2020-2021学年高三数学一轮复习易错题05 三角函数与解三角形

易错点 05 三角函数与解三角形 —备战 2021 年高考数学一轮复习易错题 【典例分析】 例 1 （2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）下图是函数 y= sin(ωx+φ)的部分图像， 则 sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】 首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可 得正确结果. 【详解】由函数图像可知： ，则 ，所以不选 A, 当 时， ， 解得： ， πsin( 3x + ） πsin( 2 )3 x− πcos(2 6x + ） 5πcos( 2 )6 x− ω ϕ 2 2 3 6 2 T π ππ= − = 2 2 2T π πω π= = = 2 53 6 2 12x ππ π+ = = 1y = − ∴ ( )5 32 212 2 k k Z π πϕ π× + = + ∈ ( )22 3k kϕ π π= + ∈Z即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得 出，困难的是求待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法： (1)由 ω＝ 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点” 横坐标 x0，则令 ωx0＋φ＝0(或 ωx0＋φ＝π)，即可求出 φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形 解出 ω 和 φ，若对 A，ω 的符号或对 φ 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 例 2 （2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学） 某中学开展劳动实习，学生加工制作 零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BC⊥DG，垂足为 C， tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm， 圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 【答案】 2sin 2 2 sin 2 cos 2 sin 23 6 2 6 3y x k x x x π π π ππ π       = + + = + + = + = −               5cos 2 cos( 2 )6 6x x π π + = − −   2 T π 3 5 BH DG∥ 54 2 π+【解析】 【分析】 利用 求出圆弧 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 的面 积，求出直角 的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面 积求得. 【详解】设 ，由题意 ， ，所以 ， 因为 ,所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 与圆弧 相切于 点，所以 ， 即 为等腰直角三角形； 在直角 中， ， ， 因为 ，所以 ， 解得 ； 等腰直角 的面积为 ； 扇形 的面积 ， 所以阴影部分的面积为 . 3tan 5ODC∠ = AB AOB OAH△ = =OB OA r 7AM AN= = 12EF = 5NF = 5AP = 45AGP °∠ = //BH DG 45AHO °∠ = AG AB A OA AG⊥ OAH△ OQD△ 25 2OQ r= − 27 2DQ r= − 3tan 5 OQODC DQ ∠ = = 3 2 5 221 252 2r r− = − 2 2r = OAH△ 1 1 2 2 2 2 42S = × × = AOB ( )2 2 1 3 2 2 32 4S π π= × × = 1 2 1 542 2S S ππ+ − = +故答案为： . 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动 实习为背景，体现了五育并举的育人方针. 例 3 （2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值； 若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关 系，设出长度长度，由余弦定理得到 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得 的值，得到角 的值，然后 54 2 π+ 3ac = sin 3c A = 3=c b c ABC , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B= 6C π= c tanA , ,A B C根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】解法一： 由 可得： ， 不妨设 ， 则： ，即 . 选择条件①的解析： 据此可得： ， ，此时 . 选择条件②的解析： 据此可得： ， 则： ，此时： ，则： . 选择条件③的解析： 可得 ， ， 与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在. 解法二：∵ , ∴ , ， sin 3sinA B= 3a b = ( )3 , 0a m b m m= = > 2 2 2 2 2 232 cos 3 2 3 2c a b ab C m m m m m= + − = + − × × × = c m= 23 3 3ac m m m= × = = 1m∴ = 1c m= = 2 2 2 2 2 2 2 3 1cos 2 2 2 b c a m m mA bc m + − + −= = = − 21 3sin 1 2 2A  = − − =   3sin 32c A m= × = 2 3c m= = 1c m b m = = c b= 3=c b ( )3 , ,6sinA sinB C B A C π π= = = − + ( )3sin 3sin 6sinA A C A π = + = +   ( ) 3 13sin 3 · 3 ·2 2sinA A C sinA cosA= + = +∴ ,∴ ,∴ ,∴ , 若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1; 若选②， ,则 , ; 若选③,与条件 矛盾. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题 中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、 余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 【易错警示】 易错点 1 角的概念不清 例 1 若 、 为第三象限角，且 ，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 【错解】A 【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似 区间角． 