2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解1-2 全称量词与存在量词、充要条件

专题 1.2 全称量词与存在量词、充要条件 【考纲解读与核心素养】 1．理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充 要条件. 2.全称量词与存在量词 (1)理解全称量词与存在量词的意义. (2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象能力. 【知识清单】 1. 充分条件与必要条件 （1）若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件； （2）若 p⇒q，且 q⇒/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件； （3）若 p⇒/ q 且 q⇒p，则 p 是 q 的必要不充分条件； （4）若 p⇔q，则 p 是 q 的充要条件； （5）若 p⇒/ q 且 q⇒/ p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件． 2. 全称量词与存在量词 1．全称量词与全称命题 （1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示． （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题． （3）全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为 ，读作“对任意 x 属于 M， 有 p(x)成立”． 2．存在量词与特称命题 （1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示． （2）含有存在量词的命题，叫做特称命题． （3）特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”可用符号简记为 ，读作“存在 M 中的元 素 x0，使 p(x0)成立”． 3．全称命题与特称命题的否定 ∀ , ( )x M p x∀ ∈ ∃ 0 0, ( )x M p x∃ ∈（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． （2）“ 或 ”的否定为：“非 且非 ”；“ 且 ”的否定为：“非 或非 ”． （3）含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 【典例剖析】 高频考点一 充要条件的判定 例 1.（2019 年高考浙江）若 a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分 性成立； 当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立， 综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选 A. 例 2.（2018 年浙江卷）已知平面 α，直线 m，n 满足 m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 因为 ，所以根据线面平行的判定定理得 . 由 不能得出 与 内任一直线平行，所以 是 的充分不必要条件， 故选 A. 【思路点拨】一般地，充分、必要条件判断方法有三种.本题难度较小，根据线面平行的判定定理可得充分 性成立，而由 无法得到 m 平行于平面 内任一直线，即必要性不成立． p q p q p q p q , ( )x M p x∀ ∈ 0 0, ( )x M p x∃ ∈ ¬ 0 0, ( )x M p x∃ ∈ , ( )x M p x∀ ∈ ¬ 0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤ =1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b 4a b+ ≤ 4ab ≤例 3．（2019·北京高考真题（理））设点 A，B，C 不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是 “ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 ∵A､B､C 三点不共线,∴ | + |>| | | + |>| - | | + |2>| - |2 • >0 与 的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件, 故选 C. 【规律方法】 充要关系的几种判断方法 (1)定义法：若 ，则 是 的充分而不必要条件；若 ，则 是 的必要 而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 ，则 是 的既不充分也不 必要条件. (2)等价法：即利用 与 ； 与 ； 与 的等价关系，对于条 件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法． (3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题 p 的集合为 M，满足命题 q 的集合为 N，则 M 是 N 的 真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件，N 是 M 的真子集等价于 p 是 q 的必要不充分条件，M＝N 等价于 p 和 q 互为充要条件，M，N 不存在相互包含关系等价于 p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件 【变式探究】 1.（2019 年高考天津理）设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 可得 ，由 可得 ， AB AC AB AC BC+ >   AB AC BC ⇔ AB AC AB AC ⇔ AB AC AB AC AB⇔ AC AB⇔ AC AB AC AB AC BC ,p q q p⇒ ≠> p q ,p q q p≠> ⇒ p q ,p q q p⇒ ⇒ p q ,p q q p≠> ≠> p q p q⇒ q p¬ ¬⇒ q p⇒ p q¬ ¬⇒ p q⇔ q p¬ ¬⇔ x∈R 2 5 0x x− < | 1| 1x − < 2 5 0x x− < 0 5x< < | 1| 1x − < 0 2x< 0”是 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 由 ，可知当 时，有 ，即 ，反之，若 ，则 ，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选 C． 高频考点二：充分条件与必要条件的应用 例 4.（江西省新八校 2019 届高三第二次联考）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的取值范围 是________． 