专题 3.4 幂函数
【考纲解读与核心素养】
1.了解幂函数的概念．掌握幂函数
， 的图象和性质.
2.了解幂函数的变化特征.
3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.
4.高考预测：
（1）与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；
（2）幂函数的图象与性质的应用.
（3）在分段函数中考查幂函数的图象和性质.
5.备考重点：
（1）“三个二次”的结合问题；
（2）幂函数图象和性质.
【知识清单】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 为常数.
(2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)常见的 5 种幂函数的性质
函数特征
性质
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x
1
2
y＝x－1
2,y x y x= =
3 1,y x y x−= =
1
21 ,y y xx
= =定义域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R，且 x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且 y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式：
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2 为 f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a > 1a b> >
0 b c> > 0 d c> >【解析】
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在 的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可
得 .
故选：B.
【典例 3】【2018 届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上期中】若幂函数 与
在第一象限的图象如图所示，则 与 的取值情况为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在第一象限作出幂函数 的图象，在 内取同一值 ，
作直线 ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知
如图，
故选 D．
【典例 4】（2019·江西高三期中（文））幂函数 的图象经过点 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设幂函数的解析式为 ，
∵点 在函数 的图象上，
1x =
1 0 0a b c d> > > > > >
1, my x y x−= =
ny x= m n
1 0 1m n− < < < < 1 0n m− < < < 1 0m n− < < < 1 0 1n m− < < < <
1m ny x y x y x y= = = =， ， ， 01（ ，） 0x
0x x=
0 1 1 0m n−＜ ＜ ， ＜ ＜ ，∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故选 B．
【总结提升】
1.函数 y＝xα 的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当 α>0 时，第一象限图
象是上坡递增；当 α＜0 时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定 y 轴左侧的增减性即
可．
2.幂函数 y＝xα 的形式特点是“幂指数坐在 x 的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，
进一步解题.
【变式探究】
1．（2020·广西壮族自治区高二月考（文））函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
， 该函数的定义域为 ，所以排除 C；
因为函数为偶函数，所以排除 D；
又 ， 在第一象限内的图像与 的图像类似，排除 B.
4
3y x=
4
3 43y x x= =
∴ R
4 13
>
4
3y x∴ = 2y x=故选 A．
9．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数 的部分图像,已知 取 这四个值,则于曲线
相对应的 依次为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
方法一 曲线 过点 ，且在第一象限单调递增， ， 为 .显然 对应 ，
对应 .曲线 过点 ，且在第一象限单调递减， ， 为 .显然 对应
， 对应 .
方法二 令 ，分别代入 ，得 ，
，
所以曲线 相对应的 依次为 .
故选： .
3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ）
A．幂函数的图像过 和 两点 B．幂函数的图像不可能出现在第四象限
C．当 时， 是增函数 D． 的图像是一条直线
【答案】B
ny x= n 1 1,2, 2,2 2
− −
1 2 3 4, , ,C C C C n
1 12, , , 22 2
− − 1 12, , ,22 2
− −
1 1, 2,2,2 2
− − 1 12, , 2,2 2
− −
1 2,C C ( ) ( )0,0 1,1, 0n∴ > n 1 ,22 1C 2y x=
2C 1
2y x= 3 4,C C ( )1,1 0n∴ < n 1 , 22
− − 3C
1
2y x
−= 4C 2y x-=
2x = 1 1
2 22 2
1 2 3 4, , ,y x y x y x y x
− −= = = = 1 2 3 4
2 14, 2, ,2 4y y y y= = = =
1 2 3 4y y y y∴ > > >
1 2 3 4, , ,C C C C n 1 12, , , 22 2
− −
A
(0,0) (1,1)
0n > ( )*ny x n N= ∈ 0y x=【解析】
幂函数的图像都过点 ,但不一定过点 ，如 ，所以 A 错；
因为当 时 ，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即 B 对；
当 时， 不一是增函数，如 在 上单调递减，所以 C 错；
的图像是一条去掉一点 的直线，所以 D 错.
故选:B
高频考点三 ：幂函数的性质
【典例 5】【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数 图像经过点(4,2)，则下列命题
正确的有（ ）
A．函数为增函数 B．函数为偶函数
C．若 ，则 D．若 ，则 .
【答案】ACD
【解析】
将点(4,2)代入函数 得： ，则 .
所以 ，
显然 在定义域 上为增函数，所以 A 正确.
的定义域为 ，所以 不具有奇偶性，所以 B 不正确.
当 时， ，即 ，所以 C 正确.
当若 时，
= .
= .
