易错点 04
—备战 2021 年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知函数
．
（1）当 时，求曲线 y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面
积；
（2）若 f（x）≥1，求 a 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与
坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；
（2）解法一：利用导数研究，得到函数 得导函数 的单调递增，当 a=1 时由
得 ,符合题意；当 a>1 时，可证 ，从而
存在零点 ，使得 ，得到 ，利用零点的条件，结合指
数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得 恒成立；当 时，研究
.即可得到不符合题意.综合可得 a 的取值范围.
解法二：利用指数对数的运算可将 ,
令 ,上述不等式等价于 ,注意到 的单调性，进一
步等价转化为 ，令 ,利用导数求得 ，进而根据不
等式恒成立的意义得到关于 a 的对数不等式，解得 a 的取值范围.
1( ) e ln lnxf x a x a−= − +
a e=
2
1e − [1, )+∞
( )f x ( )’f x
( )’ 1 0f = ( ) ( )1 1minf x f= = 1( ) (1) 0f fa
′ ′ < ( )'f x
0 0x > 0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
−′ = − = min( )f x
( ) 1x ≥ 0 1a< <
( )f 1
( ) 11 1lna x lnxf x e lna x e lnx+ −≥ + + − ≥ +转化为
( ) xg x e x= + ( ) ( )1g lna x g lnx+ − ≥ ( )g x
1lna lnx x≥ − + ( ) 1h x lnx x= − + ( )maxh x【详解】（1） ， ， .
，∴切点坐标为(1,1+e),
∴函数 f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 ,即 ,
切线与坐标轴交点坐标分别为 ,
∴所求三角形面积为 ;
（2）解法一： ,
，且 .
设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.
当 时， ， ， ,
∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当
时 ， ， ，
因此
>1,
( ) ln 1xf x e x= − +
1( ) xf x e x
′∴ = − (1) 1k f e′∴ = = −
(1) 1f e= +
1 ( 1)( 1)y e e x− − = − − ( )1 2y e x= − +
∴ 2(0,2),( ,0)1e
−
−
1 2 22 | |=2 1 1e e
−× × − −
1( ) ln lnxf x ae x a−= − +
1 1( ) xf x ae x
−′∴ = − 0a >
( ) ( )g x f x= ′ 1
2
1( ) 0,xg x ae x
−′ = + >
(0, )+∞ ( )f x′ (0, )+∞
1a = ( ) 01f ′ = ( ) ( )1 1minf x f= = ( ) 1f x ≥
1a > 1 1a
< 1 1
1ae
− 0 1
0
0
1( ) 0xf x ae x
−′ = − =
0(0, )x x∈ ( ) 0f x′ <
0( , )x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > 0 1
0
1xae x
−∴ =
0 0ln 1 lna x x∴ + − = −
0 1
min 0 0( ) ( ) ln lnxf x f x ae x a−= = − +
0 0
0 0
1 1ln 1 ln 2ln 1 2 2ln 1a x a a x ax x
= + + − + ≥ − + ⋅ = +∴ ∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数 a 的取值范围是[1,+∞).
