2020-2021学年高三数学一轮复习知识点讲解4-1 导数的概念、运算及导数的几何意义

专题 4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义 【考纲解读与核心素养】 1.了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义. 2. 会用基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数（限 于形如 )的导数）. 3．本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 4. 高考预测： （1）导数的运算将依然以工具的形式考查； （2）单独考查导数的运算题目极少.对导数的运算的考查，主要通过考查导数的几何意义、导数的应用来体 现. （3）对导数的几何意义的考查，主要有选择题、填空题，也有作为解答题的第一问.常见的命题角度有： ①求切线斜率、倾斜角、切线方程． ②确定切点坐标问题． ③已知切线问题求参数． ④切线的综合应用． 5.备考重点： （1）熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； （2）熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 【知识清单】 知识点 1．导数的概念 1．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 定义：称函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 为 函 数 y ＝ f(x) 在 x ＝ x0 处 的 导 数 ， 记 作 f′(x0) 或 y′|x ＝ x0 ， 即 . 2．函数 f(x)的导函数 称函数 为 f(x)的导函数． 知识点 2．基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 ( )f ax b+ 0 0 0 0 ( ) ( )lim lim x x f x x f x y x x∆ → ∆ → + ∆ − ∆=∆ ∆ 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim lim x x f x x f xyf x x x∆ → ∆ → + ∆ −∆= =∆ ∆ 0 ( ) ( )( ) lim x f x x f xf x x∆ → + ∆ −= ∆1. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c 为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cosx f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx f(x)＝ax f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ 1 xln a f(x)＝ln x f′(x)＝1 x 2．导数的运算法则 （1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； （2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； （3） (g(x)≠0)． (4) 复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 知识点 3．函数 在 处的导数几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移 函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 【典例剖析】 高频考点一 导数的计算 【典例 1】（2020·全国高考真题（文））设函数 ．若 ，则 a=_________． 【答案】1 【解析】 2 ( ) '( ) ( ) '( ) ( )'( ) ( ) f x f x g x g x f x g x g x   ⋅ − ⋅=   ( )y f x= 0x x= e( ) x f x x a = + (1) 4 ef ′ =由函数的解析式可得： ， 则： ，据此可得： ， 整理可得： ，解得： . 故答案为： . 【典例 2】（2018 年天津卷文）已知函数 f(x)=exlnx， 为 f(x)的导函数，则 的值为__________． 【答案】e 【规律方法】 1.求函数导数的一般原则如下： (1)遇到连乘积的形式，先展开化为多项式形式，再求导； (2)遇到根式形式，先化为分数指数幂，再求导； (3)遇到复杂分式，先将分式化简，再求导. 2.复合函数的求导方法 求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决. ①分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量； ②分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量； ③根据基本函数的 导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数； ④复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的 复合过程. 【变式探究】 1.（2018 届北京市人大附中十月月考）已知函数 则 的值为________. 【答案】1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1x x xe x a e e x af x x a x a + − + −′ = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 11 1 1 e a aef a a × + −′ = = + + ( )2 41 ae e a = + 2 2 1 0a a− + = 1a = 1 ( ) π cos sin ,6f x f x x = +   ′ π 6f     【解析】由题得 所以 ， 所以 ，故填 1. 2（2018 届陕西省咸阳市三模）已知三次函数 的图象如图所示，则 __________． 【答案】1. 【解析】 ，由 的图象知 ， ∴ ， ， ∴ ， 故答案为 1. 