专题 2.4 《等式与不等式》单元测试卷
一、单选题
1．（2020·大名中学高二月考）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
依题意集合 ，
集合 ，所以由补集定义可得 ，
所以 .
故选:D.
2．（2019·浙江省高三其他）设 ，则“ ”成立的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 得 ，解得 .
所以，“ ”成立的必要不充分条件是 .
故选：B.
3．（2020·陕西省高二期末（理））已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】
因为 ，且 ，即为 ，
( )( ){ }| 5 1 1 0A x x x= + − < { }| 0B y y= > ( )RA C B =
∅ [ )0,1 1 ,05
−
1 ,05
−
( )( ){ } 1| 5 1 1 0 | 15A x x x x x = + − < = − < { }| 0RC B y y= ≤
( ) 1 ,05RA C B = −
x∈R 1 1x − ≤
0 2x≤ ≤ 2x ≤ 0 2x< < 0x >
1 1x − ≤ 1 1 1x− ≤ − ≤ 0 2x≤ ≤
1 1x − ≤ 2x ≤
0, 0x y> > 2x y xy+ = 4 2x y+
0, 0x y> > 2x y xy+ = 2 1 1y x
+ =则 ，当且仅当 ，即
取得等号，则 的最小值为 .
故选：C．
4．（2019·宁夏回族自治区贺兰县景博中学高一期末）若函数 对 都有
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 都有 恒成立
当 时， 恒成立
当 时，则
综上所述：
故选：A
5．（2020·河南省信阳市第六高级中学高二月考（文））设 ，且 ，若
，则必有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ，利用基本不等式代换， 所以
6．（2020·高一期中）已知正实数 a、b 满足 a+b=ab，则 ab 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】D
( ) 2 1 2 8 2 84 2 4 2 8 8 2 16y x y xx y x y y x x y x y
+ = + + = + + ≥ + ⋅ =
2 8=
2
y x
x y
x y xy
+ =
2 4y x= = 4 2x y+ 16
( ) 2 1f x ax ax= + − x R∀ ∈ ( ) 0f x <
a
4 0a- < £ 4a < - 4 0a- < < 0a ≤
x R∀ ∈ ( ) 0f x <
0a = ( ) 1 0f x = − <
0a ≠ 2
0 4 04 0
a aa a
c d> a c b d− > −
a b> c d> ac bd> 0a b> > 0c < c c
a b
>
0a b> ≥ 2 2a b>
2a = 1b = a b> 4c = 3d = c d> 2a c b d− = − = −
2a = 1b = a b> 3c = − 4d = − c d> 6 4ac bd= − < − =
0a b> > 0ab∴ > a b> ab 1 1
b a
>
0c
2 162 a bx x b a
+ < + a ( )0b∈ + ∞， x
( )2 0− ， ( )4 2− ， ( ) ( )2 0−∞ − ∪ + ∞， ， ( ) ( )4 2−∞ − + ∞， ，
2 162 a bx x b a
+ < + a ( )0b∈ + ∞， 2 162 min
a bx x b a
+ < +（ ）
16 162 8a b a b
b a b a
+ ≥ × = 16a b
b a
= 4a b= 16 8min
a b
b a
（ ）+ =
2 2 8x x+ < 4 2x− < < x ( )4 2− ，9．（2020·大名中学高二月考）已知函数 ，若关于 的不等式 的解集为
，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
关于 的不等式 的解集为 ，
可得 ，且 ，3 为方程 的两根，
可得 ， ，即 ， ，
， ，
可得 ， （1） ， （4） ，
可得 （4） （1），故选 ．
10．（2019·晋中市和诚高中有限公司高三月考（理））在 R 上定义运算: =ad-bc,若不等式
≥1 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的最大值为( )
A．- B．- C． D．
【答案】D
【解析】
由定义知,不等式 ≥1 等价于 x2-x-(a2-a-2)≥1,所以 x2-x+1≥a2-a 对任意实数 x 恒成立.因为
x2-x+1= + ≥ ,所以 a2-a≤ ,解得- ≤a≤ ,则实数 a 的最大值为 . 选 D.
