专题 3.2 函数的单调性与最值
【考纲解读与核心素养】
1．理解函数的单调性，会判断函数的单调性.
2．理解函数的最大（小）值的含义，会求函数的最大（小）值.
3.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.
4. 高考预测：
（1）确定函数的最值（值域）
（2）以基本初等函数为载体，考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用（解不等
式、确定参数的取值范围、比较函数值大小）、研究函数的最值等，常与奇偶性、周期性结合，有时与导数
综合考查.
5.备考重点：
（1）判断函数的单调性方法；
（2）求函数最值的方法；
（3）利用单调性比较函数值大小、解不等式、确定参数取值范围.
【知识清单】
1. 函数的单调性
（1）.增函数：若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当 时，都有
，那么就说函数 在区间 上是增函数；
（2）减函数：若对于定义域 内的某个区间 上的任意两个自变量 、 ，当 时，都有
，那么就说函数 在区间 上是减函数.
2．函数的最值
1.最大值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 .
那么，我们称 是函数 的最大值.
I ( )D D I⊆ 1x 2x 1 2x x<
( ) ( )1 2f x f x< ( )f x D
I ( )D D I⊆ 1x 2x 1 2x x<
( ) ( )1 2f x f x> ( )f x D
( )y f x= I M
x I∈ ( )f x M≤
0x I∈ ( )0f x M=
M ( )y f x=2.最小值：一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
（1）对于任意的 ，都有 ；
（2）存在 ，使得 .
那么，我们称 是函数 的最小值.
【典例剖析】
高频考点一 单调性的判定和证明
【典例 1】（2020·西藏自治区高三二模（文））下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
对于 A 选项，函数 在区间 上为增函数；
对于 B 选项，函数 在区间 上为增函数；
对于 C 选项，函数 在区间 上为减函数；
对于 D 选项，函数 在区间 上为增函数.
故选：C.
【典例 2】用单调性定义证明函数 f(x)＝2x2＋4x 在(－∞，－1]上是单调减函数．
【答案】见解析
【解析】设 x1 ( ) 2 xf x −= K 1
2 ( )Kf x
( ,0)−∞ (0, )+∞ ( , 1)−∞ − (1, )+∞
1( ) 2 ( )2
x xf x −= = 1( ) 2f x K≤ = ⇒ ( , 1] [1, )x∈ −∞ − ∪ +∞
( , 1)−∞ −问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包
括这些点．
高频考点三：利用单调性比较大小
【典例 5】（2019·江苏高考模拟）设 ，
，则比较 的大小关系_______.
【答案】
【解析】
是单调增函数，所以有 ，当 时， 是单调增函数，所以有
，所以函数 是 上的增函数.
,所以有
，而函数 是 上的增函数，所以 的大小关系为
.
【方法总结】
先判断出函数 的单调性，然后判断 之间的大小关系，利用单调性比较出 之间的
大小关系.一般地，比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化
到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．
【变式探究】
（2019·天津高三期末（文））已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意 （0，3)
都有 ，若 ， ， ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ，得函数 关于 对称，
又对任意 （0，3)都有 ，所以函数 在 （0，3)时单调递减，
因为 ，所以 ，
2
1, 0( ) 1, 0
x xf x x x
+ ≥= − − >
( ) 1f x x= + ( ) (0) 1f x f≥ = 0x < 2( ) 1f x x= − −
( ) 1f x < − ( )f x R
0.5 0
0.5 0.5 0.5 0.7 0.70.7 0.7 1,0 log 1 log 0.7 log 0.5 1, log 5 log 1 0a c−= > = = < < = = < =
1,0 1, 0a b c a b c> < < < ⇒ > > ( )f x R ( ), ( ), ( )f a f b f c
( ) ( ) ( )f a f b f c> >
( )f x , ,a b c ( ), ( ), ( )f a f b f c又 ，所以 ，所以 ，故选 C.
高频考点四：利用单调性确定参数取值范围
【典例 6】（2020·高三开学考试（文））若函数 是 上的增函数，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由函数 是 上的增函数，
则 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：B.
