专题 3.3 函数的奇偶性与周期性
【考纲解读与核心素养】
1．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）判断函数的奇偶性与周期性；
（2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数
加以考查．
4.备考重点：
（1）抽象函数的奇偶性与周期性；
（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；
（3）函数性质的综合应用问题.
【知识清单】
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那
么函数 f(x)是偶函数
关于 y 轴对称
奇函数
如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，
那么函数 f(x)是奇函数
关于原点对称
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝
f(x)，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
小正周期.
【典例剖析】
高频考点一 ：函数奇偶性的判断
【典例 1】（广东省高考真题（理））设函数 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立( )f x的是
A． +|g(x)|是偶函数 B． -|g(x)|是奇函数
C．| | +g(x)是偶函数 D．| |- g(x)是奇函数
【答案】A
【解析】
由题设知: 于是有
，
，
，
.
【典例 2】（2019·北京高考模拟（理））下列函数中为偶函数的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
对于 A，f（－x）＝－x3－x＝－（x3＋x）＝－f（x），是奇函数.
对于 B，f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4＝f（x），是偶函数.
C、D 是非奇非偶函数，
所以，选 B.
【知识拓展】
(1)奇、偶函数定义域的特点．
由于 f(x)和 f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充
分条件，所以首先考虑定义域；
(2)奇、偶函数的对应关系的特点．
①奇函数有 f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(－x)
f(x) ＝－1(f(x)≠0)；
②偶函数有 f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(－x)
f(x) ＝1(f(x)≠0)．
( )f x ( )f x
( )f x ( )f x
( ) ( ), ( ) ( )f x f x g x g x− = − = −
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x− + − = + −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x − − − = − ≠ − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x− + − = − ≠ +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x − − − = + ≠ − −
3y x x= + 2 4y x= −
y x= 1y x= +(3)函数奇偶性的三个关注点．
①若奇函数在原点处有定义，则必有 f(0)＝0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)＝0，x∈D，其中定义域 D 是关于原点对称的非空集
合；
③函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．
(4)奇、偶函数图象对称性的应用．
①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；
②若一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数．
【变式探究】
1.（2019·天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
易知 和 为奇函数， 为偶函数.
令 ，则 ，即 且 .
所以 为非奇非偶函数.
故选 D.
2.已知函数 f(x)＝x－a
x
的图象经过点(2,1).
(1)求 a 的值；
(2)判断 f(x)的奇偶性．
【答案】(1)a＝2；(2)f(x)为奇函数．
【解析】 (1)∵点(2,1)在函数 f(x)的图象上，
∴1＝2－a
2
，∴a＝2.
(2)由(1)知 f(x)＝x－2
x
，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－ 2
－x
＝－x＋2
x
＝－(x－2
x)＝－f(x)，
1y x x
= + 21y x= +
2 2x xy −= − xy x e= +
1y x x
= + 2 2x xy −= − 21y x= +
( ) ( )xf x e x x R= + ∈ ( ) ( )1 11 1, 1 1f e f e−= + − = − ( ) ( )1 1f f≠ − ( ) ( )1 1f f≠ − −
xy x e= +∴函数 f(x)为奇函数．
高频考点二：函数奇偶性的应用
【典例 3】（2019·全国高考真题（文））设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)= ，
则当 x ( ) ( ) e 1xf x f x −= − − = − − ( ) e 1xf x −= − +
( ) 2 1f x ax bx= − +
2ba a−
0 3
4 2 4
1
2
= −
1
2
− 1
2
1
2
= −
1
2
− 1
2
1
2
− 1
2
2ba a− 1 31 4 4
= − =
( )f x 0x < ( ) eaxf x = −
(ln 2) 8f = a =【答案】-3
【解析】
因为 是奇函数，且当 时 ， ．
又因为 ， ，
所以 ，两边取以 为底的对数得 ，所以 ，即 ．
【总结提升】
函数奇偶性的应用
(1)求函数解析式