二、多选题
11．（2020·江苏省高一期末）使不等式 成立的一个充分不必要条件是（ ）
( ) 2f x ax bx c= + + x ( ) 0f x >
( )1, 3−
( ) ( ) ( )4 0 1f f f> > ( ) ( ) ( )1 0 4f f f> >
( ) ( ) ( )0 1 4f f f> > ( ) ( ) ( )1 4 0f f f> >
x ( ) 0f x > ( 1,3)−
0a < 1− 2 0ax bx c+ + =
1 3 b
a
− + = − 1 3 c
a
− × = 2b a= − 3c a= −
2( ) 2 3f x ax ax a= − − 0a <
(0) 3f a= − f 4a= − f 5a=
f (0)f f< < B
a b
c d
-1 -2
1
x a
a x
+
1
2
3
2
1
2
3
2
-1 -2
1
x a
a x
+
21- 2x
3
4
3
4
3
4
1
2
3
2
3
2
11 0x
+ >A． B． C． 或 D．
【答案】AC
【解析】
不等式 等价于 ，也就是 ，
故不等式的解集为 .
A、B、C、D 四个选项中，只有 A、C 中的不等式（不等组）对应的集合为 的真子集.
故选：AC.
点睛:
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含．
12．（2020·山东省高三二模）设 表示不小于实数 x 的最小整数，则满足关于 x 的不等式
的解可以为（ ）
A． B．3 C．-4.5 D．-5
【答案】BC
【解析】
因为不等式 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 表示不小于实数 x 的最小整数，
所以不等式 的解可以为 3，-4.5.
故选：BC
13．（2019·山东省高二期中）已知 ，关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 3 个
整数，则 的值可以是（ ）.
2x > 0x ≥ 1x < − 1x > 1 0x− < <
11 0x
+ > 1 0x
x
+ > ( )1 0x x+ >
( ) ( ), 1 0,−∞ − +∞
( ) ( ), 1 0,−∞ − +∞
p q q p
p q p q
p q p q
p q q p
[ ]x
[ ] [ ]2 12 0x x+ − ≤
10
[ ] [ ]2 12 0x x+ − ≤
[ ]( ) [ ]( )3 4 0x x− + ≤
[ ]4 3x− ≤ ≤
[ ]x
[ ] [ ]2 12 0x x+ − ≤
a∈Z x 2 6 0x x a− + ≤
aA．6 B．7 C．8 D．9
【答案】ABC
【解析】
设 ，其图像为开口向上，对称轴是 的抛物线，如图所示.
若关于 的一元二次不等式 的解集中有且仅有 3 个整数，因为对称轴为 ,则
解得 ，.
又 ，故 可以为 6，7，8.
故选:ABC
14．（2020·江苏省高一期末）对于给定的实数 ，关于实数 的一元二次不等式 的解集可
能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【解析】
对于一元二次不等式 ，则
当 时，函数 开口向上，与 轴的交点为 ， ，
故不等式的解集为 ；
当 时，函数 开口向下，
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式的解集为 ，
若 ，不等式的解集为 ，
2 6y x x a= − + 3x =
x 2 6 0x x a− + ≤ 3x =
2
2
2 6 2 0
1 6 1 0
a
a
− × + ≤
− × + >
5 8a< ≤
a∈Z a
a x ( )( )1 0a x a x− + >
φ ( )1, a− ( ), 1a − ( ) ( ), 1 ,a−∞ − ∪ + ∞
( )( 1) 0a x a x− + > 0a ≠
0a > ( )( 1)y a x a x= − + x a 1−
( ) ( ), 1 ,x a∈ −∞ − + ∞
0a < ( )( 1)y a x a x= − +
1a = − ∅
1 0a− < < ( 1, )a−
1a < − ( , 1)a −综上， 都成立，
故选： ．
三、填空题
15．（2018·江苏省连云港市锦屏高级中学高三期中）若关于 x 的不等式 的解集是
，则 _________.