【典例 7】（2020·全国高三（文））已知函数 ，若 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
，
如图所示：画出函数图像，根据图像知函数单调递增，
( ) 2 3 , 1
2 1, 1
x ax a xf x
ax x
− − ≥= −
( ) ( )2 4 3 ,f a f a− >
a
( )4,1− ( ) ( ), 4 1,−∞ − +∞U
( )1,4− ( ) ( ), 1 4,−∞ − +∞
( ) ( )2 22 1, 1 2 1, 1
1 , 1 1, 1
x x x x x xf x f xx x x x
− + − ≤ − + − ≤= = = − > − > ，即 ，解得 或 .
故选：D.
【典例 8】（2020·江苏省睢宁县高级中学高三月考）已知 ，若 在
上恒成立，则实数 的取值范围是__________
【答案】
【解析】
作出函数 和 在 上的图像，如下图所示
由图可知，当直线 在阴影部分之间时，满足 在 上恒成立
，所以
当直线 经过点 时，
当直线 恰好是 轴时，
所以
所以 的取值范围是
故答案为：
【规律方法】
( ) ( )2 4 3f a f a− > 2 4 3a a− > 4a > 1a < −
2 2, 0( )
3 2, 0
x xf x
x x
− ≤= − >
| ( ) |f x ax
[ 1,1]x∈ − a
[ 1,0]−
( )y f x= y ax= [ ]1,1−
y ax= ( )f x ax≥ [ ]1,1x∈ −
( )1 1f − = ( )1,1A −
y ax= A 1a = −
y ax= x 0a =
1 0a− ≤ ≤
a [ ]1,0−
[ ]1,0−1.利用单调性求参数的范围(或值)的方法
（1）视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；
（2）需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．
（3）注意函数单调性呈现的三种方式：定义式、比值式（f(x2)－f(x1)
x2－x1
）、x2－x1 与 f(x2)－f(x1)关系式.
2.利用分离参数法；
3.对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
【变式探究】
1.（2018·吉林东高考模拟（文））已知函数 满足对任意 ，
都有 成立， 则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为函数对任意 ，都有 成立，所以函数在定义域内单调递减，
所以 .
2.（2019·陕西高三期中（文））若函数 为 R 上的减函数，则实数 a 的取值
范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为函数 为 R 上的减函数，所以 ,
,是减函数，且当 时， ，故只需满足 ，解得 ，故选 C.高频考点五：利用函数的单调性解决不等式问题
【典例 9】【2018 届云南省昆明市 5 月检测】已知函数 ，若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
函数 在 上为减函数，
函数 的图像开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在区间 上为减函数，
且 .
所以函数 在 上为减函数.
由 得 .解得 .
故选 A.
【典例 10】（2019·江西省高三一模（理））已知 是定义在 上的增函数，若
，则 的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
因为 是定义在 上的增函数，
所以 ，联立解得 ，故答案为 ．
【规律方法】
1.给定具体函数，确定函数不等式的解，首先要判断函数的单调性；
2.求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为 f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不
等式 g(x)＞h(x)(或 g(x)＜h(x))．
( )y f x= ( )2,2−
( ) ( )1 1 2f m f m- < - m
1 2,2 3
æ öç ÷-ç ÷è ø
( )y f x= ( )2,2− ( ) ( )1 1 2f m f m- < -
1 1 2
2 1 2
2 1 2 2
m m
m
m
ì - < -ïï - < - ( ) ( )1 1F x F− >
1 1x − > 2x >故答案为：[ ，+∞）．
高频考点六：函数的单调性和最值（值域）问题
【典例 11】（2019·江西省高三一模（理））已知函数 ，其定义域是 ，则下
列说法正确的是（）
A． 有最大值 ，无最小值
B． 有最大值 ，最小值
C． 有最大值 ，无最小值
D． 无最大值，最小值
【答案】A
【解析】
因为函数 ，所以 在 上单调递减，则 在
处取得最大值，最大值为 ， 取不到函数值，即最小值取不到.故选 A.
