线 的方程为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜 率为 ， 又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ， 解得 ． 故选： ． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的 位置关系的应用，属于基础题．  2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ∴ 2 22 2 2 2 2 16 8c a b ab= + ≥ = = 2 2a b= = ∴ C 8 C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 4y x= (0, )b l C l l C 2 2 14 4 x y− = 2 2 14 yx − = 2 2 14 x y− = 2 2 1x y− = ( )1,0 l 1yx b + = b− by xa = ± bb a − = − 1bb a − × = − 0, 0a b> > 1, 1a b= = D8．【2020 年高考北京】已知半径为1 的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 【答案】A 【解析】设圆心 ，则 ， 化简得 ， 所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1 为半径的圆， 所以 ，所以 ， 当且仅当 在线段 上时取得等号， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 9．【2020 年高考北京】设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作 于 ，则线段 的垂直平分线 A． 经过点 B． 经过点 (3,4) ( ),C x y ( ) ( )2 23 4 1x y− + − = ( ) ( )2 23 4 1x y− + − = C (3,4)M | | 1 | |OC OM+ ≥ 2 23 4 5= + = | | 5 1 4OC ≥ − = C OM O F l P O P PQ l⊥ Q FQ O PC． 平行于直线 D． 垂直于直线 【答案】B 【解析】如图所示： ． 因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义 可知， ，所以线段 的垂直平分线经过点 . 故选：B． 【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题. 10．【2020年高考浙江】已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|– |PB|=2，且P为函数 图象上的点，则|OP|= A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右支上，由 可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还在函数 的图象上，所以， OP OP FQ ,F Q P PQ PF= FQ P 23 4y x= − 22 2 4 10 5 7 10 | | | | 2 4PA PB− = < P ,A B 2 4 2, 1c a= = 2 2 2 4 1 3b c a= − = − = ( )2 2 1 03 yx x− = > P 23 4y x= −由 ，解得 ，即 ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考 查学生的数学运算能力，属于基础题． 11．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线 . A．若 m>n>0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B．若 m=n>0，则 C 是圆，其半径为 C．若 mn0，则 C 是两条直线 【答案】ACD 【解析】对于 A，若 ，则 可化为 ， 因为 ，所以 ， 即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故 A 正确； 对于 B，若 ，则 可化为 ， 此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故 B 不正确； ( )2 2 2 1 03 3 4 yx x y x  − > − = =  13 2 3 3 2 x y  =  = 13 27 104 4OP = + = 2 2: 1C mx ny+ = n my xn = ± − 0m n> > 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = 0m n> > 1 1 m n < C y 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 2 1x y n + = C n n对于 C，若 ，则 可化为 ， 此时曲线 表示双曲线， 由 可得 ，故 C 正确； 对于 D，若 ，则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故 D 正确； 故选：ACD． 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键， 侧重考查数学运算的核心素养. 12．【2020 年高考全国 I 卷理数】已知F 为双曲线 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率 为 . 【答案】2 【解析】联立 ，解得 ，所以 . 依题可得， ， ，即 ，变形得 ， , 因此，双曲线 的离心率为 . 0mn < 2 2 1mx ny+ = 2 2 11 1 x y m n + = C 2 2 0mx ny+ = my xn = ± − 0, 0m n= > 2 2 1mx ny+ = 2 1y n = ny n = ± C x 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 2 2 2 2 2 2 2 1 x c x y a b a b c =  − =   = + 2 x c by a = = ± 2bBF a = 3BF AF = AF c a= − ( ) 2 2 2 3 b c aa c a a c a −= =− − 3c a a+ = 2c a= C 2故答案为： ． 