专题 4.2 利用导数研究函数的单调性
【考纲解读与核心素养】
1. 了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.
3. 高考预测：
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或范围，与不等式、函
数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结合考查，综合性较强.
其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
4.备考重点：
（1）熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；
（2）熟练掌握利用导数研究函数的单调性的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程
思想等，分析问题解决问题.
【知识清单】
1．利用导数研究函数的单调性
在 内可导函数 ， 在 任意子区间内都不恒等于 0.
在 上为增函数．
在 上为减函数．
【典例剖析】
高频考点一 ：判断或证明函数的单调性
【典例 1】（2020·全国高考真题（理））已知函数 f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论 f(x)在区间(0，π)的单调性；
【答案】（1）当 时， 单调递增，当 时， 单调递
减，当 时， 单调递增.
【解析】
( , )a b ( )f x '( )f x ( , )a b
'( ) 0 ( )f x f x≥ ⇔ ( , )a b
'( ) 0 ( )f x f x≤ ⇔ ( , )a b
0, 3x
π ∈
( ) ( )' 0,f x f x> 2,3 3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x<
2 ,3x
π π ∈
( ) ( )' 0,f x f x> (1)由函数的解析式可得： ，则：
，
在 上的根为： ，
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
【典例 2】（2020·全国高考真题（文））已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
【答案】（1） 的减区间为 ，增区间为 ；（2） .
【解析】
（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
【规律方法】
1．利用导数证明或判断函数单调性的思路
求函数 f(x)的导数 f′(x)：(1)若 f′(x)>0，则 y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若 f′(x) 0x >
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
( )f x ( ),0−∞ ( )'f x，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 ， 得： 即
令 F（x）=x2f（x），则当 时，得 即 上是减函数，
即不等式等价为
在 是减函数，∴由 F 得，
，即
故选 B．
2.（2019·天津高三期中（理））已知函数 ， 。
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）讨论函数 的单调性。
【答案】(Ⅰ)a=3；(Ⅱ)答案见解析.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得： ，故 ，∴ .
(Ⅱ)∵函数 ，其中 a>1，
∴f(x)的定义域为(0,+∞)， ，
令 f′(x)=0,得 x1=1,x2=a−1.
①若 a−1=1,即 a=2 时, ，故 f(x)在(0,+∞)单调递增.
②若 0 ∴
2
4 3
( ) ( )2 ( 2) ( 2)( ) 2, ( ) 0
x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f xx x
− − −+ − − − + += = ′∴ >′ >所以舍去 C；因此选 B.
【规律方法】
1.函数图象的辨识主要从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
2．函数的图象与函数的导数关系的判断方法
(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．
(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数
的单调区间是否一致．
【变式探究】
1.（2020·安徽金安·高三其他（文））已知函数 f(x)＝ex－(x＋1)2(e 为 2.718 28…)，则 f(x)的大致图
象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
函数 ，当 时， ，故排除 A、D，又
，当 时， ，
所以 在 为减函数，故排除 B,
故选：C.
2.（2019·云南高考模拟（文））函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能
( ) 2( 1)xf x e x＝ － + 1x = − ( ) 1=1 1 0f ee−− >＝
( ) 2 2 ( ) 2 0 ln 2x xf x e x f x e x′ ′′= − − = − = ⇒ =， ， 0 ln 2x< < ( ) (0( ) )0 0f ff x x′ ′ + eA． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
设 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是 上的增函数，
又 ，
∴ 的解集为 ，
即不等式 的解集为 .
故选 A.
高频考点五 ：利用函数的单调性比较大小
【典例 6】（2020·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在( )上的函数 ， 是 的
导函数，且恒有 成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】
分析：
构造函数 ，然后利用导数和已知条件求出 在( )上单调递减，从而有 ，
，据此转化化简后即可得出结论.
详解：
( )0, ∞+ ( )2018,+∞
( )2020,+∞ ( ) ( ),0 2018,−∞ +∞
( ) ( ) 2x xg x e f x e= −
( ) ( ) ( )' ' 2x x xg x e f x e f x e= + − ( ) ( )' 2xe f x f x= + −
( ) ( )' 2f x f x+ > 0xe >
( ) ( ) ( )' ' 2 0xg x e f x f x= + − >
( )g x R
( ) ( )0 0 2 2018g f= − =
( ) 2018g x > ( )0, ∞+
( ) 2 2018x xe f x e> + ( )0, ∞+
0, 2
π
( )f x ( )f x′ ( )f x
cos ( ) sin ( ) 0xf x xf x′ + <
( ) 2 ( )6 4f f
π π＞ 3 ( ) ( )6 3f f
π π＞
( ) 3 ( )6 3f f
π π＞ 2 ( ) 3 ( )6 4f f
π π＞
( )( ) cos
f xg x x
= ( )g x 0, 2
π
( ) ( )6 3g g
π π>
( ) ( )6 4g g
π π>设 ，则 ，
因为 ( )时， ，
所以 ( )时， ，
因此 在( )上单调递减，所以 ， ，
即 ， .
