专题 3.8 函数与方程
【考纲解读与核心素养】
1.理解函数零点的概念.
2.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养.
3. 高考预测：
（1）分段函数与函数方程结合；
（2）二次函数、指数函数、对数函数与方程结合.
（3）常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确
定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.
4.备考重点：
（1）函数方程的概念
（2）基本初等函数的图象和性质.
【知识清单】
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点.
2．零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)
( )f x b= 1x、 、 ，则 ．
【答案】4
【解析】
作出函数 的图象，
方程 有四个不同的实数解，
等价为 和 的图象有 4 个交点，
不妨设它们交点的横坐标为 、 、 、 ，
且 ，
由 、 关于原点对称， 、 关于 对称，
可得 ， ，
则 ．
故答案为：4．
【总结提升】
1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数 f(x)的零点就是 f(x)＝0 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，
就是判断方程 f(x)＝0 是否有实根，有几个实根．即函数 y＝f(x)的零点⇔方程 f(x)＝0 的实根⇔函数 y＝f(x)
的图象与 x 轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程 f(x)＝0 的实数根．
2x 3x 4x 1 2 3 4x x x x+ + + =
2
, 1( )
( 2) , 1
x xf x
x x
= − >
( )f x b=
( )y f x= y b=
1x 2x 3x 4x
1 2 3 4x x x x< < <
1x 2x 3x 4x (2,0)
1 2 0x x+ = 3 4 4x x+ =
1 2 3 4 4x x x x+ + + =(2)几何法：与函数 y＝f(x)的图象联系起来，图象与 x 轴的交点的横坐标即为函数的零点．,
【变式探究】
1.（2019·贵州省高一期中）方程 的两个根分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
等价于 ，解得 或 .
故选：B.
2.（2019·安徽高考模拟（文））函数 的所有零点之和等于______．
【答案】
【解析】
令 ，则 .
设 ，则 ，解得 (舍去)或 .
所以 ，解得 或 .
所以函数 有两个零点 ，它们之和等于
高频考点二：判断函数零点所在区间
【典例 3】（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数 的零点所在的大致区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为函数 在 R 上单调递减,
, ,
所以零点所在的大致区间为
故选:D
【典例 4】(2019·浙江省温州十校联考)设 f(x)＝lnx＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
22 1 0x x− − =
2,1− 1 ,12
− 2, 1− 1 , 12
−
22 1 0x x− − = ( )( )2 1 1 0x x+ − = 1
2x = − 1
( ) 2 2 1 1f x x x x= − − − −
2
( ) 2 2 1 1 0f x x x x= − − − − = ( )21 1 2 0x x− − − − =
1 0t x= − ≥ 2 2 0t t− − = 1t = − 2t =
1 2t x= − = 1x = − 3x =
( )f x 1,3− 1 3 2.− + =
3 1( ) 102f x x x= − − +
( 1,0)− (0,1) (1,2) (2,3)
3 1( ) 102f x x x= − − +
(2) 1 0f = > (3) 0f <
(2,3)【答案】B
【解析】
方法一 函数 f(x)的零点所在的区间可转化为函数 g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图象交点的横坐标所在的区
间．作图如下：
可知 f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
方法二 易知 f(x)＝ln x＋x－2 在(0，＋∞)上为增函数，
且 f(1)＝1－2＝－10.
所以根据函数零点存在性定理可知在区间(1，2)内函数存在零点．
【规律方法】
判断函数零点所在区间有三种方法：
①解方程，直接求出零点；②利用零点存在定理，判断零点所在区间；③图象法，观察交点所在区间.
特别提醒：在判断一个函数在某个区间上不存在零点时，不能完全依赖函数的零点存在性定理，要综合函
数性质进行分析判断．
【特别提醒】
二分法只能求出连续函数变号零点，另外应注意初始区间的选择，依据给出的精确度，计算时及时检验．
【变式探究】
1.（2019·高考模拟（文））函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）
【答案】B
【解析】
由题，函数 在定义域上单调递增且连续， ， ，
f(0)=1>0，由零点定理得，零点所在区间是（-1,0），故选 B.
2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不同的公共点.给出的下列
四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）
( ) 2 3xf x x= +
( ) 2 3xf x x= + 2( 2) 2 6 0f −− = − < 1( 1) 2 3 0f −− = − [ ]2 1 2 1x x x x− = − > ≥ ∴ [ ]2 1x x− =
[ ]2 1x x− = 1
2
[ ]2 1x x− = [ ]( ) 2 1f x x x= − −
( ) ( )22 lnf x x x= − −
( ) ( )22 lnf x x x= − − ( )0 + ∞，
( )22y x= − lny x=
( ) 2 3 2,
3,
x x x mf x
x x m
− + ≤= − + >
( )f x
m
( ]2,3 [ )2,3
[ ) [ )1,2 3,+∞ ( ] [ )1,2 3,+∞【解析】
令 ，因为方程 的两根为 ，
所以在同一直角坐标系下作出函数 的图象如图所示：
由图可知，当 时，函数 恰有两个零点，图象如图所示：
当 时，函数 恰
有两个零点，图象如图所示：
2
1 23 2, 3y x x y x= − + = − + 2 3 2 0x x− + = 1 21, 2x x= =
2
1 23 2, 3y x x y x= − + = − +
1 2m≤ < ( )f x
3m ≥ ( )f x综上可知，所求实数 的取值范围为 .
故选：C
【典例 8】（2019·新疆高考模拟（文））关于 的方程 有两个解，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 得： ，
当 时，分别作出函数 及 的图象如下：
显然，两个函数图象只交于一点，故 只有一解.
当 时，分别作出函数 及 的图象如下：
显然，两个函数图象交于两点，故 有两个解.
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
【典例 9】已知 e 是自然对数的底数,函数 的零点为 a,函数 的零点为
b,则 的大小关系为________.
【答案】
m [ ) [ )1,2 3,+∞
x ( )0 0, 1xa x a a a− − = > ≠且 a
( )1 + ∞， ( )01， ( )0 + ∞， ϕ
0xa x a− − = xa x a= +
0 1a< < xy a= y x a= +
0xa x a− − =
1a > xy a= y x a= +
0xa x a− − =
a 1a >
( ) 2xf x e x= + − ( ) 2g x ln x x= + −
( ) ( ) ( ), 1 ,f a f f b
( ) ( ) ( )1f a f f b< 0,
所以函数 g(x)在(0,+∞)上是单调递增的,
又 g(1)=ln 1+1-2=-10,
所以函数 g(x)的零点 b∈(1,2).
综上,可得 0
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