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基 础题． 13．【2020 年高考天津】已知直线 和圆 相交于 两 点．若 ，则 的值为_________． 【答案】5 【解析】因为圆心 到直线 的距离 ， 由 可得 ，解得 ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于 基础题． 14．【2020 年高考北京】已知双曲线 ，则 C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ； 【解析】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦 点坐标为 ， 双曲线 的渐近线方程为 ，即 ， 所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 . 2 3 8 0x y− + = 2 2 2 ( 0)x y r r+ = > ,A B | | 6AB = r ( )0,0 3 8 0x y− + = 8 4 1 3 d = = + 2 2| | 2AB r d= − 2 26 2 4r= − = 5r 5 2 2 : 16 3 x yC − = ( )3,0 3 C 6a = 3b = 2 2 3c a b= + = C ( )3,0 C 2 2y x= ± 2 0x y± = C 2 3 3 1 2 = +故答案为： ； . 【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离， 考查计算能力，属于基础题. 15．【2020 年高考浙江】已知直线 与圆 和圆 均相 切，则 _______，b=_______． 【答案】 ； 【解析】由题意， 到直线的距离等于半径，即 ， ， 所以 ，所以 （舍）或者 ， 解得 . 故答案为： 【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 16．【2020 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 的一条渐近 线方程为 ，则该双曲线的离心率是 ▲ ． 【答案】 【解析】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ， 即 ， 所 以 ， 所 以 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( )3,0 3 ( 0)y kx b k= + > 2 2 1x y+ = 2 2( 4) 1x y− + = k = 3 3 2 3 3 − 1 2,C C 2 2 | | 1 1 b k = + 2 2 | 4 | 1 1 k b k + = + | | 4b k b= + 0k = 2b k= − 3 2 3,3 3k b= = − 3 2 3;3 3 − 2 2 2 1 05 ( )x y aa − = > 5 2y x= 3 2 2 2 2 15 x y a − = 5b = 5 2y x= 5 22 b aa = ⇒ = 2 2 4 5 3c a b= + = + =. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 17．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】斜率为 的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则 =________． 【答案】 【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点 F 坐标为 ， 又∵直线 AB 过焦点 F 且斜率为 ，∴直线 AB 的方程为： 代入抛物线方程消去 y 并化简得 ， 解法一：解得 所以 解法二： 设 ，则 , 过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示. 3 2 c a = 3 2 3 AB 16 3 2 4y x= (1,0)F 3 3( 1)y x= − 23 10 3 0x x− + = 1 2 1 , 33x x= = 2 1 2 1 16| | 1 | | 1 3 | 3 |3 3AB k x x= + − = + ⋅ − = 100 36 64 0∆ = − = > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 10 3x x+ = ,A B 1x = − ,C D 1 2| | | | | | | | | | 1 1AB AF BF AC BD x x= + = + = + + + 1 2 16+2= 3x x= +故答案为： 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基 础题. 18．【2020 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ，A，B 是圆 C： 上的两个动点，满足 ，则△PAB 面积的最大值是 ▲ ． 【答案】 【解析】 设圆心 到直线 距离为 ，则 所以 令 （负值 舍去） 当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为 ， 16 3 3( 0)2P ， 2 21( ) 362x y+ − = PA PB= 10 5 PA PB PC AB= ∴ ⊥ C AB d 2 3 1| |=2 36 ,| | 14 4AB d PC− = + = 2 2 21 2 36 ( 1) (36 )( 1)2PABS d d d d≤ ⋅ − + = − +  2 2 2(36 )( 1) (0 6) 2( 1)( 2 36) 0 4y d d d y d d d d′= − + ≤ < ∴ = + − − + = ∴ = 0 4d≤ < 0y′ > 4 6d≤ < 0y′ ≤ 4d = y PABS 10 5故答案为： 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 19．