【答案】 【解析】 因为“ ”是“ ”的必要不充分条件， 0 5x< < 0 2x< < 0 2x< < 0 5x< < 0 5x< < 0 2x< < 2 5 0x x− < | 1| 1x − < { }na nS 4 6 5" + 2 "S S S> 的 4 6 5 1 12 10 21 2(5 10 )S S S a d a d d+ − = + − + = 0d > 4 6 52 0S S S+ − > 4 6 52S S S+ > 4 6 52S S S+ > 0d > 3x > x m> m 3m > 3x > x m>所以 是 的真子集，所以 ， 故答案为 . 【规律方法】 1.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不 等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 2.把握探求某结论成立的充分、必要条件的 3 个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件； (2)注意问题的形式，看清“p 是 q 的……”还是“p 的……是 q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式， 再判断； (3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命 题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 【变式探究】 （安徽省江南片 2019 届高三开学联考）设 ：实数 满足 ， ：实数 满足 ． （Ⅰ）当 时，若 为真，求实数 的取值范围； （Ⅱ）当 时，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 （Ⅰ）当 时， ： ， ： 或 . 因为 为真，所以 ， 中至少有一个真命题. 所以 或 或 ， 所以 或 ， 所以实数 的取值范围是 . （Ⅱ）当 时， ： ， 由 得： ： 或 ， ( ),m +∞ ( )3,+∞ 3m > 3m > p x ( 3 )( ) 0x a x a− − < q x 3 02 x x + >+ 1a = p q∨ x 0a < p q¬ a ( ) ( ), 3 2,−∞ − − +∞ ( )2, 1− − 1a = p 1 3x< < q 3x < − 2x > − p q∨ p q 1 3x< < 3x < − 2x > − 3x < − 2x > − x ( ) ( ), 3 2,−∞ − ∪ − +∞ 0a < p 3a x a< < 3 02 x x + >+ q 3x < − 2x > −所以 ： ， 因为 是 的必要条件， 所以 ， 所以 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 . 【特别警示】 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不 等式(组)求解． (2)注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够 取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 高频考点三：全称量词与存在量词 例 5.（2018 贵州模拟）命题 ： ， ，则 为（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A 【解析】根据特称命题的否定，易知原命题的否定为： ，故选 A． 例 6．（2013·重庆高考真题（文））命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为（ ） A．对任意 x∈R，都有 x2＜0 B．不存在 x∈R，都有 x2＜0 C．存在 x0∈R，使得 x02≥0 D．存在 x0∈R，使得 x02＜0 【答案】D 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为．存在 x0∈R，使得 x02＜0． 故选 D． 例 7. 有下列四个命题，其中真命题是（ ）． q¬ 3 2x− ≤ ≤ − p q¬ { | 3 2} { | 3 }x x x a x a− ≤ ≤ − ⊆ < < 3 3 2 a a < −  > − 2 1a− < < − a ( )2, 1− − p 0x R∃ ∈ ( )0 2f x ≥ p¬ x R∀ ∈ ( ) 2f x < x R∀ ∈ ( ) 2f x ≥ 0x R∃ ∈ ( ) 2f x ≤ 0x R∃ ∈ ( ) 2f x < ( ), 2x R f x∀ ∈ 至少有一个 至多有一个 对任意 x∈A 使 p(x)真 否定形式 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在 x0∈A 使 p(x0)假 【变式探究】 1．（2015·全国高考真题（理））设命题 ，则 的否定为（ ） n∀ ∈R 2n n≥ n∃ ∈R m∀ ∈R m n m⋅ = n∀ ∈R m∃ ∈R 2m n< n∀ ∈R 2n n< 1 2n = 21 1 1 2 4 2   = PA． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，特称命题的否定为全称命题，所以命 题 的否命题应该为 ，即本题的正确选项为 C. 2.（2019·江苏省高三月考）命题“ ”的否定是________. 【答案】 【解析】 全称量词改存在，再否定结论，即“ ”的否定是： 故答案为： 3．给出下列命题： （1） ， ；（2） ， ；（3） ， ，使得 ． 其中真命题的个数为______． 【答案】1 【解析】 对于（1），当 时， ，所以（1）是假命题； 对于（2）， ，所以（2）是假命题； 对于（3），当 ， 时， ，所以（3）是真命题． 所以共有 1 个真命题， 故填：1. 【易错提醒】 1．命题的否定与否命题的区别：“否命题”是对原命题“若 ，则 ”的条件和结论分别加以否定而得的命题， 它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非 ”，只是否定命题 的结论．命题的否定与原命题 的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系． 2．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提． 2, 2nn N n∀ ∈ > 2, 2nn N n∃ ∈ ≤ 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 2, 2nn N n∃ ∈ = 2, 2nn N n∀ ∈ ≤ 20, 0x x∀ >< 都有 20, 0x x∃ < ≤有 20, 0x x∀ >< 都有 20, 0x x∃ < ≤有 20, 0x x∃ < ≤有 x∀ ∈R 2 0x > x∃ ∈R 2 1 0x x+ + ≤ a∃ ∈ RQ Rb∈ Q a b+ ∈Q 0x = 2 0x = 2 2 1 3 31 02 4 4x x x + + = + + ≥ >   2 2a = − 3 2b = + 5a b+ = p q p p3．注意命题所含的量词，没有量词的要结 合命题的含义加上量词，再进 行否定．