专题 3.1 函数的概念及其表示
【考纲解读与核心素养】
1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.
2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.
3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.
4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.
5．高考预测：
（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．
（2）函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.
6.备考重点：
（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；
（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.
【知识清单】
1．函数的概念
函数
两个集合
A，B
设 A，B 是两个
非空数集
对应关系
f：A→B
如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，
在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应
2．函数的定义域、值域
(1)在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做
函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.
3．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段
函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
【典例剖析】
高频考点一 函数的概念
【典例 1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【答案】D
【解析】
因为选项 A 中，对应关系不同，选项 B 中定义域不同，对应关系不同，选项 C 中，定义域不同，选项 D 中
定义域和对应法则相同，故选 D.
【典例 2】在下列图形中，表示 y 是 x 的函数关系的是________．
【答案】①②
【解析】由函数定义可知，自变量 对应唯一的 值，所以③④错误，①②正确．
【规律方法】
函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定
义域、对应关系是否分别相同．
【变式探究】
1. ，则 与 表示同一函数的是（ ）
A. ， B. ，
32y x= − 2y x x= −
( )2
y x= y x=
1 1y x x= + ⋅ − ( )( )1 1y x x= + −
( ) 2 2 1f x x x= − − ( ) 2 2 1g t t t= − −
x y
x R∈ ( )f x ( )g x
( ) 2f x x= ( ) 2g x x= ( ) 1f x = ( ) ( )01g x x= −C. ， D. ，
【答案】C
【解析】A 中: ;B 中: ;C 中：，
， ；D 中： ,因此选 C.
2.（2018 届江西省检测考试（二））设 ， ，函数 的定义域为 ，值
域为 ，则 的图象可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为定义域为 ，所以舍去 A;因为值域为 ，所以舍去 D;因为对于定义域
内每一个 x 有且只有一个 y 值，所以去掉 C；选 B.
【易混辨析】
1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．
2.从图象看，直线 x=a 与图象最多有一个交点.
高频考点二：求函数的定义域
【典例 3】（2019·江苏高考真题）函数 的定义域是_____.
【答案】 .
【解析】
由已知得 ,
即
( ) ( )2
x
f x x
=
( ) ( )2
xg x
x
= ( ) 2 9
3
xf x x
−= +
( ) 3g x x= −
( ) 2g x x= 2x x= ≠ ( ) ( ) ( )01 1 0g x x x= − = ≠ ( ) ( )2
x
f x x
=
1, 0{ 1, 0
x
x
>= − <
( ) ( )2
xg x
x
= 1, 0{ 1, 0
x
x
>= − < ( ) ( )2 9 3 33
xf x x xx
−= = − ≠ −+
27 6y x x= + −
[ 1,7]−
27 6 0x x+ − ≥
2 6 7 0x x− − ≤解得 ，
故函数的定义域为 .
【典例 4】（2020·河南省高二期中（文））已知函数 定义域是 ，则
的定义域是（ ）
A．[0, ] B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为函数 定义域是
所以
所以 ，解得：
故函数 的定义域是[0, ]
故选：A
【典例 5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数 的定义域是 ,则函数 的定义域
是( )
A. B. C. D.无法确定
【答案】C
【解析】
由已知 ，
，
即函数 的定义域是 ，
故选：C．
【规律方法】
1.已知函数的具体解析式求定义域的方法
(1)若 f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．
(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取
值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．
2．抽象函数的定义域的求法
1 7x− ≤ ≤
[ 1,7]−
( 1)y f x= + [ 2,3]− (2 1)y f x= −
5
2
[ 1,4]− [ 5,5]− [ 3,7]−
( 1)y f x= + [ 2,3]−
1 1 4x− ≤ + ≤
1 2 1 4x− ≤ − ≤ 50 2x≤ ≤
(2 1)y f x= − 5
2
(3 1)f x − [ ]0,2 ( )f x
[ ]0,2 1[ 1]3
， [-1 5]，
0 2x≤ ≤
1 3 1 5x∴− ≤ − ≤
( )f x [-1 5]，(1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域由 a≤g(x)≤b 求出．
(2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]时的值域．
【变式探究】
1.（2019·山东省高三月考）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
故答案选 C
2．（2020·福建省高三）已知函数 的定义域为[0，2]，则 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
函数 的定义域是[0，2]，要使函数 有意义,需使 有意义且 .所以
解得
故答案为 C
【特别提醒】
求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解
法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要
用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达．
高频考点三：求函数的解析式
【典例 6】（2019·天津高一期中）设函数 满足 ，则 的表达式为（ ）
1( ) 2lg( 1)f x xx
= + −+
[ 2,2]− [ 2,0) (0,2]−
( 1,0) (0,2]− ∪ (-1,2]
1 0 1
1( ) 2 lg( 1) 0 0 ( 1,0) (0,2]lg( 1) 2 0 2
x x
f x x x x xx x x
+ > ⇒ > −
= + − ⇒ + ≠ ⇒ ≠ ⇒ ∈ − ∪+ − ≥ ⇒ ≤
( )f x ( ) ( )2
1
f xg x x
= −
[ ) ( ]0,1 1,2 [ ) ( ]0,1 1,4 [ )0,1 ( ]1,4
( )f x ( ) ( )2
1
f xg x x
= −
( )2f x 1 0x − ≠
1 0
0 2 2
x
x
− ≠
≤ ≤ 0 1x≤ <
( )f x 1( ) 11
xf xx
− = ++ ( )f xA． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设 ，则 ，所以 ，所以 ，故选 C．
【典例 7】（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知二次函数 ，满足 ，
.