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知 A、B 分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶 点，G 为 E 的上顶点， ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C， PB 与 E 的另一交点为 D． （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. 【解析】（1）由题设得 A（–a，0），B（a，0），G（0，1）. 则 ， =（a，–1）.由 =8得a2–1=8，即a=3. 所以E的方程为 +y2=1． （2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）. 若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–30)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的中心与 C2 的顶点重合．过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点， 交 C2 于 C，D 两点，且 ． （1）求 C1 的离心率； （2）设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程． 【解析】（1）由已知可设 的方程为 ，其中 . 不妨设 在第一象限，由题设得 的纵坐标分别为 ， ； 的纵坐标 分别为 ， ，故 ， . 由 得 ，即 ，解得 （舍去）， . 所以 的离心率为 . 2 2 2 2(27 )( 9) 2 ( 3) ( 3) ( 9) 0.m n m n mn n m+ − − + + + + = 3 2 3= 2x my + 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1x y a b + = 4 3CD AB= 2C 2 4y cx= 2 2c a b= − ,A C ,A B 2b a 2b a − ,C D 2c 2c− 22| | bAB a = | | 4CD c= 4| | | |3CD AB= 284 3 bc a = 23 2 2( )c c a a × = − 2c a = − 1 2 c a = 1C 1 2（2）由（1）知 ， ，故 ， 设 ，则 ， ，故 .① 由于 的准线为 ，所以 ，而 ，故 ，代入①得 ，即 ，解得 （舍去）， . 所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 . 21．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数】已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点． （1）求 的方程； （2）若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面 积． 【解析】（1）由题设可得 ，得 ， 所以 的方程为 . （2）设 ，根据对称性可设 ，由题意知 ， 由已知可得 ，直线 BP 的方程为 ，所以 ， ， 因为 ，所以 ，将 代入 的方程，解得 或 . 2a c= 3b c= 2 2 1 2 2: 14 3 x yC c c + = 0 0( , )M x y 2 2 0 0 2 2 14 3 x y c c + = 2 0 04y cx= 2 0 0 2 4 14 3 x x c c + = 2C x c= − 0| |MF x c= + | | 5MF = 0 5x c= − 2 2 (5 ) 4(5 ) 14 3 c c c c − −+ = 2 2 3 0c c− − = 1c = − 3c = 1C 2 2 136 27 x y+ = 2C 2 12y x= 2 2 2: 1(0 5)25 x yC m m + = < < 15 4 A B C C P C Q 6x = | | | |BP BQ= BP BQ⊥ APQ△ 225 15 5 4 m− = 2 25 16m = C 2 2 12525 16 x y+ = ( , ), (6, )P P QP x y Q y 0Qy > 0Py > (5,0)B 1 ( 5) Q y xy = − − 2| | 1P QBP y y= + 2| | 1 QBQ y= + | | | |BP BQ= 1Py = 1Py = C 3Px = 3−由直线 BP 的方程得 或 8. 所以点 的坐标分别为 . ，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ， 故 的面积为 . ，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ， 故 的面积为 . 综上， 的面积为 . 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的 离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 22．【2020 年高考北京】已知椭圆 过点 ，且 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程： （Ⅱ）过点 的直线 l 交椭圆 C 于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值． 【解析】 (1)设椭圆方程为： ，由题意可得： ，解得： ， 2Qy = ,P Q 1 1 2 2(3,1), (6,2); ( 3,1), (6,8)P Q P Q− 1 1| | 10PQ = 1 1PQ 1 3y x= ( 5,0)A − 1 1PQ 10 2 1 1APQ△ 1 10 5102 2 2 × × = 2 2| | 130PQ = 2 2PQ 7 10 9 3y x= + A 2 2PQ 130 26 2 2APQ△ 1 130 51302 26 2 × × = APQ△ 5 2 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 2, 1)A − − 2a b= ( 4,0)B − ,M N ,MA NA 4x = − ,P Q | | | | PB BQ ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 4 1 1 2 a b a b  + =  = 2 2 8 2 a b  =  =故椭圆方程为： . (2)设 ， ，直线 的方程为： ， 与椭圆方程 联立可得： ， 即： ， 则： . 直线 MA 的方程为： ， 令 可得： ， 同理可得： . 