2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解2-1 不等式的性质及常见不等式解法

专题 2.1 不等式的性质及常见不等式解法 【考纲要求】 1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 2.一元二次不等式： (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式. 3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c， |x－a|＋|x－b|≥c， |x－a|＋|x－b|≤c 型不等式. 4.掌握不等式 ||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用. 5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养. 【知识清单】 1．实数的大小 (1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大. (2)对于任意两个实数 a 和 b，如果 a－b 是正数，那么 a>b；如果 a－b 是负数，那么 a”、“b，那么 bb⇔bb，b>c，那么 a>c. 即 a>b，b>c⇒a>c. (3)性质 3：如果 a>b，那么 a＋c>b＋c. (4)性质 4：①如果 a>b，c>0 那么 ac>bc. ②如果 a>b，cd，那么 a＋c>b＋d.(6)性质 6：如果 a>b>0，c>d>0，那么 ac>bd. (7)性质 7：如果 a>b>0，那么 an>bn，(n∈N，n≥2)． (8)性质 8：如果 a>b>0，那么n a>n b，(n∈N，n≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式 (1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式： ①ax2＋bx＋c>0(a≠0)； ②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)； ③ax2＋bx＋c0⇔f(x)g(x)__>__0，f(x) g(x)0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|0) 和 |ax ＋ b|≥c(c>0) 型 不 等 式 的 解 法 |ax ＋ b|≤c⇔ － c≤ax ＋ b≤c(c>0) ， |ax ＋ b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用 如果 a，b 是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab≥0 时，等号成立． 【考点梳理】 考点一 ：用不等式表示不等关系 【典例 1】某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本．根据市场调查，若单价每提高 0.1 元， 销售量就可能相应减少 2 000 本，若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低 于 20 万元？ 【答案】见解析 【解析】提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－x－2.5 0.1 ×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不 低于 20 万元”用不等式可以表示为： (8－x－2.5 0.1 ×0.2)x≥20. 【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤： ①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不 少于”“不多于”“超过”“不超过”等． ②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 【变式探究】某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】 分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过 4 000 mm；②截得 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管数量的 3 倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述 不等关系． 详解：设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管 y 根，依题意，可得不等式组：Error!，即Error! 考点二：比较数或式子的大小 【典例 2】(1)比较 x2＋y2＋1 与 2(x＋y－1)的大小； (2)设 a∈R 且 a≠0，比较 a 与1 a的大小． 【答案】见解析 【解析】 (1)x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝x2－2x＋1＋y2－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0， ∴x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)． (2)由 a－1 a＝ (a－1)(a＋1) a 当 a＝±1 时，a＝1 a； 当－1＜a＜0 或 a＞1 时，a＞1 a； 当 a＜－1 或 0＜a＜1 时，a＜1 a. 【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化 等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法 一般步骤：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】 已知 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小． 【答案】见解析 【解析】∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0， ∴(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝－2xy(x－y)＞0， ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)． 考点三：不等式性质的应用 【典例 3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数 ，下列正确的结论为（ ） A．若 ，则 ； B．若 ，则 ； C．若 ，则 ； D．若 ，则 ． 【答案】D 【解析】 A：根据不等式的基本性质可知：只有当 时，才能由 推出 ，故本选项结论不正确； B：若 时，由 推出 ，故本选项结论不正确； C：若 时，显然满足 ，但是 没有意义，故本选项结论不正确； D： ，因为 ，所以 ， 因此 ，所以本选项结论正确. 故选：D 【典例 4】 若 a＝ln3 3 ，b＝ln4 4 ，c＝ln5 5 ，则(　　) A．a＜b＜c　B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【答案】B 【解析】方法一　易知 a，b，c 都是正数， b a＝3ln4 4ln3＝log8164＜1，所以 a＞b； b c＝5ln4 4ln5＝log6251 024＞1，所以 b＞c.即 c＜b＜a. a b c d, ,, , 0a b c> ≠ ac bc> a b> 2 2ac bc> a b> 1 1 a b < 0a b< < b a a b < 0c > a b> ac bc> 0c = a b> 2 2ac bc= 3, 0a b= = a b> 1 b 2 2 ( )( )b a b a b a b a a b ab ab − + −− = = 0a b< < 0, 0, 0b a ab a b− > > + < 0b a b a a b a b − < ⇒