专题 2.2 基本不等式及其应用
【考纲解读与核心素养】
1. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.
【知识清单】
1．重要不等式
当 a、b 是任意实数时，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a=b 时，等号成立．
2．基本不等式
当 a>0，b>0 时有 ，当且仅当 a=b 时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知 x、y 都是正数．
(1)若 x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y 时，积 xy 取得最大值．
(2)若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值．
4.常用推论
（1） （ ）
（2） （ ， ）；
（3）
【典例剖析】
高频考点一 ：利用基本不等式证明不等式
例 1. 已知 、 、 都是正数，求证：
【答案】见解析
【解析】∵ 、 、 都是正数
∴ （当且仅当 时，取等号）
abba ≥+
2
abba ≥+
2
2 2
ab 2
a b+≤ , Ra b∈
2ab ( )2
a b+≤ 0a > 0b >
2 2
2( )2 2
a b a b+ +≥
2 22 ( 0, 0)1 1 2 2
a b a bab a b
a b
+ +≤ ≤ ≤ > >
+
a b c ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥
a b c
2 0a b ab+ ≥ > a b= （当且仅当 时，取等号）
（当且仅当 时，取等号）
∴ （当且仅当 时，取等号）
即 .
【方法技巧】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足
使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个
数，“1”的代换法等．
【变式探究】
1.已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证： .
【答案】见解析
【解析】∵ ， ， ，
∴ .同理， .
∴ ＝ ，
当且仅当 ，即 时取“＝”．
∴ ，当且仅当 时等号成立．
2.求证:
【答案】见解析
【解析】证明: 由基本不等式和 得
=
当且仅当 即 时取等号.
2 0b c bc+ ≥ > b c=
2 0c a ca+ ≥ > c a=
( )( )( ) 2 2 2 8a b b c c a ab bc ca abc+ + + ≥ ⋅ ⋅ = a b c= =
( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥
1 11 1 9a b
+ + ≥
0a > 0b > 1a b＋ ＝
11+ =1+ =2+a b b
a a a
+ 11+ =2+ a
b b
1 11 1 2 2b a
a b a b
+ + = + + 5+2 5+4=9b a
a b
+ ≥
b a
a b
= 1a=b= 2
1 11 1 9a b
+ + ≥
1
2a b= =
4 7( 3)3 a aa
+ ≥ >−
4 4 3 33 3a aa a
+ = + − +− − 3a >
4 4 43 3 2 ( 3) 33 3 3a a aa a a
+ = + − + ≥ ⋅ − +− − −
2 4 3 7× + =
4 33 aa
= −− 5a =高频考点二：利用基本不等式求最值
例 2. （2019 年高考天津卷文）设 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】 .
因为 ，
所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号成立.
又因为
所以 的最小值为 .
例 3．（浙江省金丽衢十二校 2019 届高三第一次联考）若实数 、 满足 ，且 ，
则 的最小值是__________， 的最大值为__________．
【答案】2
【解析】
实数 、 满足 ，且 ，则 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值是 2，
，当且仅当 ，即 时取等号
故 的最大值为 ，
0, 0, 2 4x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y
xy
+ +
9
2
( 1)(2 1) 2 2 1 2 5 2 5x y xy y x xy
xy xy xy xy
+ + + + + += = = +
0, 0, 2 4x y x y> > + =
2 4 2 2x y x y+ = ≥ ⋅
2 2,0 2xy xy≤ < ≤ 2 2x y= =
1 92 2 55 =2 2xy
+ ≥ + × ，
( 1)(2 1)x y
xy
+ + 9
2故答案为：2， ．
【规律方法】
利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始
范围.
注意：形如 的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的
单调性求解．
【变式探究】
1.（陕西省 2019 年高三第三次教学质量检测）若正数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．3
【答案】A
【解析】由题意，因为 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故选 A.
2.设 当 ________时， 取到最小值．
【答案】
【解析】
因为 ，所以 ，
( 0)ay x ax
= + >
,m n 12 =+ nm 1 1
m n
+
223+ 3 2+
2 2 2+
12 =+ nm
1 1 1 1 2 2( ) (2 ) 3 3 2 3 2 2n m n mm nm n m n m n m n
+ = + ⋅ + = + + ≥ + ⋅ = +
2n m
m n
= 2n m=
1 1
m n
+ 223+当且仅当 时取等号，
故当 时， 取得最小值是 ，故答案是 .
【总结提升】
通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面
的问题：
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；
(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
高频考点三：基本不等式的实际应用
例 4. （2017·江苏高考真题）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 吨，运费为 6 万元/次，一年的
总存储费用为 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则 的值是 .