【总结提升】 (1)若函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元． 高频考点二 求曲线的切线方程 【典例 3】（2020·全国高考真题（理））函数 的图像在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B ( ) 1 3 6 6 6 6 6 2 6 2f x f sinx cosx f f sin cos f π π π π π π′ ′ ′ ′       = − + ∴ = − + = − +               ′ 3 3 3 2 6 2 6 3f f π π   = ∴ =       ′ ′ 3 1 1sin 16 3 6 6 2 2f cos π π π  = + = + =   4 3( ) 2f x x x= − (1 (1))f， 2 1y x= − − 2 1y x= − + 2 3y x= − 2 1y x= +【解析】 ， ， ， ， 因此，所求切线的方程为 ，即 . 故选：B. 【典例 4】（2019·全国高考真题（文））曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 当 时， ，即点 在曲线 上． 则 在点 处的切线方程为 ，即 ．故选 C． 【规律方法】 导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线， 同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 曲线切线方程的求法： (1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数 f(x)的导数 f′(x)； ②求切线的斜率 f′(x0)； ③写出切线方程 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简． (2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组 得切点(x0，y0)，进而 确定切线方程． 【变式探究】 1.（2019·天津高考真题（文）） 曲线 在点 处的切线方程为__________. ( ) 4 32f x x x= − ( ) 3 24 6f x x x′∴ = − ( )1 1f∴ = − ( )1 2f ′ = − ( )1 2 1y x+ = − − 2 1y x= − + 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y− − π − = 2 2 1 0x y+ − π + = 1 0x y+ − π + = x π= 2sin cos 1y = π + π = − ( , 1)π − 2sin cosy x x= + 2cos sin ,y x x′ = − 2cos sin 2,xy π π π=∴ = − = −′ 2sin cosy x x= + ( , 1)π − ( 1) 2( )y x− − = − − π 2 2 1 0x y+ − π + = 0 0 1 0 0 1 0 ( ) '( ) y f x y y f xx x =  − = − cos 2 xy x= − ( )0,1【答案】 【解析】 ， 当 时其值为 ， 故所求的切线方程为 ，即 。 2.（2019·天津高考模拟（文））曲线 在点 处的切线斜率为_____________. 【答案】12 【解析】 由题意可得： , ∴ ∴曲线 在点 处的切线斜率为 12， 故答案为：12 【易错提醒】 导数运算及切线的理解应注意的问题： 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线， 同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 高频考点三：求切点坐标 【典例 5】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切 线经过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是____. 【答案】 . 【解析】 设点 ，则 .又 ， 当 时， ， 2 2 0x y+ − = 1' sin 2y x= − − 0x = 1 2 − 11 2y x− = − 2 2 0x y+ − = ( ) 3 29 32f x x x x= + − ( )( )1, 1f ( ) 2f' 3 9x x x= + ( )f' 1 3 9 12= + = ( ) 3 29 32f x x x x= + − ( )( )1, 1f xOy (e, 1) ( )0 0,A x y 0 0lny x= 1y x ′ = 0x x= 0 1y x ′ =点 A 在曲线 上的切线为 ， 即 ， 代入点 ，得 ， 即 ， 考查函数 ，当 时， ，当 时， ， 且 ，当 时， 单调递增， 注意到 ，故 存在唯一的实数根 ，此时 ， 故点 的坐标为 . 【方法总结】 已知斜率求切点：已知斜率 k，求切点(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k. 【变式探究】 设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为 ． 【答案】（1，1） 【解析】∵函数 y＝ex 的导函数为 y′＝ex. ∴曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1＝e0＝1. 设 P(x0，y0)(x0＞0)， ∵函数 的导函数为 ， ∴曲线 在点 P 处的切线的斜率 ， 由题意知 k1k2＝－1，即 1·（ ）＝－1， 解得 x20＝1，又 x0＞0，∴x0＝1. 又∵点 P 在曲线 上， lny x= 0 0 0 1 ( )y y x xx − = − 0 0 ln 1xy x x − = − ( ), 1e− − 0 0 1 ln 1ex x −− − = − 0 0lnx x e= ( ) lnH x x x= ( )0,1x∈ ( ) 0H x < ( )1,x∈ +∞ ( ) 0H x > ( )' ln 1H x x= + 1x > ( ) ( )' 0,H x H x> ( )H e e= 0 0lnx x e= 0x e= 0 1y = A ( ),1A e (1 0)y xx ＝ ＞ 1y x ＝ 2 1y x ′＝－ (1 0)y xx ＝ ＞ 2 2 0 1k x ′＝－ 2 0 1 x － (1 0)y xx ＝ ＞∴y0＝1，故点 P 的坐标为(1,1). 