专题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
【考纲解读与核心素养】
1.一元二次不等式：
(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
(3)会解一元二次不等式.
2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.
3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.
【知识清单】
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c0(a≠0)或 ax2＋bx＋c0 或 f(x)0)，方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac
判别式 Δ
＝b2－4ac
Δ>0 Δ＝0 Δ0
或 f(x)<
0 的步骤
画函数 y＝f(x)的示
意图
f(x)>0
__{x|xx2}__
{x|x≠－ b
2a} R
得不
等式
的解
集
f(x)
x∈R
( ) 1f x ax≤ −
( ] [ ), 3 1,−∞ − − +∞
0x = ( ) 1f x ax≤ − 0 1≤ −
0x < ( ) 1f x ax≤ − 2 1x x ax− + ≤ 1 1a x x
≤ + −
0x < 1 1( ) 2x xx x
+ = − − + − ≤ −
1x x
− = − 1x = −
0x > ( ) 1f x ax≤ − 2 1x ax+ ≤
21 2 1 1 1 1a x x x
≥ + = + − ≥ −
x∈R ( ) 1f x ax≤ −
2 1 3a ≤ − − = − 1a ≥ −
( ] [ ), 3 1,−∞ − − +∞
2( ) 1( 0)f x x ax a= + + >
( )f x [0, )+∞ x ( ) 4f x =
2a = 2 2( ) [ ( )] 2 ( ) 1g x f x mf x m= − + − [ 2,1]− m
3x = − 1x = (1,2]（1）因为 的值域为 ，所以 .
因为 ，所以 ，则 .
因为 ，所以 ，即 ，
解得 或 .
（2） 在 上有三个零点等价于方程
在 上有三个不同的根.
因为 ，所以 或 .
因为 ，所以 .
结合 在 上的图象可知，要使方程 在 上有三个不同的根，
则 在 上有一个实数根， 在 上有两个不等实数根，
即 ，解得 .
故 的取值范围为 .
【规律总结】
1.一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，也是函数 y＝ax2
＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标．
2．注意灵活运用根与系数的关系解决问题．
【变式探究】（2019·马关县第一中学校高一期末）已知二次函数 ，且-1,3 是函数
的零点.
（1）求 解析式，并解不等式 ;
（2）若 ，求行数 的值域
【答案】（1） （2）
【解析】
( )f x [ )0,+∞ ( ) 2 2
min
1 1 1 02 4 2
af x f a a = − = − + =
0a > 2a = ( ) 2 2 1f x x x= + +
( ) 4f x = 2 2 1 4x x+ + = 2 2 3 0x x+ − =
3x = − 1x =
( ) ( ) ( )2 22 1g x f x mf x m = − + − [ ]2,1−
( ) ( )2 22 1 0f x mf x m − + − = [ ]2,1−
( ) ( )2 22 1 0f x mf x m − + − = ( ) 1f x m= + ( ) 1f x m= −
2a = ( ) 2 2 1f x x x= + +
( )f x [ ]2,1− ( ) ( )2 22 1 0f x mf x m − + − = [ ]2,1−
( ) 1f x m= + [ ]2,1− ( ) 1f x m= − [ ]2,1−
1 1 4
0 1 1
m
m
< + ≤
< − ≤ 1 2m< ≤
m ( ]1,2
2( ) ( 2) 3f x ax b x= + − +
( )f x
( )f x ( ) 3f x ≤
( ) (sin )g x f x= ( )g x
{ }0 2x x x≤ ≥或 ( ) [0,4]g x ∈（1）由题意得
即
，
（2）令
高频考点七：一元二次不等式恒成立问题
例 7.（2019·湖北高三月考（理））若对任意的 ，存在实数 ，使
恒成立，则实数 的最大值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【解析】
由 时， 恒成立可得：
令 ，
可得 ， 图象如下图所示：
21 3
31 3
b
a
a
−− + = −
− ⋅ =
1
4
a
b
= −∴ =
∴ ( ) 2 2 3f x x x= − + +
2 2 3 3x x∴− + + ≤ 2 2 0x x− ≥
∴ { }0 2x x x≤ ≥或
[ ]sin 1,1t x= ∈ − ( ) ( ) [ ]22 2 3 1 4 0,4g t t t t= − + + = − − + ∈
∴ ( ) [ ]0,4g x ∈
[1,5]x∈ a 22 6 ( , 0)x x ax b x a R b≤ + + ≤ ∈ >
b
[ ]1,5x∈ 22 6x x ax b x≤ + + ≤ 2 22 6x x ax b x x− + ≤ + ≤ − +
( ) ( )2 2 1 5f x x x x= − + ≤ ≤ ( ) ( )2 6 1 5g x x x x= − + ≤ ≤
( )f x ( )g x要使 最大，则 必过 ，且与 相切于点
则此时 ，即直线方程为：
联立 得：
，解得：
由图象可知
本题正确选项：
【总结提升】
由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键
1.一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．
2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依
据是： (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min..