【答案】－14
【解析】
不等式 的解集是 ，
所以对应方程 的实数根为 和 ，且 ，
由根与系数的关系得 ，解得 ，
，故答案为 .
16．（2019·湖南省高三月考（理））设 ，若 是 的最小值，是
的取值范围为______________．
【答案】
【解析】
解：当 时，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 有最小值为 ，
因为 是 的最小值，
所以当 时， 单调递减，
故 ，
ABCD
ABCD
2 2 0ax bx+ + >
1 1{ }2 3x x− < < a b+ =
2 2 0ax bx+ + > 1 1| 2 3x x − <
( )0f ( )f x a
[ ]0,2
0x > ( ) 1 1+ 2 2f x x a x a ax x
= + ≥ ⋅ + = +
1x x
= 1x = ( )f x 2 a+
( )0f ( )f x
0x ≤ ( ) ( )2f x x a= −
0a ≥此时最小值 ，
故 ，解得 ，
综上所述 的取值范围为 .
故答案为： .
17．（2020·天津高三其他）设 ， ，则 的最小值为_____________.
【答案】
【解析】
， ， ，
，
当 且 即 ， 时，等号同时成立，
的最小值为 1.
故答案为：1.
四、双空题
18．（2019·浙江省高三其他）已知正数 a，b 满足 a+b=1，则 的最小值等于__________ ，此时
a=____________.
【答案】3
【解析】
根据题意，正数 a、b 满足 ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 的最小值为 3，此时 .
故答案为：3； .
19．（2018·浙江省高三月考）已知 ， ，则 的最大值为________， 的取值
范围是________．
( ) 20f a=
22 a a+ ≥ 1 2a− ≤ ≤
a [ ]0,2
[ ]0,2
0b > 2 1a b− =
21
8
a
a b
+
1
0b > 2 1a b− = ∴ 2 1 1a b= + >
∴ 2 2 21 1 2 1 2 1 2 12 2 2 18 8 8 2 2 2
a a a b b ba b a b b b b b
++ ≥ ⋅ = = ⋅ = ⋅ + ≥ ⋅ ⋅ =
3 8a b= 1b = 2a = 1b =
∴ 21
8
a
a b
+
1b
a b
+
1
2
1a b+ =
1 1 2 1 3b b a b b a b a
a b a b a b a b
++ = + = + + ≥ × + =
1
2a b= =
1b
a b
+ 1
2a =
1
2
,a b∈R 2 2 2a b ab+ − = +a b ab【答案】
【解析】
因为 ， ，所以 ．因为 ，所以
，解得 ，当且仅当 时取等号．又
，所以 ， ，解得 ，所以
的取值范围是 ．
故答案为： ； ．
20．（2020·海南省高三月考）某电动车生产企业，上年度生产电动车的投入成本为 1 万元/辆，出
厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1000 辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成
本．若每辆车投入成本增加的比例为 ，则出厂价相应提高的比例为 ，且当 不超过 0.5
时，预计年销售量增加的比例为 ，而当 超过 0.5 时，预计年销售量不变．已知年利润=（出厂价－投
入成本）×年销售量．则本年度预计的年利润 与投入成本增加的比例 的关系式为______；为使本年度利
润比上年有所增加，投入成本增加的比例 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
当 时， ；
当 时， ；
年利润 与投入成本增加的比例 的关系式为 .