解法二： 等价于
,
令 ,上述不等式等价于 ,
显然 为单调增函数，∴又等价于 ，即 ，
令 ,则
在 上 h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上 h’(x) ( ) 1f x ≥
0 1a< < (1) ln 1,f a a a= + < < (1) 1, ( ) 1f f x< ≥
( ) 1 1 1x lna xf x ae lnx lna e lnx lna− + −= − + = − + ≥
1 1lna x lnxe lna x lnx x e lnx+ − + + − ≥ + = +
( ) xg x e x= + ( ) ( )1g lna x g lnx+ − ≥
( )g x 1lna x lnx+ − ≥ 1lna lnx x≥ − +
( ) 1h x lnx x= − + ( ) 1 11 xh x x x
−= − =′
( )0,1
( ) ( )1 0maxh x h= =
0 1lna a≥ ≥，即
( )f x′ ( )f x [ , ]a b ( , )a b ( ) 0f x′ > ( )f x【错因】一般地，由 能推出 为增函数，反之，则不一定．如函数
在区间 上单调递增，但是 ，因此 是函数 为增函数的充
分不必要条件．
【正解】充分不必要
易错点 2 ．误解“导数为 0”与“有极值”的逻辑关系
【例 2】 函数 在 处有极值 10，求 的值．
【错解】由 解得 ．
【错因】对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把 为极值的必要条件当
作充要条件．
【正解】 ，依题意得 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 在 处取得极值；
当 时， ，此时 在 无极值．
所以 ．
易错点 3．对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
【例 3】 已知函数 f（x）的导函数 的图像如左图所示，那么函数 的图像最有可
能的是
( ) 0f x′ > ( )f x 3( )f x x=
( , )−∞ +∞ ( ) 0f x′ ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x
3 2 2( )f x x ax bx a= + + + 1x = ,a b
(1) 10, (1) 0f f ′= = 4, 11 3, 3a b a b= = − = − =或
0( )f x
2( ) 3 2f x x ax b′ = + + (1) 10
(1) 0
f
f
=
′ =
4
11
a
b
=
= −
3
3
a
b
= −
=
4
11
a
b
=
= −
2( ) 3 8 11 (3 11)( 1)f x x x x x′ = + − = + − ( )f x 1x =
3
3
a
b
= −
=
2 2( ) 3 6 3 3( 1)f x x x x′ = − + = − ( )f x 1x =
3, 3a b= − =
( )xf ′ ( )xf【错解】选
【错因】概念不清，凭空乱猜
【正解】由导函数的图像，可得：当 时， ，当
时， ，且开口向下；则 在 上递减，在 上递增，在
递减；故选 A．
易错点 4 ．遗忘复合函数求导公式
【例 4】函数 的导数为 ．
【错解】
【错因】遗忘复合函数求导公式，复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，
乘以中间变量对自变量的导数，即 ．
【正解】
易错点 5．切线问题中忽视切点的位置致错
【例 5】已知曲线 ，过点 作曲线 的切线，求切线方程．
【错解】由导数的几何意义知 ，所以曲线的切线方程为 ．
【错因】点 根本不在曲线上，忽视切点位置致错．
,C,B D
( ) ( )+∞−∞−∈ ,02, x 0)(' 0x >
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
( )f x ( 2) 0xe a x− + =
2x = −
2
xea x
= +
( ) ( 2)2
xeh x xx
= ≠ −+
'
2 2
( 2) ( 1)( ) ( 2) ( 2)
x x xe x e e xh x x x
+ − += =+ +
' ( ) 0h x > 1x > − ' ( ) 0h x < 2x < − 2 1x− < < −
( )h x ( , 2)−∞ − ( 2, 1)− − ( 1, )− +∞
2x < − ( ) 0h x <
2x +→ − ( )h x → +∞ x → +∞ ( )h x → +∞
2
xea x
= +
1( 1)a h e
> − =
a 1( , )e
+∞
2( ) exf x ax x= + −（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；
（2）当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a 的取值范围.
【 答 案 】（ 1 ） 当 时 ， 单 调 递 减 ， 当 时 ，
单调递增.（2）
【解析】(1)当 时， ， ，
由于 ，故 单调递增，注意到 ，故：
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
(2)由 得， ，其中 ，
①.当 x=0 时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数 a 得， ，
记 ， ，
令 ，
则 ， ，
故 单调递增， ，
故函数 单调递增， ，
1
2
( ),0x∈ −∞ ( ) ( )' 0,f x f x< ( )0,x∈ +∞
( ) ( )' 0,f x f x>
27 ,4
e − +∞
1a = ( ) 2x xx ef x= + − ( ) 2 1xf x e x′ = + −
( ) 2 0xf x e′′ = + > ( )'f x ( )0 0f ′ =
( ),0x∈ −∞ ( ) ( )0,f x f x′ <
( )0,x∈ +∞ ( ) ( )0,f x f x′ >
( ) 31 12f x x≥ + 2 31 12
xe ax x x+ − + 0x ≥
1 1≥
0x >
3
2
1 12
xe x x
a x
− − −
−
( )
3
2
1 12
xe x x
g x x
− − −
= − ( )
( ) 2
3
12 12
xx e x x
g x x
− − − − ′ = −
( ) ( )21 1 02
xe x xh x x− − − ≥=
( ) 1xh x e x′ = − − ( ) 1 0xh x e′′ = − ≥
( )'h x ( ) ( )0 0h x h′ ′≥ =
( )h x ( ) ( )0 0h x h≥ =由 可得： 恒成立，
故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
因此， ,
综上可得，实数 a 的取值范围是 .