很明显 ，且： ，注意到： ， 而： 2 2 18 2 x y+ = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MN ( )4y k x= + 2 2 18 2 x y+ = ( )22 24 4 8x k x+ + = ( ) ( )2 2 2 24 1 32 64 8 0k x k x k+ + + − = 2 2 1 2 1 22 2 32 64 8,4 1 4 1 k kx x x xk k − −+ = =+ + ( )1 1 11 22 yy xx ++ = ++ 4x = − ( ) ( )( )1 11 1 1 1 1 1 4 1 2 1 41 22 1 22 2 2 2P k x k xy xy x x x x + + − + ++ += − × − = − × − =+ + + + ( )( )2 2 2 1 4 2Q k xy x − + += + 0P Qy y < P Q PB y PQ y = ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 2 11 2 1 2 1 2 4 2 4 24 42 1 2 12 2 2 2P Q x x x xx xy y k kx x x x + + + + + + ++ = − + + = − + × + + + +  ( )( ) ( )( ) ( )1 2 2 1 1 2 1 24 2 4 2 2 3 8x x x x x x x x+ + + + + = + + +   2 2 2 2 64 8 322 3 84 1 4 1 k k k k   − −= + × +  + +  ， 故 . 从而 . 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关 系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 23．【2020 年高考浙江】如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点 A 是椭圆 与抛物线 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆 于点 B，交抛物线 于点 M （B，M 不同于 A）． （Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值． 【解析】（Ⅰ）由 得 的焦点坐标是 ． （Ⅱ）由题意可设直线 ，点 ． 将直线 的方程代入椭圆 得 ， ( ) ( ) ( )2 2 2 2 64 8 3 32 8 4 1 2 04 1 k k k k − + × − + + = × =+ 0,P Q P Qy y y y+ = = − 1P Q PB y PQ y = = 2 2 1 : 12 xC y+ = 2 2 : 2 ( 0)C y px p= > 1C 2C 1C 2C 1 16p = 2C 1 16p = 2C 1( ,0)32 : ( 0, 0)l x my t m t= + ≠ ≠ 0 0( , )A x y l 2 2 1 : 12 xC y+ = 2 2 2( 2) 2 2 0m y mty t+ + + − =所以点 的纵坐标 ． 将直线 的方程代入抛物线 得 ， 所以 ，解得 ， 因此 ． 由 得 ， 所以当 ， 时， 取到最大值 ． 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值， 考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题. 24．【2020 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的左、右焦点 分别为 F1，F2，点 A 在椭圆 E 上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线 AF1 与椭圆 E 相交于 另一点 B． （1）求 的周长； （2）在 x 轴上任取一点 P，直线 AP 与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求 的最小 值； （3）设点 M 在椭圆 E 上，记 与 的面积分别为 S1，S2，若 ，求点 M 2 2M mty m = − + l 2 2 : 2C y px= 2 2 2 0y pmy pt− − = 0 2My y pt= − 2 0 2 ( 2)p my m += 2 2 0 2 2 ( 2)p mx m += 2 20 0 12 x y+ = 2 4 2 1 2 24( ) 2( ) 160m mp m m = + + + ≥ 2m = 10 5t = p 10 40 2 2 : 14 3 x yE + = 1 2AF F△ OP QP⋅  OAB△ MAB△ 2 13S S=M 的坐标． 【解析】（1）椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ， 则 . 所以 的周长为 . （2）椭圆 的右准线为 . 设 ， 则 ， 在 时取等号. 所以 的最小值为 . （3）因为椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上且在第一象 限内， ， 则 . 所以直线 2 2 : 14 3 x yE + = 2a 2b 2c 2 2 24, 3, 1a b c= = = 1 2AF F△ 2 2 6a c+ = E 4x = ( ,0), (4, )P x Q y ( ,0), ( 4, )OP x QP x y= = − −  2( 4) ( 2) 4 4,OP QP x x x⋅ = − = − − ≥ −  2x = OP QP⋅  4− 2 2 : 14 3 x yE + = 1 2,F F A E 2 1 2AF F F⊥ 1 2 3( 1,0), (1,0), (1, )2F F A− :3 4 3 0.AB x y− + =设 ，因为 ，所以点 到直线 距离等于点 到直线 距离的 3 倍. 由此得 ， 则 或 . 由 得 ，此方程无解； 由 得 ，所以 或 . 代入直线 ，对应分别得 或 . 因此点 的坐标为 或 . 【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟 悉运用公式以及根据 推出 是解答本题的关键. 25．