上年利润为 ，
令 ，解得： ；
令 ，解得： （舍）；
2 2
2 ,23
−
,a b∈R 2 2 2a b ab+ − = 2 2 2( ) 3( ) 4a b a b+ = + −
2 2 2
2 2
a b a b+ + ≤
2 23( ) 4 ( )2a b a b+ + ≥ + 2 2 2 2a b− ≤ + ≤ 2a b= = ± 2 22 a b= +
2( ) 3ab a b ab− = + − 22 3 ( ) 0ab a b= + ≥+ 2) 82 3 (ab a b= + ≤+ 2 23 ab− ≤ ≤ ab
2 ,23
−
2 2
2 ,23
−
( )0 1x x< < 0.75x x
0.6x x
y x
x
260 20 200,0 0.5
100 200,0.5 1
x x xy
x x
− + + < ≤= − + < 0x 0∆ ( )2 4 1 0b a b− − > b R∈
b 216 16 0a a′∆ = − < a
1, 2a b= = − ( ) 2 2 3f x x x= − − 2 2 3 0x x− − =
3, 1x x= = − ( )f x 3, 1x x= = −
0a ≠ ( )2 4 1 0b a b∆ = − − > b R∈ 216 16 0a a′∆ = − <
0 1a< <
2
5
a
b
=
= 0.35%
4
2
a
b
=
= 4.3%【解析】
（1）设每根原材料可裁剪成 根 A 型钢管和 根 B 型钢管，则 ，
方案一： ，废料率最小为 ；
方案二： ，废料率第二小为 ；
（2）设用方案一裁剪 根原材料，用方案二裁剪 根原材料，共裁剪得 套毛胚，
则 ，
当 ， 套，废料率为
综上：最多可裁剪 320 套毛胚，最终的废料率为 2.72% .
25．（2019·上海市进才中学高三月考）已知函数 的图像过点 ，且函数图像又关于原点
对称.
（1）求函数 的解析式；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）依题意，函数 的图象过点 和 .
所以 ，故 .
（2）不等式 可化为 .
a b
,
698 518 4000
a N b N
a b
∈ ∈
+ ≤
2
5
a
b
=
=
2 698 5 5181 100% 0.35%4000
× + × − × =
4
2
a
b
=
=
4 698 2 5181 100% 4.3%4000
× + × − × =
x y z
,
100
2 4 5 2
x N y N
x y
x y x y
∈ ∈
+ ≤
+ = +
2 4z x y= +
40
60
x
y
=
= max 320z = 40 0.35% 60 4.3% 2.72%100
× + × =
2 1( ) axf x x b
+= +
( )1,2
( )f x
x ( ) ( 2) ( 4)xf x t x t> − + − ( )0, ∞+ t
2 1( ) xf x x
+=
4t <
( )f x ( )1,2 ( )1, 2− −
1(1) 2 2 1 11
1 2 1 0( 2) 21
af a b ab
a a b bf b
+ = = − = = + ⇒ ⇒ + + = = − = = − − +
2 1( ) xf x x
+=
( ) ( 2) ( 4)xf x t x t> − + − 2 2 5 ( 1)x x x t+ + > +即 对一切的 恒成立.
因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 .
点睛：根据不等式恒成立求解参数范围的两种方法：（1）分类讨论法：根据参数的临界值分类讨论参数的
取值是否满足要求；（2）参变分离法：将参数从不等式中分离出来，通过函数或者不等式确定最值，由此
得到参数范围.
26．（2020·江西省都昌蔡岭慈济中学高三月考（文））
投资商到一开发区投资 72 万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出 12 万元，以后每年支出增加 4
万元，从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元，设 表示前 n 年的纯利润总和（ 前 年总收入-前
年的总支出 -投资额 72 万元）
（Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？
（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值.
【答案】（I）从第三年开始盈利；（II）第 6 年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值 16
万元
【解析】
(Ⅰ)依题意 前 年总收入- 前 年的总支出- 投资额 72 万元,可得
由 得 ,解得
由于 ,所以从第 3 年开始盈利.
(Ⅱ)年平均利润
当且仅当 ,即 时等号成立
即第 6 年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为 16 万元
27.（2020·陕西省高三三模（理））已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2） ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
2 2 5
1
x xt x
+ +< +
( )0,x∈ +∞
2 2 5 41 41 1
x x xx x
+ + = + + ≥+ + 1x = 4t
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