【真题演练】
1．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 的图像在点 处的切线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题.
2．【2020 年高考全国 III 卷理数】若直线 l 与曲线 y= 和 x2+y2= 都相切，则 l 的方程为
A．y=2x+1 B．y=2x+
C．y= x+1 D．y= x+
( ) 0h x ≥ 21 1 02
xe x x− − −
( )0,2x∈ ( ) 0g x¢ > ( )g x
( )2,x∈ +∞ ( ) 0g x¢ < ( )g x
( ) ( ) 2
max
72 4
eg x g
− = =
27 ,4
e − +∞
4 3( ) 2f x x x= − (1 (1))f，
2 1y x= − − 2 1y x= − +
2 3y x= − 2 1y x= +
( ) 4 32f x x x= − ( ) 3 24 6f x x x′∴ = − ( )1 1f∴ = − ( )1 2f ′ = −
( )1 2 1y x+ = − − 2 1y x= − +
x 1
5
1
2
1
2
1
2
1
2【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档
题.
3．【2020 年高考北京】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治
理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水摔放量 W 与时间 t 的关系为 ，
用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期
内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
l y x= ( )0 0,x x 0 0x >
y x= 1
2
y
x
′ = l
0
1
2
k
x
=
l ( )0 0
0
1
2
y x x x
x
− = −
0 02 0x x y x− + =
l 2 2 1
5x y+ = 0
0
1
1 4 5
x
x
=
+
2
0 05 4 1 0x x− − = 0 1x = 0
1
5x = −
l 2 1 0x y− + = 1 1
2 2y x= +
( )W f t=
( ) ( )f b f a
b a
−− − [ , ]a b给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
【答案】①②③
【解析】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企
业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，
其相反数最大，即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污
水治理能力比乙企业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正
确；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，
属中档题.
4．【2020 年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数 .
[ ]1 2,t t
2t
3t
[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 30, , , , ,t t t t t [ ]10,t
( ) ( )f b f a
b a
−− −
[ ]1 2,t t
[ ] [ ] [ ]1 1 2 2 30, , , , ,t t t t t [ ]1 2,t t
[ ]1 2,t t
2t
3t
2( ) exf x ax x= + −（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；
（2）当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a 的取值范围.
【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex+x2–x，则 =ex+2x–1．
故当x∈（–∞，0）时， 0．所以f（x）在（–∞，
0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2） 等价于 .
设函数 ，则
.
（i）若2a+1≤0，即 ，则当x∈（0，2）时， >0.所以g（x）在（0，2）单调
递增，而g（0）=1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意.
（ii）若00)，问
为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价最低？
0 1x< < 1( ) 0h x < ( ) 0h' x < ( )h x [0,1]
0 1x≤ ≤ ( ) (0) 0h x h≤ =
( 1) 0h a − ≤ 1
0( 1) e 1 0 ( )af a a a f x−− = − − − ≤ =
( )f x [0, )+∞
01a x− ≤
01 2( 1)a x a− ≤ ≤ −
( ) e (e 1) 1xu x x= − − − ( ) e (e 1)xu' x = − − 1x > ( ) 0u' x >
( )u x [1, )+∞ ( ) (1) 0u x u≥ =
0
0ex x a= + 0 2 2
0 0 0 0 0 0(e ) ( ) (e 1) (e 2) (e 1)x a ax f x f x a x a x ax= + = − + − ≥ −
0 1x a≥ − 0
0 (e ) (e 1)( 1)xx f a a≥ − −
OO′ O′
1h OO′
2
1
1
40h a= 2h OO′
3
2
1 6800h b b= − + OO′
OO′
3
2 k O E′【解析】（1）设 都与 垂直， 是相应垂足.
由条件知，当 时，
则 .
由 得
所以 （米）.
（2）以 为原点， 为 轴建立平面直角坐标系 （如图所示）.
设 则
.
因为 所以 .
设 则
1 1 1 1, , ,AA BB CD EF MN 1 1 1 1, , ,A B D F
40O'B =
3
1
1 40 6 40 160,800BB = − × + × = 1 160AA =
21 160,40 O'A = 80.O'A =
80 40 120AB O'A O'B= + = + =
O OO' y xOy
2( , ), (0,40),F x y x∈ 3
2
1 6 ,800y x x= − +
3
2
1160 160 6800EF y x x= − = + −
80,CE = 80O'C x= −
1( 80, ),D x y− 2
1
1 (80 ) ,40y x= −所以
记桥墩 和 的总造价为 ，
则
，
令 得
所以当 时， 取得最小值.