①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③
利用函数的奇偶性求出解析式．
(2)求参数值
在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足 f(－x)＝－f(x)或偶函数满足 f(－x)＝f(x)列等式，根据等
式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含 0，可以根据 f(0)＝0
列式求解，若不能确定则不可用此法．
【变式探究】
1.（2019·江西江西师大附中高三高考模拟（文））若函数 为奇函数，则实数 的值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
为奇函数
当 时，
又 时，
本题正确选项：
2. 已知 f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且 f(－2)＝10，则 f(2)等于 ( )
A．－26 B．－18
C．－10 D．10
( )f x 0x > 0x− < ( ) ( ) axf x f x e−= − − =
ln 2 (0,1)∈ (ln 2) 8f =
ln2 8ae− = e ln 2 3ln 2a− = 3a− = 3a = −
( ) 2
2
2 , 0
, 0
x x xf x
x ax x
− ≥= − + ( ) ( ) ( )2 22 2f x f x x x x x∴ = − − = − + = − −
0x < ( ) 2f x x ax= − + 2a = −∴
B【答案】A
【解析】
解法一：令 g(x)＝x5＋ax3＋bx，易知 g(x)是 R 上的奇函数，从而 g(－2)＝－g(2)，又 f(x)＝g(x)－8，
∴f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，
∴g(2)＝－g(－2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
解法二：由已知条件，得Error!，
①＋②得 f(2)＋f(－2)＝－16.又 f(－2)＝10，∴f(2)＝－26.
3.（2018 届河南省高三）若函数 为偶函数，则 __________．
【答案】 或
【解析】
令 ，根据函数 为偶函数，
可知 为奇函数，利用 ，
可得 ，所以 或 .
高频考点三：函数周期性及其应用
【典例 6】（2020·四川省石室中学高三一模（文））已知 是定义域为 的奇函数，满足
,若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，且 ，
又由 ，即 ，
进而可得 ，所以函数 是以 4 为周期的周期函数，
又由 ，可得 ， ，
则 ，
所以 ．
故选 C．
( )f x ( , )−∞ +∞
(1 ) (1 )f x f x− = + (1) 2f = ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2020f f f f+ + + + =
2020− 2 0 2020
( )f x ( , )−∞ +∞ ( ) ( )f x f x= − − ( )0 0f =
(1 ) (1 )f x f x− = + ( )( 2) ( )f x f x f x+ = − = −
( ) (4 )f x f x= + ( )f x
(1) 2f = ( )3 ( 1) (1) 2f f f= − = − = − ( ) ( ) ( )2 (0) 0, 4 0 0f f f f= = = =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f f+ + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2020 505 [ 1 2 3 4 ] 0f f f f f f f f+ + + + = × + + + =【典例 7】（2020·六盘山高级中学高三三模（文））奇函数 的定义域为 R，若 为偶函数，且
，则 ＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【解析】
由题意，奇函数 的定义域为 R，若 为偶函数，
则 ，
即 ，则 ，
即 是周期为 4 的周期函数，
，
，
则 ，
故选：B．
【规律方法】
1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如 y＝Asin(ωx＋φ)，用公式 T＝ 计算．递
推法：若 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期 T＝2a.换元法：若 f(x＋a)＝
f(x－a)，令 x－a＝t，x＝t＋a，则 f(t)＝f(t＋2a)，所以周期 T＝2a．
2．判断函数的周期只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与
函数的其他性质综合命题．
3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若
T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期．
【变式探究】
1.（2019·广东高考模拟（文））已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，且 ，则
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为函数 满足 ，
f x（ ） 1f x +（ ）
( 1) 1f ﹣ ＝﹣ 2018 2019f f+（ ） （ ）
f x（ ） 1f x +（ ）
1 1 1f x f x f x（ ）＝（ ）＝ （ ）− + + − −
2f x f x+ −（ ）＝ （ ） 4 2f x f x f x+ − +（ ）＝ （ ）＝（ ）
f x（ ）
2018 504 4 2 2 0 0f f f f× + −（ ）＝（ ）＝（ ）＝ （ ）＝
2019 504 5 1 1 1f f f× − −（ ）＝（ ﹣）＝（ ）＝
( ) ( )2018 2019 0 1 1f f+ = − = −
2π
ω所以 关于直线 对称，所以 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
又由 可得 ，
所以 ，故 ，
因此，函数 是以 4 为周期的周期函数，
所以 ，又
因此 .