【答案】30
【解析】总费用 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
【规律方法】
1.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
2.利用基本不等式求解实际应用题注意点：
(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求
解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时
可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【易错警示】忽视不等式等号成立的条件！
【变式探究】如图，有一块等腰直角三角形 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形 的绿
x
4x x
600 9004 6 4( ) 4 2 900 240x xx x
+ × = + ≥ × = 900x x
= 30x =
ABC EFGH地，已知 , ，绿地面积最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ， ，由条件可知 和 为等直角三角形，所以 ，
． ＝ ≥ ＝ ，即 ≤4，所以 ，所以
绿地面积最大值为 4，故选 C．
高频考点四：基本不等式的综合运用
例 5. （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））已知函数 （ ）．
（1）若不等式 的解集为 ，求 的取值范围；
（2）当 时，解不等式 ；
（3）若不等式 的解集为 ，若 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .；（3） .
【解析】
（1）①当 即 时， ，不合题意；
②当 即 时，
，即 ，
∴ ，∴
（2） 即
AB AC⊥ 4AB =
6 4 2 4 2 2
EH x= EF y= EBH∆ EFA∆ 2EB x=
2
2AE y= AB EB AE= + 22 2x y+ 22 2 2x y⋅ 2 xy 2 xy 4xy ≤
2( ) ( 1) 1f x m x mx m= + − + − m R∈
( ) 0f x < ∅ m
2m > − ( )f x m≥
( ) 0f x ≥ D [ 11] D− ⊆， m
2 3
3m ≥ 1|1 1x x m
≤ ≤ − +
2 3
3m ≥
1 0m + = 1m = − ( ) 2f x x= −
1 0m + ≠ 1m ≠ −
( )( )2
1 0{ 4 1 1 0
m
m m m
+ >
∆ = − + − ≤ 2
1{3 4 0
m
m
> −
− ≥
1
{ 2 3 2 3
3 3
m
m m
> −
≤ − ≥或
2 3
3m ≥
( )f x m≥ ( ) 21 1 0m x mx+ − − ≥即
①当 即 时，解集为
②当 即 时，
∵ ，∴解集为
③当 即 时，
∵ ，所以 ，所以
∴解集为
（3）不等式 的解集为 ， ，
即对任意的 ，不等式 恒成立，
即 恒成立，
因为 恒成立，所以 恒成立，
设 则 ， ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， ，
所以
例 6．设函数
（Ⅰ）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
( ) ( )1 1 1 0m x x + + − ≥
1 0m + = 1m = − { | 1}x x ≥
1 0m + > 1m > − ( )1 1 01x xm
+ − ≥ +
1 0 11m
− < +
1{ |1 }1x x m
≤ ≤ − +
( ) 0f x ≥ D [ ]1,1 D− ⊆
[ ]1,1x∈ − ( ) 21 1 0m x mx m+ − + − ≥
( )2 21 1m x x x− + ≥ − +
2 1 0x x− + >
2
2 2
1 211 1
x xm x x x x
− + −≥ = − +− + − +
2 ,x t− = [ ]1,3t ∈ 2x t= −
( ) ( )22 2
2 1
31 3 32 2 1 3
x t t
x x t tt t t t
− = = =− + − +− − − + + −
3 2 3t t
+ ≥ 3t =
2
2 1 2 3 3
1 32 3 3
x
x x
− +≤ =− + − 2 3x = −
2 3x = −
2
2
max
1 2 3
1 3
x
x x
− + = − +
2 3
3m ≥（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当 取最大值时，设 ， 且 ，求 的最小值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
（Ⅰ）因为函数 的对称轴为 ，且开口向上，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
∴ .
（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）可得 ，
即 ，
所以 .
所以 .
∵ ，
则
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
【总结提升】
基本不等式的综合应用求解策略
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
【变式探究】1．(2019·北京海淀模拟)已知 f(x)＝32x－(k＋1)·3x＋2，当 x∈R 时，f(x)恒为正值，则 k 的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，2 2－1)
C．(－1,2 2－1) D．(－2 2－1,2 2－1)
【答案】B
【解析】由 f(x)＞0 得 32x－(k＋1)3x＋2＞0，解得 k＋1＜3x＋2
3x.而 3x＋2
3x≥2 2(当且仅当 3x＝2
3x，即 x＝log3 2
时，等号成立)，∴k＋1＜2 2，即 k＜2 2－1.
2.（天津市河北区 2019 届高三二模）已知首项与公比相等的等比数列 中，若 ， ，满足
，则 的最小值为__________．
【答案】1
【解析】设等比数列 公比为 ，则首项
由 得： ，
则： ， ，
，
， .
则 （当且仅当 ，即 时取等号）
.
故填 .
n ∗∈N
,m n ∗∈N
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