【典例 12】（2018·河北高三期末（理）） ，使 ，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可知： ，使 ，则 .
由于函数 是定义域内的单调递增函数，
故当 时，函数取得最小值 ，
综上可得，实数 的取值范围是 .
本题选择 B 选项.
【总结提升】
函数最大值和最小值定义中两个关键词：
①“存在”：
M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，
( ) 2 1
1
xf x x
+= −
[ )8, 4− −
( )f x 5
3
( )f x 5
3
7
5
( )f x 7
5
( )f x 7
5
( ) ( )2 1 32 1 321 1 1
xxf x x x x
− ++= = = +− − −
( )f x [ )8, 4− − ( )f x 8x = −
5
3 4x = −如函数 y＝x2(x∈R)的最小值是 0，有 f(0)＝0.
②“任意”：
最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，
都有 f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数 y＝f(x)的图象不能位于直线 y＝M 的上(下)方．
【变式探究】
1.（2020·辽宁省高三其他（文））已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数
的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
由题意当 时， ，
当且仅当 时，等号成立；
当 时， ，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为 ，
当 时， 为函数 在 上的最小值，不合题意；
当 时， 为函数 在 上的最小值， ，
由题意可得 ，解得 ；
综上，实数 的取值范围为 .
故选：A.
2.（2018 届北京市西城区高三期末）已知函数 若 ，则 的值域是
____；若 的值域是 ，则实数 的取值范围是____．
【答案】
2 2 8, 1
( ) 4 , 1
x ax x
f x
x a xx
− + ≤= + + >
( )f x (1)f a
1x > ( ) 4 42 4f x x a x a ax x
= + + ≥ ⋅ + = +
2x =
1x ≤ ( ) 2 2 8f x x ax= − + x a=
1a < ( )f a ( )f x ( ],1−∞
1a ≥ ( )1f ( )f x ( ],1−∞ ( )1 9 2f a= −
9 2 4a a− ≤ + 5
3a ≥
a 5
3a ≥
( )
2 , 2 ,
{ 1 , 3.
x x x c
f x
c xx
+ − ≤ ≤
=
< ≤ 0c = ( )f x
( )f x 1 ,24
− c
1 ,4
− +∞
1 ,12
【解析】若 ，由二次函数的性质，可得 ， 的值域为
，若 值域为 ， 时， 且 时， ，要使
的值域为 ，则 ，得 ，实数 的取值范围是 ，故答案为 .
【方法拓展】
求函数最值（值域）的常见方法：
1.单调性法： 利用函数的单调性:若 是 上的单调增(减)函数,则 , 分别是 在区间
上取得最小(大)值,最大(小)值.
2.图象法：对于由基本初等函数图象变化而来的函数，通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.
3. 利用配方法:形如 型,用此 种方法,注意自变量 x 的范围.
4.利用三角函数的有界性,如 .
5.利用“分离常数”法:形如 y= 或 ( 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.
6.利用换元法:形如 型,可用此法求其值域.
7.利用基本不等式法:
8.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域
9.求分段函数的最值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给
出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检
验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
10.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部
分剔除.
高频考点七：抽象函数的单调性问题
【典例 13】（2020·山西省高三其他（理））已知函数 的定义域 ，且对任意
，恒有 ，当 时， ，若 ，
0c = 2 1 1 1,2 , ,4 3x x x
+ ∈ − ∈ +∞
( )f x∴
1 ,4
− +∞
( )f x 1 ,24
− 2x = − 2 2x x+ = 1
2x = − 2 1
4x x+ = −
( )f x 1 ,24
−
2
0
{ 2
1 2
c
c c
c
>
+ ≤
≤
1 22 c≤ ≤ c 1 ,12
1 ,12
)(xf ],[ ba )(af )(bf )(xf
],[ ba
2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠
sin [ 1,1],x∈ − cos [ 1,1]x∈ −
ax b
cx d
+
+
2ax bx ey cx d
+ += +
ca,
y ax b cx d= + ± +
( )f x ( ) ( ),0 0,D = −∞ +∞
1 2,x x D∈ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x= + 1x > ( ) 0f x < ( ) ( ) 22 1 3 4 1f m f m m m− > + − +则 m 的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
分析：
利用赋值法证明函数 是偶函数，再证明函数 在 上是减函数，最后构造函数
，利用 在 上是减函数，解不等式，即可得到答案；
详解：
中，
取 得 ，
取 得 ，
取 ， ，得 ，
所以 是偶函数，
设 ，则 ， ，
所以 ，
所以 在 上是减函数，
设 ，则 在 上是减函数，
所以
且
，所以 m 的取值范围是 ．
故答案为： .