（1）求函数 的解析式；
（2）求 在区间 上的最大值；
（3）若函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）5；（3） .
【解析】
（1）由 ，得 ，
由 ，得 ，
故 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）得： ，
则 的图象的对称轴方程为 ，
又 ， ，
所以当 时 在区间 上取最大值为 5.
（3）由于函数 在区间 上单调，
因为 的图象的对称轴方程为 ，
所以 或 ，解得： 或 ，
2
2
1
1
x
x
−
+ 2
2
1 x+
2
1 x+
1
1
x
x
−
+
1
1
xt x
−= +
1
1
tx t
−= +
1 2( ) 1 1 1
tf t t t
−= + =+ +
2( ) 1f x x
= +
( ) 2f x ax bx c= + + ( )0 2f =
( ) ( )1 2 1f x f x x+ − = −
( )f x
( )f x [ ]1,2−
( )f x [ ], 1a a + a
( ) 2 2 2f x x x= − + ( ] [ ),0 1,−∞ ∪ +∞
( )0 2f = 2c =
( ) ( )1 2 1f x f x x+ − = − 2 2 1ax a b x+ + = −
2 2
1
a
a b
=
+ = −
1
2
a
b
=
= −
( ) 2 2 2f x x x= − +
( ) ( )22 2 2 1 1f x x x x= − + = − +
( )f x 1x =
( )1 5f − = ( )2 2f =
1x = − ( )f x [ ]1,2−
( )f x [ ], 1a a +
( )f x 1x =
1a ≥ 1 1a + ≤ 0a ≤ 1a ≥因此 的取值范围为： .
【规律方法】
1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．
2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．
3.已知 求 ，或已知 求 ，用代入法、换元法或配凑法．
4.若 与 或 满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．
5.应用题求解析式可用待定系数法求解．
【变式探究】
1.（2018 届安徽省）已知单调函数 ，对任意的 都有 ，则 ( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
设 ，则 ，且 ，
令 ，则 ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选 C．
2．（2020·江苏省高三专题练习）已知 ， ，（ ）， __________．
【答案】
【解析】
高频考点四：求函数的值域
【典例 8】（2019·浙江省镇海中学高一期中）函数 的值域为（ ）
a ( ] [ ),0 1,−∞ ∪ +∞
( )f x [ ( )]f g x [ ( )]f g x ( )f x
( )f x 1( )f x
( )f x−
2 ( )( 1) ( ) 2
f xf x f x
+ = + (1) 1f = x N+∈ ( )f x =
2
1x +
( ) ( )
( )
21 2
f xf x f x
+ = +
1 1 1 1 1 1 1 1( 1) 1 ( 1)( 1) ( ) 2 ( ) (1) 2 2 2
xx xf x f x f x f
+⇒ = + ⇒ = + − × = + − × = ⇒+ ( ) 2
1f x x
= +
( ) ( )1 0f x x xx
= + ( ) 1 12 2f x x xx x
∴ = − − − ≤ − − ⋅ = − −
1x x
− = − 1x = −
( )f x∴ ( ], 2−∞ −
C
x∈R [ ]x x [ ]y x= [ ]3.5 4− = − [ ]2.1 2=
( ) 1
1 2
x
x
ef x e
= −+
( )y f x =
{ }1,0−
( ) 1 1 1 1 1
1 2 2 1
x
x x
ef x e e
+ −= − = −+ + 1 1xe+ > 1 1 1 1
2 2 1 2xe
− < − 1a ≠ [ )4,+∞
a
( ]1,2
( ) ( )6, 2{ 0, 13 log , 2a
x xf x a ax x
− + ≤= > ≠+ > [ )4,+∞ 2x ≤ ( ) 6 4f x x= − ≥
2x > ( ) 3 log 4af x x= + ≥ log 1a x ≥ log 2 1 1 2a a≥ ⇒ < < a
1 2a< ≤
21 log (2 ), 1( ) , 1x
x xf x e x
+ −
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