高频考点四：求参数的值(范围) 【典例 6】（2018 年全国卷Ⅲ理）曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________． 【答案】 【解析】 则 所以 故答案为-3. 【典例 7】（2020 届山东省青岛市三模）【多选题】已知曲线 上存在两条斜率为 3 的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数 可能的取值（ ） A． B．3 C． D． 【答案】AC 【解析】 由题可知， ， 则 ， 可令切点的横坐标为 ，且 ， 可得切线斜率 ， 由题意，可得关于 的方程 有两个不等的正根， 且可知 ， 则 ，即 ， 解得： ， 的取值可能为 ， . ( ) 3 22 13f x x x ax= − + − a 19 6 10 3 9 2 3 22( ) 13f x x x ax= − + − 2( ) 2 2f x x x a′ = − + m 0m > 22 2 3k m m a= − + = m 22 2 3 0m m a− + − = 1 2 1 0m m+ = > 1 2 0 0m m ∆ >  > 4 8( 3) 0 3 02 a a − − > − > 73 2a< < a∴ 19 6 10 3故选：AC. 【规律方法】 根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解． 【变式探究】 1.（2018 届云南省第八次月考）已知定义在 上的函数 ， 设两曲线 与 在公共点处的切线相同，则 值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 依题意设曲线 与 在公共点 处的切线相同. ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ∵ ∴ ， 故选 D. 2.（2020·山东省泰安市模拟）若曲线 在点 处的切线与直线 平行， 则 _________. 【答案】 【解析】 因为 . 所以 , 所以 . 因为曲线 在点 处的切线与直线 平行, 即 . 故答案为: . ( ) lnf x x x x= + ( )( )1 1f， 2 4 0x ay+ − = a = 1− ( ) lnf x x x x= + ( ) ln 1 1 ln 2f x x x′ = + + = + (1) 2f ′ = ( ) lnf x x x x= + ( )( )1 1f， 2 4 0x ay+ − = 22 1aa = − ⇒ = − 1−考点五：导数的概念 【典例 8】一质点运动的方程为 . （1）求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度； （2）求质点在 t=1 时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）∵ ∴Δs=8-3(1+Δt)2-(8-3×12)=-6Δt-3(Δt)2, . （2）定义法：质点在 t=1 时的瞬时速度 求导法：质点在 t 时刻的瞬时速度 ，当 t=1 时，v=-6×1=-6. 【规律方法】 1.根据导数的定义求函数 在点 处导数的方法： ①求函数的增量 ； ②求平均变化率 ； ③得导数 ，简记作：一差、二比、三极限. 2.函数的导数与导数值的区间与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导 数值是常数 【变式探究】 若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一（注重导数概念的应用的解法）：因为 ，所以 28 3s t= − 6 3 x− − ∆ 6− 28 3s t= − 6 3sv tt − ∆= = − − ∆∆ 0 0 lim lim( 6 3 ) 6 t t sv tt∆ → ∆ → ∆= = − − ∆ = −∆ 2( ) (8 3 ) 6v s t t t′ ′= = − = ( )y f x= 0x 0 0( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − 0 0( ) ( )f x x f xy x x + ∆ −∆ =∆ ∆ 0 0 ( ) lim x yf x x∆ → ∆′ = ∆ 0( ) 3f x′ = − 0 0 0 ( ) ( 3 )lim h f x h f x h h→ + − − = 3− 12− 9− 6− 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim 3 h f x h f xf x h→ + −′ = = − 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( 3 ) ( ) ( ) [ ( 3 ) ( )]lim lim h h f x h f x h f x h f x f x h f x h h→ → + − − + − − − −= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 ( ) ( ) ( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) ( )lim lim lim 3 lim 3h h h h f x h f x f x h f x f x h f x f x h f x h h h h→ → → − → + − − − + − − −= − = + −，选 B； 法二（注重导数定义中各变量的联系的解法）：因为 ，所以 （其中： ），故选 B. 0 0 0( ) 3 ( ) 4 ( ) 12f x f x f x′ ′ ′= + = = − 0 0 0 0 ( ) ( )( ) lim 3 h f x h f xf x h→ + −′ = = − 0 0 0 0 00 0 ( ) ( 3 ) ( ) ( 3 )lim 4lim 4 '( ) 124h h f x h f x h f x h f x h f xh h→ → + − − + − −= = = − 0 0( ) ( 3 ) 4x h x h h+ − − =