专题 1.3 《集合与常用逻辑用语》单元测试卷
一、单选题
1．（2020·北京高三二模）已知集合 ， ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为集合 ， ，所以 .
故选：C.
2．（2020·山西省高三月考（理））已知集合 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，∴ ．
故选：B．
3．（2020·全国高一课时练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
集合 ， ，则 .
所以 .
故选 D.
4．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知全集 ，集合 ，
，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）
{ | 3 2}A x x= − < < { 3, 2,0}B = − − A B =
{ 2}− {0} { 2,0}− { 2,0,2}−
{ | 3 2}A x x= − < < { 3, 2,0}B = − − A B = { 2,0}−
2{1,2,3,4, |}, { 6 0}A B x x x= = − − < A B =
{ }2 { }1,2 { }2,3 { }1,2,3
2{ | 6 0} { | 2 3}B x x x x x= − − < = − < < {1,2}A B =
{ | 2}A x R x= ∈ < { }1,2,3,4B = ( )RC A B =
{1,2,3,4} {4} {3,4} {2,3,4}
{ | 2}A x R x= ∈ < { }1,2,3,4B = { | 2}RC A x x= ≥
( ) { }2,3,4RC A B∩ =
{1,3,5,7}U = {1,3}A =
{3,5}B =A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
全集 3，5， ，集合 ， ，
3， ，
如图所示阴影区域表示的集合为：
．
故选 B．
5．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知直线 a、b，平面 、 ，且 ，则 是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
若 ，如果 ，则 不成立；
若 ，过 做一平面 ，且 ，
则 .
所以当 时， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
{3} {7}
{3,7} {1,3,5}
{1,U = 7} { }1,3A = { }3,5B =
{1,A B∴ ∪ = 5}
∴
( ) { }7U A B∪ =
α β / / ,a b a β⊥ / /b α α β⊥
/ / , ,a b a α ββ ⊥⊥ b α⊂ / /b α
/ / , , / /a b a bβ α⊥ b γ lγ α∩ =
// , // , , ,b l a l l lβ α α β∴ ∴ ⊥ ⊂ ∴ ⊥
/ / ,a b a β⊥ / /b α α β⊥6．（2020·北京高三二模）已知 ，在下列条件中，使得 成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
对于选项 A， 是 成立的一个充要条件，即选项 A 不符合题意；
对于选项 B，由 ，可知 ，则 ，反之不成立，即选项 B 是 成立的一个充分而不必
要条件，即选项 B 成立；
对于选项 C，若 ，满足 ，但是 不成立，即选项 C 不符合题意；
对于选项 D，由 ，不能判断 的大小关系，即选项 D 不符合题意.
故选：B.
7．（2020·全国高一课时练习）设集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
依题意可知 3 是集合 的元素，即 ，解得 .
由 ，解得 或 ，
故选 B.
8．（2020·全国高一课时练习）已知集合 ， ，则
A． 或 B． 或
C． D． 或
【答案】A
【解析】
；
，或 ．
故选：A．
, ,a b c∈R a b<
3 3a b< 2 2ac bc< 1 1
a b
> 2 2a b<
3 3a b< a b<
2 2ac bc< 0c ≠ a b< a b<
0, 0a b> < 1 1
a b
> a b<
2 2a b< ,a b
{ }2,1,3A = − { }2| 5 0B x x x m= − + = { }3A B∩ = B =
{ }1,3 { }2,3 { }1, 2,3− − { }3
B 23 5 3 0m− × + = 6m =
2 5 6 0x x− + = 2x = 3x =9．（2020·全国高一课时练习）已知全集 , ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， = ， ，
则 ，
故选：D
10．（2020·全国高一课时练习）已知集合 P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合 T＝{xy|x∈
P，y∈Q}中元素的个数为( )
A．147 B．140
C．130 D．117
【答案】B
【解析】
由题意得，y 的取值一共有 3 种情况，当 y＝2 时，xy 是偶数，不与 y＝3，y＝5 有相同的元素，当 y＝3，x
＝5,15,25，…，95 时，与 y＝5，x＝3,9,15，…，57 时有相同的元素，共 10 个，故所求元素个数为 3×50－
10＝140，故选 B.