答：（1）桥 的长度为 120 米；
（2）当 为 20 米时，桥墩 和 的总造价最低.
【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
11．【2020 年高考江苏】已知关于x 的函数 与 在
区间 D 上恒有 ．
（1）若 ，求 h(x)的表达式；
（2）若 ，求 k 的取值范围；
（3）若
求证： ．
2 2
1
1 1160 160 (80 ) 4 .40 40CD y x x x= − = − − = − +
CD EF ( )f x
3 2
3 2
1 3 1( )= (160 6 ) ( 4 )800 2 40
1 3( 160)(0 40).800 80
f x k x x k x x
k x x x
+ − + − +
= − + < <
23 3 3( )= ( 160) ( 20)800 40 800
kf x k x x x x′ − + = −
( )=0f x′ ， 20.x =
20x = ( )f x
AB
O'E CD EF
( ), ( )y f x y g x= = ( ) ( , )h x kx b k b= + ∈R
( ) ( ) ( )f x h x g x≥ ≥
( ) ( )2 22 2 ( )f x x x g x x x D= + = − + = ∞−∞ +， ， ，
2 1 ln ,( ) ( ) ( ) (0 )x x g k x h kx k Df x x x= − + = = − = + ∞， ， ，
( )4 2 2 3 4 2( ) 2 ( ) (4 8 ( ) 4 3 0 )2 2f x x x g x x h x t t x t t t= − = − = − − + < ≤， ， ，
[ ] , 2, 2D m n= ⊆ − ， 7n m− ≤【解析】（1）由条件 ，得 ，
取 ，得 ，所以 ．
由 ，得 ，此式对一切 恒成立，
所以 ，则 ，此时 恒成立，
所以 ．
（2） .
令 ，则 令 ，得 .
所以 .则 恒成立，
所以当且仅当 时， 恒成立．
另一方面， 恒成立，即 恒成立，
也即 恒成立．
因为 ，对称轴为 ，
所以 ，解得 ．
因此，k 的取值范围是
（3）①当 时，
由 ，得 ，整理得
( ) ( ) ( )f x h x g x≥ ≥ 2 22 2x x kx b x x+ ≥ + ≥ − +
0x = 0 0b≥ ≥ 0b =
2 2x x kx+ ≥ 2 2 ( ) 0x k x+ − ≥ ( , )x∈ −∞ +∞
22 0( )k− ≤ 2k = 22 2x x x≥ − +
( ) 2h x x=
1 ln ,( ) ( ) ( ) ( )0,h g x k x xx x− = − − ∈ +∞
( ) 1 lnu x x x= − − 1( ) 1 ,u' x x
= − ( )=0u' x 1x =
min( ) 0(1)u x u= = 1 lnx x− ≥
0k ≥ ( ) ( )f x g x≥
( ) ( )f x h x≥ 2 1x x kx k− + ≥ −
2 ( )1 1 + 0x k x k− + + ≥
0k ≥ 1 02
kx
+= >
21 4 1) 0( ( )k k+ − + ≤ 1 3k− ≤ ≤
0 3.k≤ ≤
1 2t≤ ≤
( ) ( )g x h x≤ 2 3 4 24 8 4( ) 3 2x t t x t t− ≤ − − +
令 则 ．
记
则 恒成立，
所以 在 上是减函数，则 ，即 ．
所以不等式 有解，设解为 ，
因此 ．
②当 时，
．
设 ，
令 ，得 ．
当 时， ， 是减函数；
当 时， ， 是增函数．
， ，则当 时， ．
（或证： ．）
则 ，因此 ．
因为 ，所以 ．
4 2
2 3 3 2 8( ) 0.( )4
t tx t t x
− −− − + ≤ ∗
3 2 4 2=( ) (3 2 8),t t t t∆ −− − − 6 4 2= 5 3 8t t t∆ − + +
6 4 25 3( ) 1 ),28(t t tt tϕ − + += ≤ ≤
5 3 2 220 6 2 (3 1)( 3( ) ) 06t t t t t t' tϕ − + = − −
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