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C： 的离心率为 ，且过 点A（2，1）． （1）求C的方程： （2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ| 为定值． 【解析】（1）由题设得 ， ，解得 ， ． 所以 的方程为 ． ( , )M x y 2 13S S= M AB O AB | 3 4 3| | 3 0 4 0 3|35 5 x y− + × − × += × 3 4 12 0x y− + = 3 4 6 0x y− − = 2 2 3 4 12 0, 14 3 x y x y − + = + = 27 24 32 0x x+ + = 2 2 3 4 6 0, 14 3 x y x y − − = + = 27 12 4 0x x− − = 2x = 2 7x = − :3 4 6 0l x y− − = 0y = 12 7y = − M (2,0) 2 12( , )7 7 − − 2 13S S= 9 5d = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 2 2 4 1 1a b + = 2 2 2 1 2 a b a − = 2 6a = 2 3b = C 2 2 16 3 x y+ =（2）设 ， ． 若直线 与 轴不垂直，设直线 的方程为 ， 代入 得 ． 于是 ．① 由 知 ，故 ， 可得 ． 将①代入上式可得 ． 整理得 ． 因为 不在直线 上，所以 ，故 ， ． 于是 的方程为 . 所以直线 过点 . 若直线 与 轴垂直，可得 . 由 得 . 又 ，可得 .解得 （舍去）， . 此时直线 过点 . 令 为 的中点，即 . 若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 . 1 1( , )M x y 2 2( , )N x y MN x MN y kx m= + 2 2 16 3 x y+ = 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = 2 1 2 1 22 2 4 2 6,1 2 1 2 km mx x x xk k −+ = − =+ + AM AN⊥ 0AM AN⋅ =  1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − = 2 2 1 2 1 2( 1) ( 2)( ) ( 1) 4 0k x x km k x x m+ + − − + + − + = 2 2 2 2 2 2 6 4( 1) ( 2) ( 1) 4 01 2 1 2 m kmk km k mk k −+ − − − + − + =+ + (2 3 1)(2 1) 0k m k m+ + + − = (2,1)A MN 2 1 0k m+ − ≠ 2 3 1 0k m+ + = 1k ≠ MN 2 1( ) ( 1)3 3y k x k= − − ≠ MN 2 1( , )3 3P − MN x 1 1( , )N x y− 0AM AN⋅ =  1 1 1 1( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − − = 2 2 1 1 16 3 x y+ = 2 1 13 8 4 0x x− + = 1 2x = 1 2 3x = MN 2 1( , )3 3P − Q AP 4 1( , )3 3Q D P AP Rt ADP△ 1 2 2| | | |2 3DQ AP= =若 与 重合，则 . 综上，存在点 ，使得 为定值. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问 中证明直线 MN 经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大. 26．【2020 年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆 C： 过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为 ， （1）求 C 的方程； （2）点 N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线 AM 的方程为： ，即 . 当 y=0 时，解得 ，所以 a=4， 椭圆 过点 M(2，3)，可得 ， 解得 b2=12. 所以 C 的方程： . (2)设与直线 AM 平行的直线方程为： ， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与 AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为 N，此时 △AMN 的面积取得最大值. D P 1| | | |2DQ AP= 4 1( , )3 3Q | |DQ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 13 ( 2)2y x− = − 2 4− = −x y 4x = − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 4 9 116 b + = 2 2 116 12 x y+ = 2x y m− =联立直线方程 与椭圆方程 ， 可得： ， 化简可得： ， 所以 ，即 m2=64，解得 m=±8， 与 AM 距离比较远的直线方程： ， 直线 AM 方程为： ， 点 N 到直线 AM 的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得： ， 由两点之间距离公式可得 . 所以△AMN 的面积的最大值： . 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： 2x y m− = 2 2 116 12 x y+ = ( )2 23 2 4 48m y y+ + = 2 216 12 3 48 0y my m+ + − = ( )2 2144 4 16 3 48 0m m∆ = − × − = 2 8x y− = 2 4− = −x y 8 4 12 5 51 4 d += = + 2 2| | (2 4) 3 3 5AM = + + = 1 12 53 5 182 5 × × =(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关 系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．