故选 B
2.（2019·山东高考模拟（文））已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时，
，则 （ ）
A．2019 B．0 C．1 D．-1
【答案】B
【解析】
由 得： 的周期为
又 为奇函数
， ， ，
即：
本题正确选项：
高频考点四：函数性质的综合应用
【典例 8】（2020·山西省高三其他（文））已知函数 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 单调递
增，若实数 a 满足 ，则 a 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = − 0 1x≤ ≤
2( )f x x= (1) (2) (3) (2019)f f f f+ + + + =
( ) ( ) ( )4 2f x f x f x+ = − + = ( )f x 4
( )f x
( )1 1f∴ = ( ) ( )2 0 0f f= − = ( ) ( ) ( )3 1 1 1f f f= − = − = − ( ) ( )4 0 0f f= =
( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 0f f f f+ + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2019 505 1 2 3 4 4 0f f f f f f f f f∴ + + +⋅⋅⋅ = × + + + − =
B
( )f x [ )0,+∞
( ) ( )2 1
2
log log 2 1f a f a f
+ ≤
1 ,12
[ ]1,2 1 ,22
( ]0,2因为函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，所以 ，
则 为 ，
因为函数 在区间 上单调递增，所以 ，解得 ，
则 a 的取值范围是 ，
故选：C.
【典例 9】（2019·梅州市梅县区松口中学高三月考（理））设 是定义域为 的偶函数，且在 单
调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
是 R 的偶函数， ．
，
又 在(0，+∞)单调递减，
∴ ，
，故选 C．
1 2 2
2
(log ) ( log ) (log )f a f a f a= − =
( ) ( )2 1
2
log log 2 1f a f a f
+ ≤
2(log ) (1)f a f≤
( )f x [ )0,+∞ 2log 1a ≤ 1 22 a≤ ≤
1 ,22
( )f x R ( )0, ∞+
23
32
3
1log 2 24f f f
−− > >
2 3
3 2
3
1log 2 24f f f
− − > >
2
3
3
32 12 2 log 4f f f
−− > >
2 3
3 2
3
12 2 log 4f f f
− − > >
( )f x ( )3 3
1log log 44f f ∴ =
2 23 3
0 3 32 2
3 3 3log 4 log 3 1,1 2 2 2 , log 4 2 2
− −− −> = = > > ∴ > >
( )f x
( ) 2 3
3 2
3log 4 2 2f f f
− − < > 【典例 10】【多选题】（2020·山东省高三其他）已知偶函数 满足 ，则下列说法正
确的是（ ）．
A．函数 是以 2 为周期的周期函数 B．函数 是以 4 为周期的周期函数
C．函数 为奇函数 D．函数 为偶函数
【答案】BC
【解析】
对于选项 ,∵函数 为偶函数，∴ ．
∵ ，
∴ ，
则 ，即 ，
∴ ，
故函数 是周期为 4 的周期函数，由此可知选项 A 错误，选项 B 正确；
对于选项 ,令 ，则 ．
在 中，将 换为 ，得 ，
∴ ，∴ ，
则函数 为奇函数，所以选项 C 正确．
对于选项 ,由题意不妨取满足条件的函数 ，
则 为奇函数，
所以选项 D 错误．
故选：BC.