二、多选题
11．（2019·山东省淄博第十中学高三期末）若 是 的充分不必要条件，则实数 的
值可以是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【解析】
由 得 ，
因此由若 是 的充分不必要条件，则 ．
故选：BCD．
12．（2019·山东省郓城第一中学高三期中）若 ，使得 成立是假命题，则实数
可能取值是（ ）
U = R { | 0 2}A x x= < < { | 1}B x x= ≥ ( )UA C B∪ =
(0,1) (0, )+∞ ( ,1)−∞ ( ,2)−∞
{ | 1}B x x= ≥ UC B { | 1}x x < { | 0 2}A x x= < <
( ) { | 2}UA C B x x∪ = <
2 2 0x x− − < 2 x a− < < a
2 2 0x x− − < 1 2x− < <
2 2 0x x− − < 2 x a− < < 2a ≥
0
1 ,22x ∃ ∈
2
0 02 1 0x xλ− + < λA． B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】
∵若“ ,使得 成立”是假命题,
即“ ,使得 成立”是假命题,
即等价于“ ,使得 成立”是真命题,
令 , ,
由对勾函数可知,当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
∴当 时,函数 取最小值,即 ,
∴ ,
故实数 的取值范围为 .
故选:AB
13．（2019·滨州行知中学高一期末）给出下列四个条件：① ；② ；③ ；④
．其中能成为 的充分条件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】AD
【解析】
①由” 可知 ，所以 ，故 ；
② 当 时， ；当 时， ，故 ；
③ 由 ，得 ，故 ；
④ ．故选 AD．
3
2 2 2 9
2
0
1 ,[ ]22x∃ ∈ 2
0 02 1 0x xλ− + <
0
1 ,[ ]22x∃ ∈ 0
0
12x x
λ > +
1[ ,2]2x∀ ∈ 12x x
λ ≤ +
( ) 12f x x x
= + 1[ ,2]2x ∈
1[ ,2]2x ∈ ( )f x 1 2,2 2
2( ,2]2
2
2x = ( )f x min
2( ) 2 22f x f
= =
min( ) 2 2f xλ ≤ =
λ ( ,2 2]−∞
2 2xt yt> xt yt> 2 2x y>
1 10 x y
< < x y>
2 2xt yt> 2 0t > x y> 2 2xt yt x y> ⇒ >
0t > x y> 0t < x y< xt yt x y> ⇒ >
2 2x y> x y x y> ⇒ > 2 2x y x y> ⇒ >
1 10 x yx y
< < ⇒ >14．（2020·广东省高三月考（理））对任意 A，B R，记 A⊕B＝{x|x∈A∪B，x A∩B}，并称 A⊕B 为集合
A，B 的对称差.例如，若 A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则 A⊕B＝{1，4}，下列命题中，为真命题的是
（ ）
A．若 A，B R 且 A⊕B＝B，则 A＝
B．若 A，B R 且 A⊕B＝ ，则 A＝B
C．若 A，B R 且 A⊕B A，则 A B
D．存在 A，B R，使得 A⊕B＝ ⊕
E.存在 A，B R，使得
【答案】ABD
【解析】
根据定义 ，
A.若 ，则 ， ， ， ，∴
，A 正确；
B.若 ，则 ， ， ，B 正确；
C. 若 ，则 ， ，则 ，C 错；
D. 时， ， ，D 正确；
E.由定义， ，E 错．
故选：ABD．
三、填空题
15．（2019·陕西省高三一模（理））命题“ R， ”的否定为_______
【答案】 ，
【解析】
本小题给出的命题是全称命题，它的否定是特称命题“ ， ”.
16．（2020·全国高一专题练习）已知集合 A＝{－1，3，m}，集合 B＝{3，4}，若 B⊆A，则实数 m＝
________.
【答案】4
【解析】
⊆ ∉
⊆ ∅
⊆ ∅
⊆ ⊆ ⊆
⊆ AR BR
⊆ A B⊕ B A≠ ⊕
[( ) ] [ ( )]R RA B A B A B⊕ =
A B B⊕ = R A B B= RA B∩ = ∅ R A B B= RB A⇒ ⊆ RA B∩ = ∅ A B⇒ ⊆
A = ∅
A B⊕ = ∅ R A B = ∅ RA B∩ = ∅ A B A B= =
A B A⊕ ⊆ R A B = ∅ RA B A⊆ B A⊆
A B= A B⊕ = ∅ ( ) ( )R RA B A B⊕ = ∅ = ⊕
[( ) ] [ ( )]R RA B A B A B⊕ = B A= ⊕
x∀ ∈ 2 1 0x + >
x R∃ ∈ 2 1 0x + ≤
x R∃ ∈ 2 1 0x + ≤17．（2019·江苏省高三期末）已知集合 A＝｛4， ｝，B＝｛－1，16｝，若 A∩B ，则 ＝__.