故选：CD.
【总结提升】
在比较 ， ， ， 的大小时，首先应该根据函数 的奇偶性与周期性将 ，
， ， 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
【变式探究】（2019·天津高考模拟（理））已知函数 的定义域为 ，且函数
的图象关于直线 对称，当 时， （其中 是 的导函
数），若 , , ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
， ，
， ，
当 时， ；
当 时， ，
即 在 上递增，
( )( ) cos
f xg x x
= 2
( ) cos ( ) sin( ) cos
f x x f x xg x x
′ ⋅ + ⋅′ =
x∈ 0, 2
π
cos ( ) sin ( ) 0xf x xf x′ + <
x∈ 0, 2
π
2
( ) cos ( ) sin( ) 0cos
f x x f x xg x x
′ ⋅ + ⋅′ = <
( )g x 0, 2
π
( ) ( )6 3g g
π π> ( ) ( )6 4g g
π π>
( ) ( )6 3 ( ) 3 ( )1 6 33
22
f f
f f
π π
π π> ⇒ >
( ) ( )6 4 2 ( ) 3 ( )6 43 2
2 2
f f
f f
π π
π π> ⇒ >
( )1f x ( )2f x ( )nf x ( )f x ( )1f x
( )2f x ( )nf x
( )y f x= ( ),π π− ( )2y f x= +
2x = − ( )0,x π∈ ( ) ln ' sin2f x x f x
ππ = −
( )'f x ( )f x
( )log 3a f π= 1
3
log 9b
=
1
3c f π =
, ,a b c
b a c> > a b c> > c b a> > b c a> >
( ) ln ' sin2f x x f x
ππ = − ( )' ' cos2f x f xx
π π ∴ = −
' 2 ' cos 22 2 2f f
π π π = − =
( )' 2cosf x xx
π= −
2 x
π ≤ < π ( )2cos 0, ' 0x f x≤ >
0 2x
π< < ( )2,2cos 2, ' 0x f xx
π > < ∴ >
( )f x ( )0,π的图象关于 对称，
向右平移 2 个单位得到 的图象关于 轴对称，
即 为偶函数， ，
，
，
即 ，
，
即 .
故选 D.
高频考点六 ：利用函数的单调性求参数的范围（值）
【典例 7】 (2019 年高考北京理)设函数 （a 为常数）．若 f（x）为奇函数，则
a=________；若 f（x）是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是___________．
【答案】
【解析】首先由奇函数的定义得到关于 的恒等式，据此可得 的值，然后利用 可得 a 的取值范
围.
若函数 为奇函数，则 即 ，
即 对任意的 恒成立，
则 ，得 .
若函数 是 R 上的增函数，则 在 R 上恒成立，
即 在 R 上恒成立，
又 ，则 ，
即实数 的取值范围是 .
【总结提升】
( )2y f x= + 2x = −
( )2y f x∴ = + ( )y f x= y
( )y f x= ( ) ( )1
3
log 9 2 2b f f f
= = − =
0 log 1 log 3 log 1π π π π= < < =
1 1
0 3 21 2π π π= < < <
1
30 log 3 2π π π< < < <
( ) ( )1
32 log 3f f f ππ ∴ > >
b c a> >
( ) e ex xf x a −= +
( ]1 ,0− −∞
a a ( ) 0f x′ ≥
( ) e ex xf x a −= + ( ) ( ),f x f x− = − ( )e e e ex x x xa a− −+ = − +
( )( )1 e e 0x xa −+ + = x
1 0a + = 1a = −
( ) e ex xf x a −= + ( ) e e 0x xf x a −′ = − ≥
2e xa ≤
2e 0x > 0a ≤
a ( ],0−∞1.由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，
从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．注意检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化
为不等式问题，求出参数的取值范围．再验证参数取“＝”时 f(x)是否满足题意．
(3)若已知 f(x)在区间 I 上的单调性，区间 I 上含有参数时，可先求出 f(x)的单调区间，令 I 是其单调区间的
子集，从而求出参数的取值范围．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max．
(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min．
【变式探究】
（2020·山东肥城高二期中）若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是______；若
函数 在区间 内不单调，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
若 在区间 单调递增，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，又 时， ，所以 ；
若函数 在区间 内不单调，则方程 在区间 有解，
因为 时， ，因此只需 .
故答案为： ； .
( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ k
( )f x ( )1,+∞ k
[ )1,+∞ ( )0,1
( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ ( ) 1 0f x k x
′ = − ≥ ( )1,+∞
1k x
≥ ( )1,+∞ 1x > 1 1x
< 1k ³
( )f x ( )1,+∞ ( ) 1 0f x k x
′ = − = ( )1,+∞
1x > 10 1x
< < 0 1k< <
[ )1,+∞ ( )0,1
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