(1,1) (0,0) 1y x−=
0x > 0y xα= >
0n > ( )*ny x n N= ∈ 2y x= ( ,0]−∞
0y x= (0,1)
( )f x xα=
1x > ( ) 1f x > 1 20 x x< < ( ) ( )1 2 1 2
2 2
f x f x x xf
+ + <
( )f x xα= 2=4α 1= 2
α
1
2( )f x x=
( )f x [0, )+∞
( )f x [0, )+∞ ( )f x
1x > 1x > ( ) 1f x >
1 20 x x< <
( ) ( )1 2 2 21 2( ) ( )2 2
f x f x x xf
+ +− 1 2 2 21 2( ) ( )2 2
x x x x+ +−
1 2 1 22
4
x x x x+ + 1 2
2
x x+−= = .
即 成立，所以 D 正确.
故选：ACD.
【典例 6】（2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数 f（x）＝xn+1 的图象上，设 ，
b＝f（lnπ）， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【答案】D
【解析】
根据题意，点（3，28）在函数 f（x）＝xn+1 的图象上，则有 28＝3n+1，解可得 n＝3；
则 f（x）＝x3+1，易得 f（x）在 R 上为增函数，
又由 1＜lnπ，则有 c＜a＜b.
故选：D.
【典例 7】（2019·上海高考模拟）设 ，若 为偶函数，则 ______．
【答案】
【解析】
由题可知， 时， ，满足 f(-x)=f(x),所以是偶函数；
时，不满足 f(-x)=f(x),
．
故答案为： ．
【方法技巧】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同
次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各
个幂函数的图象和性质是解题的关键.
1 2 1 22
4
x x x x− − 2
1 2( ) 04
x x−− <
( ) ( )1 2 1 2
2 2
f x f x x xf
+ + <
3
3a f
=
5
4c f
=
5 3 5 4 3 3
4 12 12 3
= =＜ ＜2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底
数的不同取值情况.
【变式探究】
1.（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数 的图象过点 ，且 ， ， ，
则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
幂函数 的图象过点 ，
∴ ＝4，m＝2；
∴ ，
，
＝﹣log23＜0，
∴ log23，
∴ ．
故选：C．
2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数 的图像满足，当 时，在直线 的上方；当
时，在直线 的下方，则实数 的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下
ay x= (0,1)x∈ y x=
(1, )x∈ +∞ y x= a
1α <
1a > ay x= y x=由图可知，不满足题意
当 时，幂函数 和直线 重合，不满足题意
当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
当 时，幂函数 和直线 第一象限的图像如下
由图可知，满足题意
1a = ay x x= = y x=
0 1a< < ay x= y x=
0a = ay x= y x=
0a < ay x= y x=综上，
故答案为
3．（2020·内蒙古自治区高二月考（文）） 已知函数 是幂函数，且
在 上单调递增，则实数 ________.
【答案】2
【解析】
∵幂函数 f（x）＝（m2﹣m﹣1）xm 在区间（0，+∞）上单调递增，
∴ ，
解得 m＝2 或-1（舍）．
故答案为 2．
高频考点四：幂函数综合问题
【典例 8】（2013·江苏省高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，设定点 A(a，a)，P 是函数 y＝ (x>0)图象
上一动点．若点 P，A 之间的最短距离为 2 ，则满足条件的实数 a 的所有值为________．
【答案】－1 或
【解析】
设点 ，则
令
令
（1）当 时， 时 取得最小值 ， ，解得
（2）当 时， 在区间 上单调递增，所以当 时， 取得最小值
，解得
1α <
1α <
2( ) ( 1) mf x m m x= − − ( )f x
(0, )+∞ m =
2 1 1
0
m m
m
− − =
＞
1
x
2
10
1,P x x
( )0x >
( ) 2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 12 2 2 2 2PA x a a x a x a x a x ax x x x x
= − + − = + − + + = + − + + −
1 , 0, 2t x x tx
= + > ∴ ≥
( ) ( )22 2 22 2 2 2g t t at a t a a= − + − = − + −
2a ≥ t a= ( )g t ( ) 2 2g a a= − 2 2 2 2a∴ − = 10a =
2a < ( )g t [ )2,+∞ 2t = ( )g t
( ) 22 2 4 2g a a= − +
22 4 2 2 2a a∴ − + = 1a = −综上可知： 或
所以答案应填：-1 或 .
