2020-2021学年高三数学一轮复习易错题01 集合与常用逻辑用语

易错点 01 集合与常用逻辑用语 —备战 2021 年高考数学一轮复习易错题 【典例分析】（2020 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）设集合 A={x|x2–4≤0}， B={x|2x+a≤0}，且 A∩B={x|–2≤x≤1}，则 a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意首先求得集合 A,B，然后结合交集的结果得到关于 a 的方程，求解方程即可确定实数 a 的值. 【详解】求解二次不等式 可得： ， 求解一次不等式 可得： . 由于 ，故： ，解得： . 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力. 【易错警示】 易错点 1．代表元素意义不清致错 【例 1】集合 A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则 A∩B 等于(　　) A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)} C．{(2,4)} D．∅ 【错解】由Error!得Error!或Error!故选 A. 【错因】导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义，A 中的元素是实数 y，而 B 中的元 素是实数对(x，y)，也就是说，集合 A 为数集，集合 B 为点集，因此 A、B 两个集合中没有 公共元素，从而这两个集合的交集为空集． 【正解】D 易错点 2．忽视集合元素的互异性致错 2 4 0x − ≤ { }2| 2A x x−= ≤ ≤ 2 0x a+ ≤ | 2 aB x x = ≤ −   { }| 2 1A B x x∩ = − ≤ ≤ 12 a− = 2a = −【例 2】已知集合 A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且 A∩B＝{3,7}， 求集合 B. 【错解】由 A∩B＝{3,7}得 a2＋4a＋2＝7， 解得 a＝1 或 a＝－5. 当 a＝1 时，集合 B＝{0,7,3,1}； 当 a＝－5 时，集合 B＝{0,7,3}． 综上知集合 B＝{0,7,3,1}或 B＝{0,7,3}． 【错因】由题设条件知集合 B 中有四个元素，集合中出现了相同的元素， 与集合中元素的互异性矛盾，导致错解． 【正解】应将当 a＝－5 时的集合 B＝{0,7,3}舍去，故集合 B＝{0,7,3,1}． 易错点 3．忽视空集致错 【例 3】已知集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B⊆A， 求实数 m 的取值范围． 【错解】由 B⊆A，得Error!解得 2≤m≤3. 【错因】上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法． 原因是考虑不全面，由集合 B 的含义及 B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解． 因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现∅的可能． 【正解】A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且 B⊆A. ①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1，解得 m2 成立的必要条件有________．(填上所有正确的序号) ①x>1；②x3；④x0. 【错解】③；因为 x>3⇒x>2，所以 x>2 的一个必要条件为 x>3. 【错因】错解的主要原因是没弄清“a 是 b 的必要条件”和“a 的必要条件是 b”的真正含 义，前者说明 b⇒a；后者等价于“b 是 a 的必要条件”，即 a⇒b. 【正解】①⑤；因为 x>2⇒x>1，所以 x>2 的一个必要条件为 x>1.同理 x>2⇒x>0， 所以 x>2 的一个必要条件为 x>0. (2)命题 p：“向量 a 与向量 b 的夹角 θ 为锐角”是命题 q：“a·b>0”的________条件． 【错解】若向量 a 与向量 b 的夹角 θ 为锐角， 则 cos θ＝ a·b |a||b|>0，即 a·b>0，反之也成立，所以 p 是 q 的充要条件． 【错因】判断两个命题是否可以相互推导时，要注意特殊情况的判断，以防判断出现错误． 【正解】若向量 a 与向量 b 夹角 θ 为锐角，则 cos θ＝ a·b |a||b|>0⇒a·b>0； 而 a·b>0 时，θ＝0°也成立，但此时 a 与 b 夹角不为锐角．故 p 是 q 的充分不必要条件． 易错点 5．对含有一个量词的命题否定不完全 【例 5】已知命题 p：存在一个实数 x0，使得 x20－x0－2C． ， D． 【答案】B 【解析】对于 A 中，由指数函数的性质可得 ，所以命题“ ，使得 ”为 假命题； 对于 B 中，由 ，可得 成立，即充分性成立，反之：例如 时， ，所以必要性不成，所以 ，是 的充分不必要条件； 对于 C 中，例如：当 时，此时 ，所以命题“ ， ”假命题； 对于 D 中，当 时， 不成立，所以是假命题. 7．方程组 的解组成的集合为_________. 【答案】 【解析】由 ，解得 或 ，代入 ， 解得 或 ， 所以方程组 的解组成的集合为 ， 故答案为 . 8．已知 ， ，则“ ”是“ ”的______条件. 【答案】充分不必要 【解析】由题意得，在集合 中： ， 即 ， 解得： ， 即 ， 而 ， 即 ， x R∀ ∈ 22x x> 1sin 2( , )sinx x k k Zx π+ ≥ ≠ ∈ 0xe > 0x R∃ ∈ 0 0xe ≤ 1, 1a b> > 1ab > 1 , 42a b= = 1ab > 1, 1a b> > 1ab > 2x = 22x x= x R∀ ∈ 22x x> sin 0x < 1sin 2sinx x + ≥ 2 0 4 0 x y x + =  − = ( ) ( ){ }2, 2 , 2,2− − 2 4 0x − = 2x = 2x = − 0x y+ = 2 2 x y =  = − 2 2 x y = −  = 2 0 4 0 x y x + =  − = { }(2, 2),( 2,2)− − { }(2, 2),( 2,2)− − { }2| 2 0A x x x= − − < { }| 1B x x= ≥ − x A∈ x B∈ A 2 2 0x x− − < ( )( )2 1 0x x− + < 1 2x− < < { }1 2A x x= − < < { }| 1B x x= ≥ − A B⊆所以“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 【真题演练】 1．【2020 年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合 则 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 首先解一元二次不等式求得集合 A，之后利用交集中元素的特征求得 ，得到结果. 【详解】由 解得 ， 所以 ， 又因为 ，所以 ， 故选 D． 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法 求集合，集合的交运算，属于基础题目. 2．【2020 年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合 A={x||x|1，x∈Z}，则 A∩B= A． B．{–3，–2，2，3） C．{–2，0，2} D．{–2，2} 【答案】D 【解析】 【分析】 解绝对值不等式化简集合 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为 ， 或 ， 所以 . x A∈ x B∈ 2{ | 3 4 0}, { 4,1,3,5}A x x x B= − − < = − ， A B = { 4,1}− {1,5} {3,5} {1,3} A B 2 3 4 0x x− − < 1 4x− < < { }| 1 4A x x= − < < { }4,1,3,5B = − { }1,3A B = ∅ ,A B { } { }3, 2, 1,0,1,2A x x x Z= < ∈ = − − { } {1, 1B x x x Z x x= > ∈ = > }1,x x Z< − ∈ { }2, 2A B = −故选 D． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题. 3．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合 ， ，则A∩B 中元 素的个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 采用列举法列举出 中元素的即可. 【详解】由题意， ， 故 中元素的个数为 3. 故选 B. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 4．【2020 年高考天津】设全集 ，集合 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果. 【详解】由题意结合补集的定义可知 ，则 . 故选 C． 【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题. 5．【2020 年高考北京】已知集合 ， ，则 A． B． { }1 2 3 5 7 11A = ，，，，， { }3 15|B x x= < < A B {5,7,11}A B∩ = A B { 3, 2, 1,0,1,2,3}U = − − − { 1,0,1,2}, { 3,0,2,3}A B= − = − ( )UA B =∩  { 3,3}− {0,2} { 1,1}− { 3, 2, 1,1,3}− − − { }2, 1,1U B = − − ( ) { }U 1,1A B = −  { 1,0,1,2}A = − { | 0 3}B x x= < < A B = { 1,0,1}− {0,1}C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据交集定义直接得结果. 【详解】 ， 故选 D． 【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．【2020 年高考天津】设 ，则“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式 可得： 或 ， 据此可知： 是 的充分不必要条件. 故选 A． 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 7．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】设集合 A={x|1≤x≤3}，B={x|2 [1,3] (2,4) [1,4)A B = = 【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．【2020 年高考浙江】已知集合 P= ，Q= ，则 P Q= A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合交集定义求解 【详解】 . 故选 B. 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．【2020 年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线 l，m，n．“l ，m，n 共面”是“l ， m，n 两两相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意， 是空间不过同一点的三条直线， 当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交. 当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定 一个平面 ，而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面. 综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件. . { |1 4}x x< < { | 2 3}x x< <  { |1 2}x x< ≤ { | 2 3}x x< < { | 3 4}x x≤ < { |1 4}x x< < (1,4) (2,3) (2,3)P Q = =  , ,m n l , ,m n l // //m n l , ,m n l , ,m n l , ,m n A m l B n l C∩ = ∩ = ∩ = 2 ,m n α ,B m C nα α∈ ⊂ ∈ ⊂ 1 BC l α⊂ , ,m n l , ,m n l , ,m n l故选 B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中 档题. 10．【2020年高考北京】已知 ，则“存在 使得 ”是“ ” 的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断. 【详解】(1)当存在 使得 时， 若 为偶数，则 ； 若 为奇数，则 ； (2)当 时， 或 ， ，即 或 ， 亦即存在 使得 ． 所以，“存在 使得 ”是“ ”的充要条件. 故选 C． 【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类 讨论思想的应用，属于基础题. 11．【2020 年高考江苏】已知集合 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据集合的交集即可计算. 1 2 ,α β ∈R k ∈Z π ( 1)kkα β= + − sin sinα β= k ∈Z π ( 1)kkα β= + − k ( )sin sin π sinkα β β= + = k ( ) ( ) ( )sin sin π sin 1 π π sin π sink kα β β β β= − = − + − = − =   sin sinα β= 2 πmα β= + π 2 πmα β+ = + m∈Z ( ) ( )π 1 2kk k mα β= + − = ( ) ( )π 1 2 1kk k mα β= + − = + k ∈Z π ( 1)kkα β= + − k ∈Z π ( 1)kkα β= + − sin sinα β= { 1,0,1,2}, {0,2,3}A B= − = A B = { }0,2【详解】∵ , ， ∴ . 故答案为 . 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型． 12．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设有下列四个命题： p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① ② ③ ④ 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 利用两交线直线确定一个平面可判断命题 的真假；利用三点共线可判断命题 的真 假；利用异面直线可判断命题 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题 的真假. 再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ； 若 与 相交，则交点 在平面 内， 同理， 与 的交点 也在平面 内， 所以， ，即 ，命题 为真命题； 对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个， { }1,0,1,2A = − { }0,2,3B = { }0,2A B = { }0,2 ⊂ 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬ 1p 2p 3p 4p 1p 1l 2l α 3l 1l A α 3l 2l B α AB α⊂ 3l α⊂ 1p 2p命题 为假命题； 对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面， 命题 为假命题； 对于命题 ，若直线 平面 ， 则 垂直于平面 内所有直线， 直线 平面 ， 直线 直线 ， 命题 为真命题. 综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题， 真命题， 为假命题， 为真命题， 为真命题. 故答案为①③④. 【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断， 考查推理能力，属于中等题. 为 2p 3p 3p 4p m ⊥ α m α  l ⊂ α ∴ m ⊥ l 4p 1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