3.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对
称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
【变式探究】（2020·济源市第六中学高二月考（文））已知函数 ，若在区间 上，不等
式 恒成立，则实数 的取值范围是___________．
【答案】
b y ax b= + ( )1,5A ( )y f x= B
5b a= − 5y ax a= + −
2
5
2
y ax a
y x x
= + −
= − +
( )2 2 5 0x a x a+ − + − =
( ) ( )22 4 5 0a a∴∆ = − − − = 2 16a =
0a < 4a∴ = − ( )max 5 4 9b∴ = − − =
A
( ) 2 1f x x x= − + [ ]1,1−
( ) 2f x x m> + m
( ), 1−∞ −【解析】
要使在区间 上，不等式 恒成立，
只需 恒成立，
设 ，只需 小于 在区间 上的最小值，
因为 ，所以当 时，
，
所以 ，所以实数 的取值范围是 .
高频考点八：二次函数的综合应用
例 8．（2016·上海市松江二中高三月考）设 ( R)
(1) 若 ，求 在区间 上的最大值；
(2) 若 ，写出 的单调区间；
(3) 若存在 ，使得方程 有三个不相等的实数解，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） 的单调增区间为 和 ，单调减区间
（3）
【解析】
（1）当 时， = ,
在 R 上为增函数，
在 上为增函数，
则 .
（2） ,
,
[ ]1,1− ( ) 2f x x m> +
( ) 22 3 1m f x x x x< − = − +
( ) 2 3 1g x x x= − + m ( )g x [ ]1,1−
( ) 2
2 3 53 1 2 4g x x x x = − + = − − 1x =
( ) ( ) 2
min 1 1 3 1 1 1g x g= = − × + = −
1m < − m ( ), 1−∞ −
( ) 2f x x x a x= − + a∈
2a = ( )f x [ ]0,3
2a > ( )f x
[ ]2,4a∈ − ( ) ( )f x tf a= t
( )max 9f x = ( )f x 2, 2
a + −∞
( ),a +∞ 2 ,2
a a
+
91 8t< <
2a = ( ) 2 2f x x x x= − +
2
2
4 , 2{
, 2
x x x
x x
− + <
≥
∴ ( )f x
∴ ( )f x [ ]0,3
( ) ( )max 3 9f x f= =
( ) ( )
( )
2
2
2 ,{ 2 ,
x a x x af x x a x x a
− + + ,
当 时， ， 在 为增函数 ,
当 时， ，即 ,
在 为增函数，在 为减函数 ,
则 的单调增区间为 和 ，单调减区间 .
（3）由（2）可知，当 时， 为增函数，
方程不可能有三个不相等实数根,
当 时，由（2）得 ,
,
即 在 有解,
由 在 上为增函数,
当 时， 的最大值为 ,
则 .
【总结提升】
对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方
程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种
手段．通过分离参数可转化为 或 恒成立，即 或 即可，利用导数
知识结合单调性求出 或 即得解.
【变式探究】
（2020·海丰县彭湃中学高一期末）已知函数 ， ，且函数
0 2 2a a a∴ < − < < +
x a≥ 2
2
aa
−> ∴ ( )f x ( ),a +∞
x a< 2 2 02 2
a aa
+ −− = < 2
2
a a
+ <
∴ ( )f x 2, 2
a + −∞
2 ,2
a a
+
( )f x 2, 2
a + −∞
( ),a +∞ 2 ,2
a a
+
2 2a− ≤ ≤ ( )f x
2 4a< ≤ ( ) ( ) 2
2
af a tf a f
+ < <
( )222 2 4
aa at
+< <
( )221 8
at a
+< < ( ]2,4
( )22 1 1
8 8 2 2
a a
a a
+ = + + ( ]2,4
∴ 4a = ( )22
8
a
a
+ 9
8
91 8t< <
( )a h x> ( )a h x< ( )maxa h x> ( )mina h x<
( )maxh x ( )minh x
2( ) ( 2)f x x m x m= + − − ( )( ) f xg x x
=是偶函数.
（1）求 的解析式；
（2）若不等式 在 上恒成立，求 n 的取值范围；
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）∵ ,
∴ .
∵ 是偶函数,
∴ ,∴ .
∴ ,
∴ .
（2）令 ,
∵ ,
∴ ,不等式 在 上恒成立,
等价于 在 上恒成立,
∴ .
令 , ,则 ,
,
∴ .
( 2)y f x= −
( )g x
(ln ) ln 0g x n x− 2
1 ,1e
6( ) 4( 0)g x x xx
= − + ≠ 5
2n −
2( ) ( 2)f x x m x m= + − −
2 2( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 6) 8 3f x x m x m x m x m− = − + − − − = + − + −
( 2)y f x= −
6 0m − = 6m =
2( ) 4 6f x x x= + −
6( ) 4( 0)g x x xx
= − + ≠
ln x t=
2
1 ,1ex ∈
[ 2,0)t ∈ − (ln ) ln 0g x n x− 2
1 ,1e
( ) 0g t nt− [ 2,0)t ∈ −
2 2
6 4 6 4 6 41 1
t tn t t t t t
− +
= − + = − + +
2
6 4 1z t t
= − + + 1 st
= 1
2s −
2 56 4 1 2z s s= − + + −
5
2n −
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