1 1 1, ,13 2 2
∪
( )f x ( )f x ( )0, ∞+
( ) ( ) 2g x f x x= − ( )g x ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x= +
1 2 1x x= = ( )1 0f =
1 2 1x x= = − ( ) ( )11 1 02f f− = =
1x x= 2 1x = − ( ) ( ) ( ) ( )1f x f x f f x− = + − =
( )f x
1 2 0x x> > 1
2
1x
x
> 1
2
0xf x
+ −
⇔ 2 2 1(| 2 1|) (| |) 0 | 2 1| | | 0 (2 1) 13g m g m m m m m m− > ⇔ ≠ − < ⇔ ≠ − < ⇔ < <
1
2m ≠ 1 1 1, ,13 2 2
∪
1 1 1, ,13 2 2
∪ 【典例 14】设 f(x)是定义在 R 上的函数，对 m，n∈R，恒有 f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当 x>0
时，00；(3)利用定义可证
明函数的单调性．
解：(1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)，
∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意知 x>0 时，00，∴0 > > 2b ac= ( ) ( ) 2 ( )f a f c f b+ >
(0) 1f =
0, 2,x y= = 2(0) [ (0)]f f=
(0) 0f > (0) 1f =
1 2, ( , ),x x ∈ −∞ +∞ 1 2.x x< 1 1 2 2
1 1, ,3 3x p x p= = 1 2p p<
1 2
1 2 1 2
1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )]3 3 3 3
p pf x f x f p f p f f− = − = −
1 2
1( ) 1,3f p p> < 1 2( ) ( )f x f x<
( )f x R
( ) (0) 1f b f> = ( ) 1f b >
( ) ( ) [ ( )]
a
baf a f b f bb
= ⋅ = ( ) ( ) [ ( )]
c
bcf c f b f bb
= ⋅ =
2
( ) ( ) [ ( )] [ ( )] 2 [ ( )] 2 [ ( )] 2 ( )
a c a c ac
b b b bf a f c f b f b f b f b f b
+
+ = + > ≥ =
( ) ( ) 2 ( )f a f c f b+ >
,x y R∈ ( ) [ ( )]yf xy f x= x∈R ( ) 0f x >
( ) ( 1) [ (1)]xf x f x f= ⋅ = 0x = 0(0) [ ( =11)]f f=
(0) 1f =
1( ) 13f > 31 1(1) (3 ) [ ( )] 13 3f f f= × = >所以 在 上是单调增函数，即 在 上是单调增函数
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， ，
而 ，所以
所以
2．函数 f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的 x，y∈(0，＋∞)，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且 f(4)＝
5.
(1)求 f(2)的值；
(2)解不等式 f(m－2)≥3.
【答案】(1)3.(2)(2,4]．
【解析】 (1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，
又 f(4)＝5，∴f(2)＝3.
(2)f(m－2)≥f(2)，∴Error!，∴2＜m≤4.
∴m 的范围为(2,4]．
( ) [ (1)]xf x f= R ( )f x R
(1) 1f > ( ) ( ) [ (1)] [ (1)] 2 [ (1)]a c a cf a f c f f f ++ = + >
22 2 2a c ac b b+ > = = 22 [ (1)] 2 [ (1)] 2 ( )a c bf f f b+ > =
( ) ( ) 2 ( )f a f c f b+ >
微信/支付宝扫码支付