【正解】如取 ，可知 A 不对．用排除法，可知应选 D． 易错点 2 忽视对角终边位置的讨论致误 例 2 若 的终边所在直线经过点 ，则 ． 【错解】∵ ，所以 ． 3sinA cosA= − 3tanA = − 2 3A π= 6B C π= = 3ac = 3 3a b c= = 23 3c = 3csinA = 3 32 c = 2 3c = 3=c b α β βα > βα coscos > βα coscos < βα coscos = )2 3,( ππ 3 4,6 72 πβππα =+= α 3 3(cos ,sin )4 4P π π sinα = 3 3 2 2(cos ,sin ) ( , )4 4 2 2P π π = − 2 2 2 22sin 22 2( ) ( )2 2 α = = − +【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论 【正解】∵直线经过二、四象限，又点 P 在单位圆上，若 的终边在第二象限，则 ， 若 的 终 边 在 第 四 象 限 ， ∴ ， 综 上 可 知 ． 易错点 3 忽视函数的定义域对角范围的制约致错 例 3 求函数 的最小正周期． 【错解】 ， ，即函数的最小正周期为 ． 【错因】忽视其定义域导致错误， 不是 的周期，因为当 时， 有意义，所以由周期函数定义知应有 成立，然而 根本无意义，故 不是其周期． 【正解】由于函数 的定义域为 ，故作出函数 的图象，可以看出，所求函数周期应为 ． 易错点 4 对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误 例 4 若 ，则 =（ ） A． B． C． D． 【错解一】 ，无答案． α 3 2sin sin 4 2 πα = = α 2sin 2 α = − 2sin 2 α = ± x xy 2tan1 tan2 −= xx xy 2tantan1 tan2 2 =−= 2 π=∴T 2 π 2 π x xy 2tan1 tan2 −= 0=x x xy 2tan1 tan2 −= )0()20( ff =+ π )20( π+f 2 π x xy 2tan1 tan2 −= )(4,2 Zkkxkx ∈+≠+≠ ππππ xy 2tan= π 3 1 6sin =     −απ      + απ 23 2cos 9 7− 3 1− 3 1 9 7      + απ 23 2cos cos[ ( 2 )]3 ππ α= − − sin( 2 ) 2sin( )cos( )3 6 6 π π πα α α= − = − − 1 2 2 4 22 ( )3 3 9 = × × ± = ±【错解二】 ， 故选 D． 【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶” 指的是 π 2 的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义 是：在该题中把整个角 看作锐角时， 所在象限的相应余弦三角函数 值的符号． 【 正 解 】 ， 故 选 A． 易错点 5 忽略隐含条件 例 5 若 ，求的取值范围． 【 错 解 】 移 项 得 ， 两 边 平 方 得 即 【错因】忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了 ． 【正解】 即 ，由 得 ∴ 易错点 6 因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错 22 7cos 2 cos[ ( 2 )] cos( 2 ) 1 2sin ( )3 3 3 6 9 π π π πα π α α α + = − − = − = − − =   ( 2 )3 π α− ( 2 )3 ππ α− − 22 7cos 2 cos[ ( 2 )] cos( 2 ) 1 2sin ( )3 3 3 6 9 π π π πα π α α α + = − − = − − = − + − = −   01cossin >−+ xx 1cossin >+ xx )(222,02sin Zkkxkx ∈++ π x )(4 32442 Zkkxk ∈+· ，∵ ， ∴ ，即sin cos sin cos sin sinA A B B A B= =2 2 sin sin2 2A B= sin sin2 2A B= 2 2k Bπ + 2 2 2A k B k Z= + − ∈π π ( ) 0 0 0< < < < = =A b k A Bπ π， ，∴ ，则 A B= −π 2 3 045,2 =B A∠ C∠ c B b A a sinsin = .2 3 °= 60A °=°°°= 7560-45-180C c sin 6 2 sin 2 b C B += .2 3 °= 60A °=120A °= 75A °=15A B b A a sinsin = .2 3 ba > °= 60A °=120A当 时， ， ＝ ． 当 时， ， ＝ ． 易错点 11 不会应用正弦定理的变形公式 例 11 在△ABC 中，A＝60°，b＝1， ，求 的值． 【错解】∵A＝60°，b＝1， ，又 ，∴ ， 解得 c＝4．由余弦定理，得 又由正弦定理，得 ． ∴ ． 【错因】公式不熟、方法不当，没有正确应用正弦定理． 【正解】由已知可得 ．由正弦定理，得 ． ． 【变式练习】 1.已知 为第三象限角，则 是第　　　象限角， 是第　　　象限角． °= 60A °=°°°= 7560-45-180C c sin 6 2 sin 2 b C B += °=120A °=°°°= 15120-45-180C c sin 6 2 sin 2 b C B −= S ABC△ = 3 a b c A B C + + + +sin sin sin S ABC△ = 3 S ABC△ = 1 2 bc Asin 3 1 2 = csin60° a b c bc A= + − = + −2 2 2 1 16 8 60cos cos ° = 13 sin sinC B= =6 39 3 2 39 ， a b c A B C + + + + = + + + +sin sin sin 13 1 4 3 2 3 2 39 6 39 c a= =4 13， 2 13 60 2 39 3R a A = = = sin sin ° ∴ a b c A B C R + + + + = = sin sin sin 2 2 39 3 α 2 α α2【解析】 是第三象限角，即 ， 当为偶数时， 为第二象限角；当为奇数时， 为第四象限角； 而 的终边落在第一、二象限或 轴的非负半轴上. 2.函数 y＝ sinx |sinx|＋ |cosx| cosx ＋ tanx |tanx|的值域是(　　) A．{－1，1} B．{1，3} C．{1，－3} D．{－1，3} 【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、 二、三、四象限时，上述函数的值域为{－1，3}．故选 D. 3.记 ，那么 ( ) A． B． 　C． 　　D． 【解析】∵sin80°= = ， ∴tan100°=－tan80°=－ － =－ ．故选 B． 4.已知 ， ，求 的值． 【解析】据已知 （1），有 ，又由于 ，故有 ，从而 即 （2），联立（1）、（2）可得 ，可得 ． α Zkkk ∈+