【答案】±4
【解析】
因为 A∩B ，可知 ，解得 ，
故答案是： .
四、双空题
18．（2019·浙江省高一期末）已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7}，集合 A={1，2，3}，B={2，3，4}，则
A∩B=______，∁UA=______．
【答案】{2，3} {4，5，6，7}
【解析】
全集 U={1，2，3，4，5，6，7}，
集合 A={1，2，3}，
B={2，3，4}，
所以 A∩B={2，3}；
∁UA={4，5，6，7}．
故答案为：{2，3}，{4，5，6，7}．
19．（2019·浙江省高三期中）设集合 ，则 ________，
___________.
【答案】 或
【解析】
由题意：
由交集的定义，
由补集的定义：
故 或
故答案为： ， 或
{ }13 4.B A A m m⊆ ∴ ， ＝ － ，， ， ＝
2a ≠ ∅ a
≠ ∅ 2 16a = 4a = ±
4±
{ } { }0 2 , 1A x R x B x R x= ∈ < < = ∈ < A B =
( )R A B =
{ }0 1x x< < { 1x x < }2x ≥
{ }1 { | 1 1}B x R x x x= ∈ < = − < <
A B = { }0 1x x< <
( ,0] [2, )A = −∞ +∞R
( )R A B = { 1x x < }2x ≥
{ }0 1x x< < { 1x x < }2x ≥20．（2018·浙江省镇海中学高二期末）设条件 ， ，若 p 是 q 的充分条件，
则 m 的最大值为____，若 p 是 q 的必要条件，则 m 的最小值为____.
【答案】
【解析】
由 得：
是 的充分条件
的最大值为
是 的必要条件
的最小值为
21．（2019·北京高三期中）设 是整数集的一个非空子集，对于 ，若 ，且 ，则称
是 的一个“孤立元”．集合 元素中 T 的“孤立元”是_____；对给定集合
，由 中的 3 个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有____个
【答案】5 16.
【解析】
（1）依次判断每个元素是否为孤立元：对于 1， ，不是孤立元；对于 2， ，不是孤立元；
对于 3， ，不是孤立元；对于 5， ，是孤立元；
故答案为 5
（2）3 个元素构成的所有集合为 个
不含孤立元的集合有 ， ， 4 个
故含“孤立元”的集合有 16 个
故答案为 16
五、解答题
22．（2019·晋中市和诚高中有限公司高三月考（文））已知函数 的定义域为 A，
的值域为 B．
( ): 0p x m m≤ > : 1 4q x− ≤ ≤
1 4
( )0x m m≤ > m x m− ≤ ≤
p q 1
4
m
m
− ≥ −⇒ ≤ 0 1m⇒ < ≤
m∴ 1
p q 1
4
m
m
− ≤ −⇒ ≥ 4m⇒ ≥
m∴ 4
A k A∈ 1k A− ∉ 1k A+ ∉ k
A { }1 2 3 5T = , , ,
{ }1 2 3 4 5 6S = , , , , , S
2 A∈ 1 ,3A A∈ ∈
2 A∈ 4 ,6A A∉ ∉
3
6 20C =
{ }1,2,3 { }2,3,4 { }3,4,5 { }4,5,6
1( ) 1
2
f x x
x
= + +
−
2( ) 1g x x= +（1）求 A，B；
（2）设全集 ，求
【答案】（1） ， ；（2） .
（1）由 得： ，解得 .
.
，
（2） .
.
23．（2019·高三月考）记函数 的定义域、值域分别为集合 A，B.
（1）当 时，求 ；
（2）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
（1） 时， ，由 得 ，即 ，
由 得 ，
∴ ；
（2）“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 是 的真子集，若 ，
则由 得 ，即 ，与（1）类似得 ，不合题意，
若 ，则 ，即 ，满足题意，
若 ，则 ， ， ，满足题意．
综上 的取值范围是 ．
24．（2019·安徽省高三期中（文））已知集合 M＝{x|x5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求 M∩P＝{x|5 1 1x− < < ( 1,1)A = −
20 1 1x< − ≤ ( ,0]B = −∞
( 1,0]A B = −
x A∈ x B∈ B A 0a >
21 0ax− > 1 1xa a
− < < 1 1( , )A a a
= − ( ,0]B = −∞
0a = ( ) lg1 0f x = = , {0}A R B= =
0a < 21 1ax− ≥ A R= [0, )B = +∞
a ( ,0]−∞
3 5a− ≤ ≤ 0a =【解析】
(1)由 M∩P＝{x|5
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