【典例 9】（2020·上海高一课时练习）若 ，求实数 a 的取值范围．
【答案】
【解析】
由幂函数 的定义域为 ，
且满足 ，所以函数 为偶函数，
又由幂函数的性质，可得函数 在 单调递增，在 单调递减，
又由 ，则满足 ，解得 或 ，
所以实数 a 的取值范围 ．
【典例 10】（2020·江西省高一月考）已知幂函数 满足
．
（1）求函数 的解析式；
（2）若函数 ，是否存在实数 使得 的最小值为 0？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数 ，是否存在实数 ，使函数 在 上的值域为 ？若
存在，求出实数 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在 使得 的最小值为 0；（3） ．
【解析】
（ ）∵ 为幂函数，∴ ，∴ 或 ．
1a = − 10a =
10
2 2
3 3( 1) (3 2 )a a
− −+ > −
2, (4, )3a ∈ −∞ ∪ +∞
( ) 2
3
3 2
1f x x
x
−= = ( ,0) (0, )−∞ +∞
( ) ( )
32 23
1 1
( )
f x f x
x x
− = = =
− ( )f x
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
2 2
3 3( 1) (3 2 )a a
− −+ > −
1 3 2
1 0
3 2 0
a a
a
a
− < −
+ ≠
− ≠
2
3
2( , ) (4, )3
−∞ ∪ +∞
( ) ( ) 2 3 1
2 2 23 3 p p
f x p p x
− −= − +
( ) ( )2 4f f<
( )f x
( ) ( ) ( ) [ ]2 , 1,9g x f x mf x x= + ∈ m ( )g x m
( ) ( )3h x n f x= − + ( ),a b a b< ( )h x [ ],a b [ ],a b
n
( ) 1
2f x x= 1m = − ( )g x 9 , 24n ∈ − −
1 ( )f x 2 3 3 1p p− + = 1p = 2p =当 时， 在 上单调递减，
故 不符合题意．
当 时， 在 上单调递增，
故 ，符合题意．∴ ．
（ ） ，
令 ．∵ ，∴ ，∴ ， ．
当 时， 时， 有最小值，
∴ ， ．
②当 时， 时， 有最小值．∴ ， （舍）．
③当 时， 时， 有最小值，
∴ ， （舍）．∴综上 ．
（ ） ，
易知 在定义域上单调递减，
∴ ，即 ，
令 ， ，
则 ， ，∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ，
1p = ( ) 1f x x−= ( )0,+∞
( ) ( )2 4f f>
2p = ( ) 1
2f x x x= = ( )0,+∞
( ) ( )2 4f f< ( )f x x=
2 ( )g x x m x= +
t x= [ ]1,9x∈ [ ]1,3t ∈ ( ) 2g x t mt= + [ ]1,3t ∈
12
m− ≤ 1t = ( )g x
1 0m+ = 1m = −
1 32
m< − <
2
mt = − ( )g x
2
04
m− = 0m =
32
m− ≥ 3t = ( )g x
9 3 0m+ = 3m = − 1m = −
3 ( ) 3h x n x= − +
( )h x
( )
( )
h a b
h b a
= =
3
3
n a b
h b a
− + =
− + =
3a S+ = 3b t+ =
2 3a S= − 2 3b t= −
2
2
3
3
n S t
n t S
− = −
− = −
2 2t S S t+ = +
( )( )1 0t S t S− + − =
a b<
S t< 1 0t S+ − = 1t S= −
3 3 1a b+ + + =
a b< 113 4a− ≤ < − 10, 2S ∈ ∴ ．∴ ．
【变式探究】
1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数 的图象过点 ，则函数
的最大值为（ ）
A． B． C． D．-1
【答案】C
【解析】
设幂函数 ，图象过点 ，故
故 ， ，令 ，则 ， ，
∴ 时， .
故选：C
2.（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））若 ，则实数 a 的取值范围是
________．
【答案】
【解析】
令 f(x)= 的定义域是{x| },且在(0,+∞)上单调递增,则原不等式等价于 解得
.
2 3n t S= + − 2 2S S= − −
21 9
2 4S = − −
9 , 24n ∈ − −
( )y f x= ( )8,2 2 ( ) ( )21f x f x− −
1
2
1
2
− 3
4
−
( )y f x xα= = ( )8,2 2 3 18 =2 =2 2 = 2
α α α∴
( )f x x= ( ) ( )21 1f x f x x x− − = − − 1x t− = ( )21y t t= − + 0t ≥
1
2t = max
3
4y = −
( ) ( )1 1
2 21 3 2a a+ < −
21, 3
−
1
2x 0x ≥
1 0,
{3 2 0,
1 3 2 ,
a
a
a a
+ ≥
− ≥
+ > −
21, 3a ∈ −
微信/支付宝扫码支付