专题 1.1 集合
【考纲解读与核心素养】
1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述
法)描述不同的具体问题；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的
补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
4.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力.
【知识清单】
1.元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若 a 属于集合 A，记作 ；若 b 不属于集合 A，记作 ．
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集及其符号表示
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或 N＋ Z Q R
2.集合间的基本关系
(1)子集：若对任意 x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B 或 B⊇A.
(2)真子集：若 A⊆B，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 A B 或 B A.
(3)相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B
若全集为 U，则集合 A
的补集为 CUA
图形表示
a A∈ b A∉集合表示 {x|x∈A，或 x∈B}
{x|x∈A，且 x
∈B}
{x|x∈U，且 x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(CUA)＝∅，A∪(CUA)＝U，CU(CUA)＝A.
特别提醒:
1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔CUA⊇CUB.
4. CU(A∩B)＝(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)＝(CUA)∩(CUB).
【典例剖析】
高频考点一 集合的基本概念
例 1.(2018 课标 II 理 2)已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
方法二：根据集合 A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆 x2＋y2＝3 中有 9 个整点，
即为集合 A 的元素个数，故选 A.
【规律方法】与集合中的元素有关的问题的三种求解策略
(1)研究一个用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.
( ){ }2 2, 3 , ,A x y x y x y= + ≤ ∈ ∈Z Z A(2)根据元素与集合的关系求参数时要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
(3)集合中的元素与方程有关时注意一次方程和一元二次方程的区别.
【变式探究】(2018 豫南九校联考一)已知集合 ，则集合 中元素的个数
为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】集合 B 中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共 4 个．故选 D．
【领悟技法】
与集合元素有关问题的思路：
（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．
（2）看这些元素满足什么限制条件．
（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性
高频考点二：集合间的基本关系
例 2.（2012·湖北省高考真题（文））已知集合 ，
则满足条件 的集合 的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
求解一元二次方程，得
，易知 .
因为 ，所以根据子集的定义，
集合 必须含有元素 1,2，且可能含有元素 3,4，
原题即求集合 的子集个数，即有 个，故选 D.
【方法技巧】
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含
有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
{ }1,2A = ( ){ , | , }B x y x A y A= ∈ ∈
{ } { }2| 3 2 0, , | 0 5,A x x x x R B x x x N= − + = ∈ = < < ∈
A C B⊆ ⊆ C
{ } ( )( ){ }2| 3 2 0, | 1 2 0,A x x x x x x x x= − + = ∈ = − − = ∈R R
{ }1,2= { } { }| 0 5, 1,2,3,4B x x x= < < ∈ =N
A C B⊆ ⊆
C
{ }3,4 22 4=(2)要确定非空集合 A 的子集的个数，需先确定集合 A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是
它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参
数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
【变式探究】
1.设集合 ， 对任意实数 x 恒成立，且 ，则下列关系
中成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， 或 ．
∴ ．∴ ．∴ ．
2.（2020·银川高级中学高三月考（理））已知集合 ， ，若 ，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
集合 ， ，
，故选 B.
高频考点三：集合的基本运算
例 3.（2019·北京高考真题（文））已知集合 A={x|–1
1 0{ | }P m m<
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