【典例 11】（2020·重庆高三其他（文））定义在 R 上的奇函数 满足： ，且当
时， ，若 ，则实数 m 的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【解析】
( )f x ( ) (2 ) 0f x f x+ − =
( )f x ( )f x
( 1)f x − ( 3)f x −
,A B ( )f x ( ) ( )f x f x− =
( ) (2 ) 0f x f x+ − =
( ) (2 ) 0f x f x− + + =
( ) (2 ) 0f x f x+ + = (2 ) ( )f x f x+ = −
(4 ) (2 ) ( )f x f x f x+ = − + =
( )f x
C ( ) ( 1)F x f x= − ( ) ( 1) ( 1)F x f x f x− = − − = +
( ) (2 ) 0f x f x+ + = x 1x − ( 1) (1 ) 0f x f x− + + =
( 1) ( 1)f x f x+ = − − ( ) ( 1) ( )F x f x F x− = − − = −
( ) ( 1)F x f x= −
D ( ) cos 2f x x
π=
3( 3) cos ( 3) cos sin2 2 2 2f x x x x
π π π π − = − = − = −
( )f x 3 3
4 4f x f x + = −
30, 4x ∈
( ) 2log ( 1)f x x m= + + ( ) 2100 log 3f =由 为奇函数知 ，
∴ ，即 ，
∴ ，∴ 是周期为 3 的周期函数，
故 ，即 ，∴ .
故选：B.
【典例 12】已知函数 y＝f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左
侧的图象，如图所示.
(1)请补出完整函数 y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数 y＝f(x)的增区间．
【答案】
【解析】∵函数 f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于 y 轴对称，根据对称性作出函数 y＝f(x)在 x>0 时的图象．
(1)由题意作出函数图象如图：
( )f x 3 3
4 4f x f x − = − −
3 3
4 4f x f x + = − −
( )3
2f x f x + = −
( ) ( )33 2f x f x f x + = − + =
( )f x
( ) ( ) 2
1 3100 1 log2 2f f f m = = = + 2 2
3log log 32 m+ = 1m =(2)据图可知，单调增区间为(－1,0)，(1，＋∞)．
【规律方法】
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略
(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的
自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇
偶性和单调性求解．
（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称．
【变式探究】
1.（2020·山西省高三其他（文））已知函数 ， ，若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
由 的解析式可知， 在 上是奇函数且单调递增， 为偶函数，
当 时，有 ，
任取 ，则 ，由不等式的性质可得 ，
即 ，所以，函数 在 上递增
再由 ，得， 得
即 ，解得 ．
故选：B．
( ) 2
2
4 ,
4 ,
x xg x
x x
+= −
0
0
x
x
≥
<
( ) ( )f x xg x= ( ) ( )2 2f a f a− >
a
21, 3
−
22, 3
−
2, 3
−∞
2 ,3
+∞
( ) ( )
( )
22
22
4 2 4
4 2 4
x x xg x
x x x
+ = + −=
− = − − +
0
0
x
x
≥
<
( )g x ( )g x ( ),−∞ +∞ ( ) ( )f x xg x=
0x > ( ) ( )0g x g>
1 2 0x x> > ( ) ( )1 2 0g x g x> > ( ) ( )1 1 2 2 0x g x x g x> >
( ) ( )1 2 0f x f x> > ( )f x ( )0, ∞+
( ) ( )2 2f a f a− > ( ) ( )2 2f a f a− > 2 2a a− >
23 4 4 0a a+ − < 22 3a− < ∴ < ≤
2log 1x > 2x >，综上所述：不等式 的
解集为 ，故本题选 A.
4.（2020·广西壮族自治区高三月考（文））定义在 上的奇函数满足 ，当
时， ，则 在 上( )
A．是减函数，且 B．是增函数，且
C．是减函数，且 D．是增函数，且
【答案】B
【解析】
定义在 上的奇函数满足 ，
∴ ，
∴ ，即函数周期是 4.
在 上的图象和在 上的图象相同，
当 时， ，
∴此时 单调递增，且 .
∵ 是奇函数，
∴当 时， 单调递增，且 ，
即当 时， 单调递增，且 ，
故选:B.
( ) ( ) 22 2log 1 log (3) log 3 8 2 8x xf x f x f x< ⇒
( )f x
( )1,0x∈ − ( )f x ( ) 0f x <
( )3,4x∈ ( )f x ( ) 0f x
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